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T RANSFORMADA DE O NDELETA

T RANSFORMADA DE O NDELETA. Michelle Simões Reboita Orientadora: Dr a . Nisia Krusche. SUMÁRIO. Parte I: Estudo Teórico Introdução Revisão Bibliográfica Teoria da Transformada de Ondeleta (TO) Exemplo de Aplicação Parte II: Aplicação da TO em séries medidas no extremo sul do Brasil

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  1. TRANSFORMADA DE ONDELETA Michelle Simões Reboita Orientadora: Dr a. Nisia Krusche

  2. SUMÁRIO • Parte I: Estudo Teórico • Introdução • Revisão Bibliográfica • Teoria da Transformada de Ondeleta (TO) • Exemplo de Aplicação • Parte II: Aplicação da TO em séries medidas no extremo sul do Brasil • Objetivo • Extremo Sul do Brasil • Medidas e Metodologia • Resultados: Estação Convencional • Resultados: Bóia • Conclusões

  3. INTRODUÇÃO • A transformada de ondeleta foi desenvolvida na década de 1980 por pesquisadores como Morlet, Grossmann, Meyer e Daubechies (Farge, 1992). • Originalmente foi empregada para a análise de sinais sísmicos. • O grande destaque dessa técnica é a decomposição das séries temporais em tempo e freqüência. • A transformada de ondeleta apresenta vantagens em relação a outras metodologias de decomposição de sinal, como, por exemplo, a transformada de Fourier.

  4. INTRODUÇÃO Tabela 1. Diferenças entre a transformada de Fourier (TF) e a transformada de ondeleta (TO).

  5. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Muitos estudos sobre fenômenos atmosféricos têm empregado a transformada de ondeleta por ser uma metodologia que permite analisar sinais não-estacionários em ambos domínios de tempo e freqüência e por recuperar a informação da fase do sinal. • Farge (1992) estudo da turbulência • Gamage e Blumen (1993) análise das frentes frias em baixos níveis • Meyers et al. (1993) examinar a dispersão de ondas de Yanai, que é uma mistura das ondas de Rossby e de Gravidade • Weng e Lau (1994) estudo da organização da convecção sobre o Pacífico tropical • Gu e Philander (1995) focalizar as mudanças seculares na variabilidade interanual e no ciclo anual da região equatorial

  6. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA • Wang e Wang (1996) investigar o comportamento da Oscilação Sul • Torrence e Compo (1998) estudar o fenômeno El Niño-Oscilação Sul • Torrence e Webster (1999) investigar o sistema monção-ENOS • Jury e Melice (2000) estabelecer um contexto histórico da variabilidade climática na África • Breaker et al. (2001) estudar as oscilações intrasazonais sobre a costa central da Califórnia • Vitorino (2002) analisar as oscilações intrasazonais sobre a América do Sul e oceanos adjacentes. • Melice e Servain (2003) descrever as flutuações climáticas no Atlântico Tropical • Reboita (2004) verificar os sistemas atmosféricos mais energéticos que contribuem para a variabilidade climática no extremo sul do Brasil.

  7. TEORIA DA TRANSFORMADA DE ONDELETA - DEFINIÇÃO termoondeleta (wavelet) refere-se a um conjunto de pequenas ondas formadas por dilatação ((t) (2t)] e translação [(t) (t+1)] de uma única função (t), que é quadraticamente integrável sobre o campo dos reais ou espaço [L2 (R)] e possui energia finita. função (t) pode ser chamada de “ondeleta mãe”, “ondeleta básica” ou “ondeleta analisadora”, enquanto que as funções dilatadas e transladadas derivadas da ondeleta mãe são chamadas de “ondeletas filhas” ou simplesmente de “ondeletas” (Weng e Lau, 1994).

  8. Translação Dilatação TEORIA DA TRANSFORMADA DE ONDELETA - DEFINIÇÃO Coeficientes de ondeleta similaridade entre a ondeleta e o sinal Figura 1. Representação esquemática da comparação entre a ondeleta e o sinal.

  9. TEORIA DA TRANSFORMADA DE ONDELETA Segundo Daubechies (1988) a TO de um sinal f(t) é definida como: (1) onde ℓ é o parâmetro de dilatação, t’ é o parâmetro de translação e * é o complexo conjugado das ondeletas ℓ,t’. (2) onde (t) é a ondeleta mãe. A transformada inversa é definida como: (3) onde Cé um fator de normalização.

  10. TEORIA DA TRANSFORMADA DE ONDELETA Para uma função (t) ser uma ondeleta mãe ela está sujeita a algumas condições (Farge, 1992), entre elas: admissibilidade  para uma função integrável, significa que sua média é nula (4) A escolha da ondeleta mãe deve ser feita de maneira que possua características similares ao sinal que se deseja estudar, tal como assimetria e variação brusca ou suave no tempo (Collineau e Brunet, 1993; Weng e Lau, 1994; Sá et al, 1998). Uma ondeleta que é adequada para capturar variações nas periodicidades dos sinais geofísicos é a ondeleta complexa de Morlet (Weng e Lau, 1994; Sá et al, 1998), pois esta possui um grande número de oscilações.

  11. TEORIA DA TRANSFORMADA DE ONDELETA Ondeleta Complexa de Morlet (5) onde 0 é o parâmetro da ondeleta de Morlet. Este deve ser escolhido de forma que satisfaça a condição de admissibilidade. De acordo com Weng e Lau, 0 = 5,4. Figura 2. a) Ondeleta de Morlet com largura e amplitude arbitrária e b) construção da ondeleta de Morlet (azul tracejado) a partir de uma onda seno (verde), modulada por uma curva gaussiana (vermelho).

  12. TEORIA DA TRANSFORMADA DE ONDELETA • Coeficientes de ondeleta  número complexo (depende da ondeleta) intensidade e fase do sinal • Módulo dos coeficientes  amplitude do sinal • Energia de ondeleta  densidade de energia • Média anual da energia variação sazonal (séries superior a 1 ano) • Variância de ondeleta  energia de cada escala

  13. TEORIA DA TRANSFORMADA DE ONDELETA • Escalogramas representação gráfica dos coeficientes, módulo ou da energia de ondeleta. • Permite detectar singularidades presentes nos sinais bem como eventos que se repetem com o tempo. • Para não haver interpretação errônea nos escalogramas, normalmente as regiões suscetíveis a erros de bordas são delimitadas por um cone de influência. • Espectro de ondeleta global  representação gráfica da variância de ondeleta. • É similar ao espectro de energia de Fourier. • Mostra os períodos de maior energia detectados nos sinais, mas não fornece informação de localização no tempo. • Não há necessidade de plotar limites de confiança, pois considera-se como limite apenas as variâncias que não ultrapassam a parte superior do cone de influência nos escalogramas.

  14. ALGORÍTIMO PARA CÁLCULO DA TRANSFORMADA DE ONDELETA • Algoritmo cedido por J. L. Melice, • Adaptação do desenvolvido por Torrence e Compo, • Disponível em: http://paos.colorado.edu/research/wavelets/

  15. a) d) e) b) f) c) TF permite apenas a análise global do sinal. TO  localiza os fenômenos no tempo e na freqüência , assim tem-se uma análise local e global. 10 10 20 20 Figura 3. a) Soma de duas ondas senos, b) espectro de energia de Fourier de a, c) parte real dos coeficientes de ondeleta de a, d) seno (10t) seguido de seno (20t), e) espectro de energia de Fourier de d e f) parte real dos coeficiente de ondeleta de d.

  16. d) a) e) b) f) c) Escalograma Espectro de Ondeleta Global Figura 4. a) Soma de duas ondas senos, b) parte real dos coeficientes de ondeleta, c) espectro de ondeleta global, d) seno (10t) seguido de seno (20t), e) parte real dos coeficiente de ondeleta e f) espectro de ondeleta global.

  17. ÍNDICE DE OSCILAÇÃO SUL Extrapolou o cone de influência Figura 5. Representação gráfica da transformada de ondeleta do IOS do período de 01/1980 a 08/2004.

  18. ÍNDICE DE OSCILAÇÃO SUL Escalograma da Energia de Ondeleta Escalograma do Módulo dos Coeficientes de Ondeleta Figura 6. Escalograma do módulo dos coeficientes de ondeleta à esquerda e da energia de ondeleta à direita do IOS do período de 01/1980 a 08/2004.

  19. The tropical Atlantic meridional SST gradient index and its relationshipswith the SOI, NAO and Southern OceanJ.-L. Melice e J. Servain (2003) • Objetivo: descrever as flutuações climáticas no Atlântico Tropical • Séries em estudo: • Índice de Oscilação Sul (IOS) • gradiente meridional de TSM do Atlântico (TAMG) – definido como a diferença entre as anomalias de TSM sobre a parte norte (TN) do Atlântico Tropical (de 28ºN a 5ºN) e as anomalias de TSM sobre a parte sul (TS) deste (5ºN a 20ºS). • TN = componente norte • TS = componente sul • A TO usando a ondeleta mãe complexa de Morlet foi calculada para períodos variando de 0,2 a 24 anos • Visualmente, as maiores amplitudes podem ser classificadas em três bandas de freqüência com períodos variando de 0,2 a 1,5 anos, de 1,5 a 8 anos e de 8 a 16 anos.

  20. Módulo dos coeficientes da TO do índice de oscilação sul. Linha branca representa o cone de influência que delimita os efeitos de borda.

  21. Módulo dos coeficientes da TO da TSM da parte norte do Atlântico Tropica (TN), da parte sul (TS) e do gradiente meridional de TSM do Atlântico. Linha branca representa o cone de influência.

  22. ELEMENTOS DA VARIABILIDADE CLIMÁTICA NO EXTREMO SUL DO BRASIL NO PERÍODO DE 1990 A 2001

  23. OBJETIVO Determinar os sistemas atmosféricos que causam maior variabilidade climática no extremo sul do Brasil.

  24. a) b) Bóia Estação Convencional EXTREMO SUL DO BRASIL 32º04’S e 52º10’W 32º54’S e 50º48’W Figura 7. Localização da estação convencional da FURG e da bóia. Fonte: (a) NASA-SRTM, (b) carta 90 da DHN georreferenciada.

  25. 23ºC Amplitude anual: 11ºC Climógrafo de Rio Grande 12ºC Figura 8. Climógrafo de Rio Grande do período de 1º de janeiro de 1991 a 31 de dezembro de 2000. A linha vermelha representa a média mensal da temperatura do ar, a linha laranja a trajetória aparente do sol ao longo do ano e as barras azuis o total mensal de precipitação. Total anual: 1300 mm 147 mm 85 mm

  26. MEDIDAS NO EXTREMO SUL Tabela 2. Descrição dos dados. *Precipitação: período de 1º de janeiro de 1990 a 31 de dezembro de 2002.

  27. METODOLOGIA • Controle de Qualidade • Baseado na metodologia de Krusche et al. (2002) • Estação Convencional • Bóia • Calculou-se pêntadas para a série de precipitação • Metodologia de Kousky (1988) • Dessazonalizou-se todas as variáveis, exceto as componentes do vento e a precipitação • Método Trigonométrico de Três Termos

  28. a) b) DESSAZONALIZAÇÃO Figura 9. a) Função trigonométrica ajusta a série de temperatura da superfície do mar centrada na média do período de 1º de junho de 2001 a 08 de maio de 2002 e b) série da temperatura da superfície do mar dessazonalizada.

  29. METODOLOGIA • Padronizou-se as séries antes da transformada de ondeleta: Xn = elementos da série = média da série  = desvio-padrão da série (1) • Erro quadrático médio (Keyser e Anthes, 1977): r = série reconstruída o = série original N = comprimento das séries (2) A reconstrução é considerada boa quando duas condições se verificam: • r  o • e < o r = desvio-padrão da série reconstruída o = desvio-padrão da série original

  30. ETAPAS DO TRABALHO • Determinar a periodicidade dos fenômenos atmosféricos • Espectros de ondeleta global • Escalogramas da parte real dos coeficientes • Analisar a variação sazonal dos fenômenos atmosféricos • Escalogramas da média anual da energia de ondeleta • Determinar os fenômenos atmosféricos que causam maior variabilidade climática • Integração da variância de ondeleta por bandas • Reconstrução do sinal

  31. Estação Meteorológica Convencional RESULTADOS

  32. RESULTADOS Periodicidade dos Fenômenos Atmosféricos

  33. 2061,5 1030,7 680,0 170,0 8,0 1,0 Figura 10. Pressão atmosférica: a) dessazonalizada, b) parte real dos coeficientes da TO e c) espectro de ondeleta global, do período de 1º de janeiro de 1990 a 19 de março de 2001.

  34. RESULTADOS Fenômenos atmosféricos que foram associados aos máximos de energia: • Pressão atmosférica dessazonalizada • 1 dia  ciclo diário de insolação • 8 dias  massas de ar frio e sistemas frontais • 170 dias  ciclo semi-anual • 680 dias (1,9 anos)  pode ser indicativo do dipolo do Atlântico • 1030,7 dias (2,9 anos)  fenômeno El Niño-Oscilação Sul • Para cada variável em estudo foi realizada a mesma análise e, então, pode-se sintetizar os resultados na tabela a seguir.

  35. RESULTADOS Tabela 3. Fenômenos atmosféricos associados aos períodos de máxima variância de ondeleta.

  36. a) b) c) Análise Local da Precipitação Figura 11. Precipitação: a) módulo dos coeficientes de ondeleta do ano de 1995, b) precipitação mensal do ano de 1995 e c) precipitação do mês de julho do período de 1990 a 19 de março de 2002.

  37. RESULTADOS Variação Sazonal dos Fenômenos Atmosféricos

  38. Incursão de Ar Polar Massas de Ar Frio Altas de Bloqueios AAS Figura 12. Espectro de energia de ondeleta média anual da pressão atmosférica dessazonalizada do período de janeiro de 1990 a março de 2001.

  39. COMPARAÇÃO ENTRE ESPECTROS DE ENERGIA DE ONDELETA MÉDIA ANUAL a) b) Figura 13. Comparação entre o espectro de energia de ondeleta média anual da pressão atmosférica a) do período de 1990 a 2001 do extremo sul do Brasil e do b) período de 1979 a 1996 da região sul do Brasil.

  40. RESULTADOS Fenômenos Atmosféricos que Causam Maior Variabilidade Climática no Extremo Sul do Brasil

  41. BANDAS MAIS ENERGÉTICAS Tabela 4. Limites das bandas para a integração da variância de ondeleta e fenômenos associados.

  42. Ciclo Anual a) TEMPERATURA b) Figura 14. Espectro de ondeleta global da temperatura do ar da juntamente com as bandas de integração e b) representação percentual da variância de ondeleta por bandas.

  43. Ciclo Anual UMIDADE ESPECÍFICA Figura 15. Representação em percentual da variância de ondeleta integrada por bandas da variável original.

  44. Ciclo Anual PRESSÃO ATMOSFÉRICA Figura 16. Representação em percentual da variância de ondeleta integrada por bandas da variável original.

  45. Ciclo Anual COMPONENTE ZONAL Figura 17. Representação em percentual da variância de ondeleta integrada por bandas da variável original.

  46. Ciclo Anual COMPONENTE MERIDIONAL Figura 18. Representação em percentual da variância de ondeleta integrada por bandas da variável original.

  47. Ciclo Anual PRECIPITAÇÃO Figura 19. Representação em percentual da variância de ondeleta integrada por bandas da variável original.

  48. 28,0% 31,7% 41,3% Figura 20. Representação em percentual da variância de ondeleta integrada por bandas das variáveis dessazonalizadas.

  49. RESULTADOS Reconstrução do Sinal

  50. a) d) R E C O N S T R U Ç Ã O D O S I N A L e) b) f) c) Figura 21. Recons-trução da série de temperatura do ar original.

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