Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010

1. POGLAVJE 6 Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

2. TEKOČINE Snovi kot so zrak in voda so primeri tekočin. Voda predstavlja podmnožico tekočin, ki jih imenujemo kapljevine. Zrak predstavlja podmnožico tekočin, ki jih imenujemo plini. Bistvo tekočin je, da se ne morejo upreti strižnim napetostim brez konstantne deformacije. Če damo vodo med dve plošči in ju vlečemo v različnih smereh se bo voda kontinuirano deformirala. Če damo vodo v posodo, bo dobila obliko posode. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

3. Gostota zraka se močno spreminja s tlakom. Zrak lahko idealiziramo kot stisljivo tekočino. Gostota vode se šibko spreminja s tlakom. Vodo lahko idealiziramo kot nestisljivo tekočino. Če pa obravnavamo akustične valove v vodi, pa jo moramo obravnavati kot stisljivo. V tem poglavju obravnavamo linearne viskozne tekočine ali Newtonske tekočine. Pri teh tekočinah so napetosti zaradi gibanja linearno odvisne od hitrosti deformacije. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

4. TEKOČINE Tekočine imenujemo razred idealiziranih materialov kateri (ko so v togem gibanju ali mirovanju) ne morejo zadržati strižnih napetosti. Z drugimi besedami: ko je tekočina v togem gibanju ali mirovanju je napetost v katerikoli točki in glede na katerikoli ravnino pravokotna na to ravnino. Zapišimo Velikost napetostnega vektorja je enaka za vsako ravnino, ki gre skozi dano točko. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

5. Predpostavimo dve takšni ravnini, definirani s smernima vektorjema Zapišimo razliko Velja Iz tega sledi Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

6. Pravokotne napetosti na vse ravnine, ki gredo skozi točko so enake. Pri tem smo pravokotne napetosti definirali z V komponentni obliki je ta enačba definiramo kot hidrostatični tlak MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

7. STISLJIVE IN NESTISLJIVE TEKOČINE Nestisljive tekočine so definirane z relacijo Iz enačbe ohranitve mase sledi Za nestisljivo tekočino velja Vse nestisljive tekočine imajo lahko od kraja različno gostoto. Če je gostota konstantna, tekočine imenujemo homogene tekočine. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

8. ENAČBE HIDROSTATIKE Enačbe ravnovesja, izražene z napetostmi, so: Za tekočine velja Sledi V primeru gravitacijskega polja velja Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

9. Tlačna razlika med dvema točkama je je relativna globina točke glede na točko . V primeru togega gibanja fluida velja MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

10. NEWTONSKE TEKOČINE Ko deluje strižna napetost na elastično trdnino se deformira iz začetne konfiguracije v končno konfiguracijo z od nič različno strižno deformacijo. Deformacija bo izginila, ko bo izginila strižna napetost. Ko deluje strižna napetost na tekočino se deformira iz začetne konfiguracije in bo dosegla ustaljene razmere, pri katerih se bo tekočina kontinuirno deformirala z od nič različno strižno hitrostjo. Deformacija bo ostala, ko bo izginila strižna napetost. Strižne napetosti v tekočini so neodvisne od strižne deformacije. Strižne napetosti v tekočini so odvisne od hitrosti strižne deformacije. Za takšne tekočine ni potrebna strižna napetost za ohranjanje strižne deformacije. Potrebna pa je končna strižna napetost za ohranjanje hitrosti strižne deformacije. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

11. Pri tekočinah napetostni tenzor razdelimo na dva dela je odvisen od hitrosti deformacije. Je enak nič v primeru, ko se tekočina togo giba ali miruje (hitrost deformacije je enaka nič). je skalar katerega vrednost ni odvisna od hitrosti deformacije Definirajmo razred idealiziranih snovi, ki jih imenujemo Newtonske tekočine: • Za vsako snovno točko so vrednosti v vsakem času linearno odvisne • od komponent hitrosti deformacijskega tenzorja v vsakem trenutku in ne • od katerikoli druge kinematične količine. Hitrost deformacije je izražena z • gradienti hitrosti kot MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

12. 2. Tekočina je izotropna glede na katerokoli referenčno konfiguracijo. Najbolj splošna oblika viskoznega napetostnega tenzorja je Celotni napetostni tenzor je imenujemo tlak. V splošnem ni enak celotni pravokotni napetosti na ravnino. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

13. INTERPRETACIJA “LAMBDA” IN “MI” Imejmo strižni tok, ki ga podamo z enačbo Za ta tok velja Sledi imenujemo prvi koeficient viskoznosti. Je sorazmernostna konstanta, ki korelira strižno napetost glede na hitrost zmanjševanja kota med dvema pravokotnima snovnima linijama MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

14. Za poljubno hitrostno polje velja Kjer je hitrost spremembe volumna (ali dilatacija). je sorazmernostna konstanta, ki korelira normalne viskozne napetosti s hitrostjo spremembe volumna . MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

15. Koeficient Imenujemo drugi koeficient viskoznosti ali notranja viskoznost. Povprečna pravokotna napetost je Vidimo, da tlak ne predstavlja normalno pravokotno napetost v primeru, ko sta drugi koeficient viskoznosti in hitrost spremembe volumna različna od nič. Privzetek, da je notranja viskoznost enaka nič za stisljive tekočine imenujemo Stokesov privzetek. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

16. NESTISLJIVE NEWTONSKE TEKOČINE Za nestisljive tekočine ves čas velja Konstitucijska enačba za takšno tekočino je Iz te enačbe sledi Pri nestisljivi tekočini ima tlak pomen povprečne pravokotne napetosti. Tlak v tem primeru ne zavisi od nobene kinematične lastnosti. Je nedoločen glede na mehansko obnašanje tekočine. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

17. Tlak pri nestisljivih tekočinah imenujemo “nedoločeni tlak”. V primeru, ko imamo predpisane tlačne robne pogoje, tlak postane predpisan. Velja V komponentni obliki Konstitucijsko zvezo lahko napišemo MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

18. NAVIER-STOKESOVE ENAČBE ZA NESTISLJIVE TEKOČINE Navier - Stokesove enačbe predstavljajo enačbe gibanja tekočine, zapisane s hitrostnimi komponentami tekočine. Enačbe gibanja tekočine, zapisane z napetostmi, so Če vstavimo konstitucijsko enačbo v zgornjo enačbo, dobimo Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

19. NAVIER-STOKESOVE ENAČBE ZA NESTISLJIVE TEKOČINE V komponentni obliki velja V koordinatno invariantni obliki velja To je Navier - Stokesova enačba gibanja nestisljive Newtonske tekočine. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

20. NAVIER-STOKESOVE ENAČBE ZA NESTISLJIVE TEKOČINE V omenjenih enačbah nastopajo štiri neznanke Za njihovo rešitev potrebujemo štiri enačbe. Četrta enačba je V primeru, da v Navier-Stokesovi enačbi izpustimo tlačni del, dobimo Burgerjevo enačbo. Uporablja se pri številnih teoretičnih obravnavah Navier - Stokesovih enačb. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

21. ROBNI POGOJI Na togi površini imamo tako imenovane nezdrsne robne pogoje. To pomeni, da je hitrost tekočine na tem robu enaka hitrosti roba. Eksperimenti so pokazali, da omenjeno velja tudi za tekočine, ki ne omočijo površine (npr. živo srebro) in tekočine, ki se ne obnašajo Newtonsko. Nezdrsni robni pogoji so nekaj drugega kot nepropustni robni pogoji. nezdrsni robni pogoji nepropustni robni pogoji Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

22. TOKOVNICA, POTOVNICA, USTALJEN, NEUSTALJEN, LAMINAREN IN TURBULENTEN TOK Tokovnica ob času je krivulja, katere tangenta v vsaki točki je enaka smeri hitrosti v tej točki. Eksperimentalno lahko tokovnice vidimo preko delcev v tekočini, ki jih slikamo s primerno dolgo (kratko) odprto zaslonko. Matematično pa lahko tokovnice izračunamo na naslednji način Je parametrična enačba tokovnice ob času , ki gre skozi točko . Vektor pri kateremkoli je tengencialen na krivuljo v tej točki. lahko vedno izberemo tako, da velja . Izberemo pri poziciji . MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

23. Potovnica je pot, po kateri se giba delec tekočine. Za fotografiranje potovnice je potrebna (ustrezno) dolgotrajna ekspozicija. Potovnico matematično opišemo kot Naj bo neodvisna spremenljivka. Pri ustaljenem toku velja V splošnem tudi pri ustaljenem toku velja MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

24. USTALJENI IN NEUSTALJENI TOK Tok imenujemo ustaljen, če se na vseh lokacijah toka nič ne spreminja s časom. V nasprotnem primeru je tok neustaljen. V ustaljenem toku se hitrost, pospešek, temperatura, itd. danega delca v splošnem spreminjajo!!! s časom. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

25. Za primer si oglejmo Omenjeni tok ima od nič različen pospešek Za ustaljene tokove je tokovnica enaka potovnici. Za ustaljene tokove je potovnica enaka tokovnici. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

26. LAMINARNI IN TURBULENTNI TOK Laminarni tok je urejeni tok pri katerem se delci tekočine gibajo v gladkih plasteh ali laminah. Drsijo mimo delcev v sosednjih laminah brez da bi se mešali z njimi. Takšni tokovi se običajno opazijo pri nizkih hitrostih toka. Reynolds je ugotovil naslednje za okroglo cev premera tok je laminaren in stabilen tok je lahko še vedno laminaren, vednar takoj postane turbulenten, če ga le malo zmotimo. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

27. RAVNINSKI COUETTOV TOK premična plošča fiksna plošča Iz Navier-Stokesovih enačb in robnih pogojev Dobimo Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

28. RAVNINSKI POISEUILLE-OV TOK Najprej zanemarimo gravitacijo, pa dobimo Iz druge in tretje enačbe zgoraj vidimo, da tlak ne zavisi od . Zato velja Iz enačbe zgoraj dobimo Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

29. Integracijske konstante določimo iz robnjih pogojev Integracijski konstanti sta Sledi Največja hitrost toka je MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

30. Volumen tekočine, ki gre skozi cev na enoto časa lahko izračunamo z integracijo Povprečna hitrost je V nadaljevanju pokažimo, da ima Poiseuillov tok vedno paraboličen profil, ne glede na to ali je prisotna gravitacija. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

31. Volumsko silo definiramo kot je enotski vektor v smeri navzgor. Komponente volumske sile v koordinatnih smereh so Pozicijski vektor delca tekočine je MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

32. Navier-Stokesove enačbe potem dobijo obliko MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

33. Te enačbe so enake kot v prejšnjem primeru brez gravitacije. Samo člen s tlakom se je spremenil v člen MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

34. RAVNINSKI COUETTE-OV TOK DVEH PLASTI NESTISLJIVEGA VISKOZNEGA FLUIDA Zgornja plošča se giba. Spodnja plošča miruje. Tlačni gradient v smeri toka je nič. Distribucija toka v zgornji plasti je Distribucija toka v spodnji plasti je Navier - Stokesove enačbe dajo Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

35. Integracija omenjenih enačb da Uporabimo naslednje robne pogoje Robni pogoji med obema plastema so med plastema tekočine ni zdrsa ali pri Napetostni vektor v plasti 1 je enak in nasproten temu v plasti 2 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

36. pri Napetostne komponente morajo biti zvezne preko vmesne plasti MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

37. Z uporabo robnih pogojev dobimo To so štiri enačbe za štiri neznanke Iz njih izračunamo Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

38. Porazdelitvi hitrosti v obeh plasteh sta Na koncu iz pogojev je tlak na meji, ki je predpisan MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

39. COUETTE-OV TOK Zaenkrat ne obravnavamo. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

40. TOK V BLIŽINI OSCILIRAJOČE RAVNINE Zaenkrat ne obravnavamo! Zadošča enačbi Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

41. DISIPACIJSKA FUNKCIJA ZA NEWTONSKE TEKOČINE Hitrost dela (moč) je bila izpeljana v Poglavju 3 je setavljena iz spremembe kinetične energije in spremembe volumna in oblike delca. Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

42. A. Nestisljive Newtonske tekočine Imamo Pomnožimo z gradientom hitrosti Za nestisljive tekočine velja Zaradi tega MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

43. Pri tem nadalje upoštevamo Zaradi tega Funkcijo Imenujemo disipacijsko funkcijo nestisljive tekočine. Predstavlja hitrost spreminjanja dela v toploto. MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

44. B. Stisljive Newtonske tekočine Disipacijska funkcija za stisljive Newtonske tekočine Napišemo jo lahko v obliki Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

45. ENERGIJSKA ENAČBA ZA NEWTONSKO TEKOČINO Energijska enačba za kontinuum je komponenta vektorja toplotnega toka notranja generacija toplote Fourierjeva konstitucijska enačba za toplotni tok je koeficient toplotne prevodnosti temperatura Prof.dr. Božidar Šarler 2009/2010 MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

46. Tako energijska enačba postane Upoštevajmo še relacijo Kjer smo vpeljali specifično toploto . Velja V primeru konstantne toplotne prevodnosti velja MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

47. V primeru, da ni notranjih izvorov toplote velja toplotna difuzivnost MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

48. VEKTOR VRTINČNOSTI Antisimetrični del tenzorja gradienta hitrosti je definiran kot spinski tenzor . predstavlja vektor kotne hitrosti poglavitnih smeri tenzorja hitrosti deformacije . če je enotski vektor v poglavitni smeri velja Naj bo snovni element v smeri ob času . Potem imamo Kjer je dolžina . MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

49. Snovni odvod prejšnje enačbe da V poglavju 3 smo izpeljali Sledi * velja MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS

50. Enačba postane * Snovni elementi, ki so v poglavitnih smereh se vrtijo s kotno hitrostjo in obenem spreminjajo dolžine. V Kartezijevih koordinatah velja Vektor vrtinčnosti definiramo kot Tenzor vrtinčnosti definiramo kot MEHANIKA KONTINUUMA / CONTINUUM MECHANICS NEWTONSKE VISKOZNE TEKOČINE / NEWTONIAN VISCOUS FLUIDS