Comprendre la finance stochastique

1. Comprendre la finance stochastique Formation organisée par l’UER « Mathématiques appliquées » de la HEFF 19 et 20 mai 2006 Daniel Justens et Claude Archer

2. Troisième session Marché des options Idées sous-jacentes au modèle de Black et Scholes Le modèle discret

3. Qu’est-ce qu’une option ?

4. Différents types d’options • Options européennes : moment d’exercice discret : T. Ce qui suit leur est consacré. • Options américaines : moment d’exercice continu : entre 0 et T. Pour les calls sur actions, pas de problème!

5. Paramètres intervenant dans la valorisation de l’option

6. Flux financiers cumulés (sans actualisation)

7. Valeur intrinsèque d’une option

8. Valeur temps de l’option Rémunération d’espoir ...

9. Parité « call-put »

10. Valeur à terme de ce portefeuille :

11. Conséquence Il n’existe pas de machine à créer de la richesse sans prendre de risque (?) On en tire :

12. Modèle de Black et Scholes (1973)prix Nobel en 1997 • Options de type européen • Hypothèses simplificatrices • Formulation des idées de base de la gestion financière moderne • Résultat explicite

13. Hypothèses sur le sous-jacent

14. Existence d’un taux sans risque

15. Hypothèses sur le « dérivé » Modélisation par brownien géométrique

16. Portefeuille d’équilibre

17. Elimination du risque : Et détermination du rendement :

18. La première équation devient : La deuxième donne :

19. On en tire :

20. En passant par Itô L’équation d’existence d’une constante de marché devient : Le rendement du sous-jacent n’apparaît pas!

21. La résolution Elle passe par un changement de variable « lourd » pour tomber sur l’équation de la « chaleur ». La solution :

22. Avec :

23. Contenu Valorisation est théoriquement possible, basée uniquement sur l’estimation de volatilité. Laquelle utiliser? La notion de volatilité implicite

24. La compréhension de la formule Nous en donnerons une démonstration générale et simple dans la session 6 Nous en donnerons l’interprétation dans le cadre d’exemple dans la session 4

25. Une aide à la compréhension : le modèle discret de Cox Ross Rubinstein (1979) On divise l’horizon en T intervalles de temps de durée identique et on travaille entre le moment t (naturel) et t+1.

26. Simplification (et interprétation) de la représentation L’actif sous-jacent peut soit progresser (modalité « up »), soit régresser (modalité down). Les sauts vers le haut (multiplication par u>1) ou vers le bas (par d<1) sont identiques et de probabilités constantes a et 1-a

27. Graphiquement, le sous-jacent évolue comme :

28. Pour la période suivante :

29. Et donc :

30. Raisonnement à transposer au produit dérivé • On va considérer que le dérivé suit la même trame binomiale • Nous traitons le cas d’un « call » • A terme, la valeur du call est connue dans tous les cas de figure • Nous travaillons progressivement

31. Horizon d’une seule période : T=1 Dans ce cas, les modalités pour un « call » deviennent :

32. Constitution d’un portefeuille

33. Comment évolue ce portefeuille ?

34. Raisonnement style BS Elimination du risque Rémunération au rendement sans risque

35. On en tire :

36. L’équation au rendement devient : Interprétation de ce résultat ...

37. Apparition d’une « probabilisation »

38. « probabilité neutre » Que devient la probabilisation initiale ?

39. Passage à deux périodes : T =2

40. Raisonnement pas à pas

41. Généralisation à T périodes Arbre binomial Résultat :

42. Liens entre les deux présentations Le passage à la limite pour T tendant vers l’infini du modèle discret redonne le modèle continu. On peut mettre en parallèle les hypothèses émises dans les 2 cas On peut interpréter les résultats de manière cohérente.

43. Place aux exemples numériques Dans un premier temps : étude de sensibilité aux paramètres Ensuite : interprétation des fonctions de crédibilité.