Testy nieparametryczne

1. Testy nieparametryczne dr hab. Dariusz Piwczyński

2. Ograniczenia testów parametrycznych • Testów parametrycznych nie stosujemy, gdy zmienne mają charakter jakościowy czy też uporządkowany.

3. Zastosowanie testów nieparametrycznych • Testy nieparametryczne wykorzystujemy w sytuacji, gdy nie są spełnione założenia wymagane przez testy parametryczne, jak:zmienne mierzalne, posiadające rozkład zgodny normalnym. • Stosujemy, gdy transformacja danych nie przynosi efektów, np. w zakresie normalizacji rozkładu.

4. Testy nieparametryczne a rozkład zmiennej • Testy nieparametryczne nie zależą od rozkładu zmiennej, od pewnych parametrów rozkładu populacji. • Na ogół obliczenia są proste i nie zajmują wiele czasu.

5. Analiza rang • Testy nieparametryczne pod względem rachunkowym oparte są na analizie rang (lokat). • Dane w porównywanych grupach porządkujemy rosnąco lub malejąco. • Rachunki matematyczne wykonujemy na rangach.

6. Moc testów • Niestety, siła testów nieparametrycznych (1-β) jest niższa niż siła testów parametrycznych –testy nieparametryczne stosujemy tylko wtedy, gdy nie są spełnione założenia, jakich wymagają testy parametryczne. • W odniesieniu do dużych populacji n > 100 zamiast testów nieparametrycznych możemy stosować testy parametryczne, mimo że sama zmienna nie posiada rozkładu normalnego. Jest to możliwe ze względu na fakt, że rozkład średnich z tych prób ulega normalizacji.

7. Statystyczna analiza

8. Statystyczna analiza

9. Statystyka opisowa • Średnia geometryczna • Mediana • Dominanta • Rozstęp • Odstęp międzykwartylowy

10. Porównania grup – dobór testu

11. Doświadczenie niezależne – 2 grupy • Test U Mann-Whitney • Test ten jest najmocniejszą nieparametryczną alternatywą dla testu t. Założenia testu: cecha posiada rozkład typu ciągłego, ale może być rozpatrywana również w skali porządkowej.

12. Test U Mann-Whitney • Porównujemy poziom ocenianych wskaźników ścieków zmierzony w czasie zimy i wiosny. • Weryfikujemy hipotezę zerową zakładającą, iż rozkład ChZT stwierdzony zimą i wiosną jest taki sam: • H0: F(x) = G(x); H1: F(x) ≠ G(x) F(x), G(x) – dystrybuanta ChZT zimą i wiosną

13. Test U – porównujemy pory roku • Porządkujemy rosnąco dane obydwu grup. • Poczynając od wartości najmniejszej przypisujemy im rangi.

14. Rangi wiązane • Rangi wiązane to sytuacja, w której sąsiednie, uporządkowane wcześniej wartości zmiennej są takie same.

15. Rangi wiązane • W tej sytuacji przyporządkowujemy im tzw. rangi wiązane, które powstają w wyniku obliczenia średnie arytmetycznej z numerów nadawanych kolejnym powtórzeniom tej samej wartości. • (8 + 9)/2 = 8,5

16. Kolejność obliczeń • Obliczamy sumę rang dla obydwu grup: R1 i R2. Ustalamy liczebności porówny-wanychgrup

17. Wzór R1, R2 – suma rang przyznanych 1 i 2 grupie; n1, n2 – liczebność grupy 1 i 2.

18. Wzór R1, R2 – suma rang przyznanych 1 i 2 grupie; n1, n2 – liczebność grupy 1 i 2.

19. Wartości krytyczne • Obliczone wartości U i Z porównujemy z odpowiednimi wartościami krytycznymi z tabel statystycznych.

20. Wyniki • U = 92 • z = -2,897 • |-2,897| porównujemy z wartością u/2=1,96 (=0,05) • Ze względu na fakt, iż obliczona wartość z jest większa niż 1,96, odrzucamy hipotezę zerową. Wnioskujemy zatem, że poziom CHZT zmierzony zimą różni się statystycznie od poziomu zarejestrowanego wiosną. • Otrzymany wynik jest również większy niż u/2 odczytane przy =0,01. Wnioskujemy zatem, że między badanymi grupami różnica jest wysoko istotna.

21. Test U n1 i n2 > 20

22. SAS EG, Test U Mann Whitney

23. SAS EG, Test U Mann Whitney

24. SAS EG, U Mann Whitney, WYNIKI

25. Doświadczenie niezależne, k > 2 • Test Kruskal-Wallis • Test mediany

26. Kruskal-Wallis Weryfikujemy hipotezę zerową zakładającą, iż rozkład ChZT w k populacjach jest taki sam: H0: F1(x) = F2(x) =... = Fk(x) H1: F1(x) ≠ F2(x) ≠ ...≠ Fk(x) F1(x), F2(x), Fk(x) – dystrybuanty rozpatrywanych populacji. Program SAS: Kruskal-Wallis Test Chi-kwadrat 8.4354 Stopień swobody 2 Pr > Chi-kwadrat 0.0147 Wartość testu Kruskal-Wallis wynosi 8,4354. Obliczone prawdopodobieństwo (p < 0,0147) pozwala odrzucić H0. Wyniki analizy pozwalają stwierdzić, że pora roku wpływa statystycznie istotnie na poziom badanego wskaźnika.

27. Kruskal-Wallis n = n1 + n2 + … + nk – liczebność poszczególnych grup; Ti (i = 1, 2, … k) – suma rang w każdej grupie oddzielnie

28. Test mediany • Test mediany jest mniej dokładną wersją K-W. Obliczenia wykonywane są w oparciu o tablicę kontyngencji 2. H0 : mediany są takie same w obu próbach, czyli około połowy wszystkich przypadkach w każdej z grup przypada powyżej, a druga poniżej wspólnej mediany.H1 : mediany nie są takie same.

29. SAS EG, test K-W i mediany

30. SAS EG, test K-W

31. SAS EG, test mediany

32. Statistica, test K-W i mediany

33. Doświadczenie zależne, k =2 • Test kolejności par Wilcoxona • Test znaków

34. Test znaków • Test znaków jest nieparametrycznym odpowiednikiem testu t dla zmiennych zależnych. W teście tym brane jest pod uwagę ile razy wartości pierwszej zmiennej przewyższają wartości drugiej zmiennej i odwrotnie.

35. Test kolejności par Wilcoxona

36. Doświadczenia dwugrupowe zależne w SAS • W SAS konieczne jest wcześniejsze przygotowanie kolumny będącej różnicą jednej i drugiej serii danych!

37. SAS EG, Test znaków i kolejności par Wilcoxona

38. SAS EG, Test znaków i kolejności par Wilcoxona

39. SAS EG, Test znaków i kolejności par Wilcoxona • test znaków • test kolejności par Wilcoxona

40. Doświadczenia zależne, k > 2 • Test Friedmana

41. Test Friedmana

42. Test Friedmana

43. Test Friedmana