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Los Números Racionales

Los Números Racionales. Prof. Isaías Correa Marín. Objetivos:. Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas de expresión, tanto en las ciencias exactas como en las ciencias sociales y en el ámbito cotidiano.

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Los Números Racionales

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  1. Los Números Racionales Prof. Isaías Correa Marín

  2. Objetivos: • Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus diversas formas de expresión, tanto en las ciencias exactas como en las ciencias sociales y en el ámbito cotidiano. • Aplicar la operatoria básica en los números naturales y enteros.

  3. Objetivos: • Aplicar las operaciones básicas en los números racionales. • Resolver problemas que involucren operaciones con números enteros, decimales y fracciones. • Reconocer regularidades numéricas (secuencias).

  4. 5. Números complejos ( C ) Contenidos • Números racionales (Q) 1.1 Propiedades de los racionales 1.2 Operatoria en los racionales 1.3 Transformaciones de números racionales 1.4 Comparación de fracciones 1.5 Secuencia numérica 2. Números irracionales (Q*) 3. Números reales ( IR ) 4. Números imaginarios ( II )

  5. Q = / a y b son enteros, y b es distinto de cero a b 2,18; 15, -2; 14; -1; 2; 17; 0; -6; -45; 0 7 8 3 0,489; NO es racional -0,647 1.Números Racionales (Q) Es un conjunto infinito, ordenado y denso, donde todos los números se pueden escribir como fracción, es decir: a: numerador y b: denominador Ejemplos:

  6. Por ejemplo: 3 es Natural (3 IN), 3 es Cardinal (3 IN0), 3 es Entero (3 Z), y como 3 = , 3 es racional (3 Q). 3 1 IN IN0 Z Q Todo número entero es racional.

  7. Diagrama representativo:

  8. 2∙ 6 2 Al amplificar la fracción por 6 resulta: 3∙ 6 3 12 18 1.1 Propiedades de los racionales • Las fracciones se pueden clasificar en: Fracción propia, donde el numerador es menor que el denominador. Fracción impropia, donde el numerador es mayor que el denominador. Fracción Mixta, está compuesta de una parte entera y de otra fraccionaria. • Amplificar y simplificar fracciones Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como el denominador por un mismo número. Ejemplo: =

  9. Al simplificar la fracción por 3 resulta: 3 9 2 3 2 9 27 27 : 9 45 15 45 : El inverso multiplicativo, o recíproco de Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el numerador como el denominador por un mismo número. Ejemplo: = • Inverso multiplicativo o recíproco de una fracción Ejemplo: es:

  10. + - 13 -3 4 7 4 7 7 11 2 45 45 15 15 15 15 15 15 15 6 + 7 2∙3 + 7∙1 + = 45 45 • 1.2 Operatoria en los racionales • Suma y resta Ejemplos: 1. Si los denominadores son iguales: = = y 2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro: = =

  11. 4∙8 + 5∙7 32 + 35 + = 40 40 5∙3 + 7∙2 15 + 14 + = 36 36 29 5 7 7 67 4 8 36 40 18 12 5 3. Si los denominadores son primos entre sí: = = 4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.): = =

  12. ∙ = = : ∙ = = = - 43 7 8 -32 32 7 -4 -28 28 -4 -4 8 35 5 5 40 35 7 5 40 5 8 3 8∙5 + 3 = = 5 5 • Multiplicación: Ejemplo: - • División: Ejemplo: • Número Mixto: Ejemplo: 8

  13. = 1,75 7 7 175 25∙7 = = 1,75 4 4 100 25∙4 = • 1.3 Transformación de números racionales • De fracción a decimal: Se divide el numerador por el denominador. Ejemplo: • De decimal finito a fracción: El numerador corresponde al número sin comas, y el denominador es una potencia de 10 que depende del número de decimales que tenga el número. Ejemplo:

  14. 2,35 = 235 – 2 = 233 99 99 0,376 = 376 – 0 = 376 999 999 • De un número decimal periódico a fracción: • 1. El numerador de la fracción es la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma, y la parte entera. • 2. El denominador está formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período. Ejemplo 1: Ejemplo 2: Nota:Se llama “período” al conjunto de dígitos que se repite indefinidamente.

  15. 3,21 = 321-32 = 289 90 90 • De un número decimal semi periódico a fracción: • 1. El numerador de la fracción corresponde a la diferencia entre el número decimal completo, sin la coma; y la parte entera incluyendo las cifras del ante período. • 2. El denominador queda formado por tantos nueves (9), como cifras tenga el período, y tantos ceros (0), como cifras tenga el ante período. Ejemplo: Nota:Se llama “ante período” a los números que hay entre la coma decimal, y el período.

  16. Al comparar (Multiplicando cruzado) y 9 13 9 13 10 15 15 10 • 1.4 Comparación de fracciones • Multiplicación cruzada: Ejemplo: 13 ∙ 10 y 15 ∙9 130 y 135 Como 130 < 135, entonces: <

  17. Al comparar (Igualando denominadores) y 13∙4 7∙5 15∙4 12∙5 52 35 60 60 13 7 13 7 15 12 15 12 • Igualando denominadores: Ejemplo: y y Como 52 > 35, entonces >

  18. Al comparar y (Transformando a decimal) Como 0,86 > 0,583 7 7 13 13 7 13 12 12 12 15 15 15 • Transformar a decimal: Ejemplo: = 0,86666666… = 0,58333333… , entonces >

  19. Al comparar (Multiplicamos ambos numeradores por un factor para obtener el m.c.m. entre 10 y 13 en este caso 130) es mayor que y y y 10 10 10·13 130 130 13·10 13 13 40 4·10 4 4 3 3·13 3 39 • Igualando Numeradores: Ejemplo: Por lo tanto,

  20. 6 , 1 , 1 , 36 , ... 65 66 . 16 , 26 , 5 5 5 5 5 5 5 5 ¿Qué número tendríamos que sumar a para obtener el 7° término ? De acuerdo a las características de la secuencia, el 7° término es 65 = 13 Tendríamos que sumar a para obtener el 7° término. 5 • 1.5 Secuencia Numérica Ejemplo: En la secuencia: Respuesta: Es decir:

  21. 1 5 1 + 1 , 1 + 3 , 1 + 5 , 1 + 7 , 1 + 13… 5 5 5 5 5 Es , más un número impar, lo que se expresa como: 1 + (2n - 1) 5 Observación: La secuencia anterior también se puede analizar de la siguiente manera: ..., ... , 1° 2° 3° 4° 7°… Lo que nos permitiría saber, por ejemplo, ¿cuál es el valor del n-ésimo término de la secuencia? Respuesta: (Con n = posición del término)

  22. Q Q*= U 2. Números Irracionales (Q*) Son aquellos que NO se pueden escribir como una fracción (decimales infinitos NO periódicos). Q* =

  23. 3. Números Reales (IR) IR = Q U Q* 2,18; -2; 7 IN IN0 Z Q IR Q* IR Es el conjunto formado por la unión entre los números racionales y los números irracionales. Ejemplos: 23,491002 3, -89, Diagrama representativo:

  24. IR II = O U 4. Números imaginarios (II) Todos aquellos números que NO son reales, son imaginarios. Ejemplo: Raíces de índice par y parte subradical negativa:

  25. IN IN0 Z Q IR C II C 5. Números complejos (C) Es el conjunto formado por el producto cartesiano entre los números reales y los números imaginarios. Diagrama representativo: IR x II = C

  26. Sinteticemos en el siguiente mapa conceptual lo que hemos aprendido

  27. Conjunto Q Propiedades y comparación Transformaciones Operatoria Adición Simplificación Decimal finito a fracción Sustracción Amplificación Decimal periódico a fracción Multiplicación Decimal semiperiódico a fracción Fracciones equivalentes División

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