Metody Matematyczne w Inżynierii Chemicznej

1. Metody Matematyczne w Inżynierii Chemicznej Wykład 2. Rozwiązywanie równań

2. Rozwiązywanie pojedynczych równań algebraicznych. Iteracyjne znajdowanie pierwiastków równań.

3. x1 f(x1) > 0 i x2 f(x2) < 0 x1 f(x1) < 0 i x2 f(x2) > 0 Metoda połowienia przedziałów lub

4. Metoda połowienia przedziałów y2 y4 x2 x3 x4 x1 y3 y1 ?

5. Metoda połowienia przedziałów y2 y3 x4 x2 x3 x1 y4 y1

6. y3 y1<0 x2 = x3 x3 x3 x2 x2 Metoda połowienia przedziałów y2 y3 x1 y1

7. Metoda połowienia przedziałów • Po każdym kroku konieczne jest wybranie jednego punktu z poprzedniego kroku (x1 lub x2), który wraz z obliczonym środkiem przedziału (x3) utworzy nowy przedział • Poprawny wybór musi dać wartości funkcji o przeciwnych znakach: • y1*y3<0 to x2 przyjmuje wartość x3 • y2*y3<0 to x1 przyjmuje wartość x3

8. Metoda połowienia przedziałów - algorytm • Wprowadzić granice przedziałów x1 i x2 oraz dokładność e • Obliczyć y1 i y2 • Jeżeli y1*y2>0 to drukuj zły przedział i idź do p.1 • Obliczyć x3 = (x1 + x2)/2 • Obliczyć y3 • Jeżeli |x3-x2 |< eto drukuj x3, koniec. • Jeżeli y1*y3 < 0 to x2 = x3 i y2=y3 w przeciwnym wypadku x1= x3 i y1=y3, • Idź do punktu 4 • Koniec.

9. start Czytaj: x1, x2, e y1, y2 y1*y2>0 Drukuj: zły przedział x3=(x1+x2)/2 y3 |x2-x3|<e y2=y3 Drukuj: x3 y1*y3<0 x2=x3 koniec y1=y3 x1=x3

10. y1=0 Drukuj: x1 y2=0 Drukuj: x2 x3=(x1+x2)/2 y3 |x2-x3|<e lub y3=0 Drukuj: x3 y1*y3<0 x2=x3 koniec x1=x3

11. y1 x1 x2 y2 Metoda: reguła falsi x3 x4 y4 y3

12. y2 x2 x1 y1 Metoda: reguła falsi x3 x4 y4 y3

13. Ogólny wzór na metodę reguła falsi

14. Reguła falsi - algorytm • Wprowadzić granice przedziałów x1 i x2 oraz dokładność e • xp=x1 • Obliczyć yp i y2 • Jeżeli yp*y2>0 to drukuj zły przedział i idź do p.1 • Obliczyć • Obliczyć y3 • Jeżeli | xp - x3|  e lub | x2 - x3|  e todrukuj x3, koniec. • Jeżeli yp*y3>0 to xp= x2, yp= y2 • x2= x3, y2= y3 • Powrót do punktu 4 • Koniec.

15. Metoda siecznych y1 x3 x2 x5 x4 x1 y3 y2

16. Metoda siecznych algorytm Wprowadzić granice przedziałów x1 i x2 oraz dokładność e Obliczyć y1 i y2 Jeżeli y1*y2>0 to drukuj zły przedział i idź do p.1 Obliczyć Obliczyć y3 Jeżeli |x3- x2|  e todrukuj x3, koniec. x1= x2: x2= x3 :y1= y2: y2= y3 Powrót do punktu 3 Koniec.

17. Metoda Newtona x3 x1 x2

18. Metoda Newtona algorytm Wprowadzić punkt startowy x1 oraz dokładność e Obliczyć y1 Obliczyć y'1 Obliczyć Jeżeli |x2- x1 |  e todrukuj x2, koniec. x1= x2 Powrót do punktu 2 Koniec.

19. Rząd Metody Newtona Aby stwierdzić, czy metoda iteracyjna jest I-go rzędu należy sprawdzićczy pierwsza pochodna przekształconego równania jest w punkcie różna od 0. bo

20. Rząd Metody Newtona Druga pochodna: =0 =0

21. Zbieżność Metody Newtona Aby proces był zbieżny błąd ep punktu startowego musi spełniać warunek Z definicji parametr b2:

22. Zbieżność Metody Newtona Ostatecznie: Wnioski z powyższej zależności: • Punkt początkowy może być tym bardziej oddalony od rozwiązania (większa wartość ) im: • Funkcja jest bardziej stroma w okolicy przecięcia z osią OX (większa jest jej pierwsza pochodna) • Funkcja jest mniej zakrzywiona (mniejsza jest jej druga pochodna)

23. Zbieżność Metody Newtona Zaleca się by punkt startowy xp metody Newtona spełniał warunek:

24. Rozwiązywanie układów równań Metody skończone - eliminacyjne

25. Zasady metod eliminacyjnych • Dotyczą układów równań liniowych • Polegają na stopniowym przekształceniu macierzy współczynników do postaci trójkątnej lub diagonalnej • Wykorzystują właściwości macierzy: • Mnożenie wiersza przez liczbę • Odejmowanie wierszy od siebie

26. Metoda eliminacji Gaussa • Metoda: • Przekształcenie macierzy współczynników do macierzy trójkątnej ze współczynnikami równymi 1 na przekątnej • Wyliczenie x n,n • Wyliczenie kolejnych x n-i,n-i(i=1..n-1) • Wymaga wykonania około n3/3 operacji mnożenia i dzielenia

27. Metoda eliminacji Gaussa • Algorytm • Wczytać macierz współczynników i wektor wyrazów wolnych a, b i liczbę równań n • Wybrać wiersz pierwszy i=1 • Wszystkie współczynniki i wyraz wolny wybranego wiersza podzielić przez współczynnik w kolumnie o numerze wybranego wiersza a(i,j)=a(i,j)/a(i,i) dla j=i..n

28. Metoda eliminacji Gaussa • Wybrać wiersz eliminowany k=i+1 • Określić mnożnik: parametr w wierszu eliminowanym, w kolumnie=wierszowi wybranemu: m=a(k,i) • Odjąć od parametrów wiersza eliminowanego parametry wiersza wybranego pomnożone przez mnożnik: a(k,j)=a(k,j)-m*a(i,j) dla j=k..n • Wybrać kolejny wiersz eliminowany k=k+1 i wrócić do p.5 o ile wiersz kolejny jest <= od ilości równań • Wybrać kolejny wiersz i=i+1 i przejść do p.3 o ile i <= n

29. Metoda eliminacji Gaussa • Przyjąć licznik i równy ilości równań n • Obliczyć x(i) = b(i) • Przyjąć licznik j większy od i o 1, jeżeli j>n to przejść do 14 • Obliczyć x(i)=x(i)-x(j)*a(i,j) • Zwiększyć j o 1 i przejść do p.12 • Zmniejszyć io 1 i jeżeli większe od 0 to przejść do p.10 • Wydrukować x

30. Inne metody skończone • Metoda Jordana • Prowadzi do utrzymania macierzy diagonalnej – odpadają obliczenia „wsteczne” • Pierwsza eliminacja jest identyczna jak w metodzie Gaussa • Od drugiej eliminacji eliminuje się elementy także w wierszach powyżej wiersza wybranego • Wymaga n3/2 operacji mnożenia i dzielenia • Korzystna tylko w przypadku obliczeń dla wielu wektorów rozwiązań

31. Inne metody skończone • Metoda Cholesky’ego (Banachiewicza) • Dotyczy symetrycznej macierzy współczynników • Pozwala znaleźć rozwiązanie wykonując n3/6 operacji mnożenia i dzielenia

32. Rozwiązywanie układów równań Metody iteracyjne (nieskończone)

33. Metoda • Założenie początkowego rozwiązania układu równań • Przekształcenie układu równań do postaci

34. Metoda Jacobiego • Dominujące elementy leżą na przekątnej • Każdy wiersz dzielony przez współczynnik leżący na przekątnej (ai,i) • Metoda Gaussa-Siedla • Przyspieszenie obliczeń przez użycie, tam gdzie to możliwe, przybliżeń z kroku r+1

35. Metoda Jacobiego dla

36. Metoda Jacobiego

37. Metoda Gaussa-Siedla