1 / 33

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION. Jaroslav Neuhauser n euhauj @control.felk.cvut.cz. Pavel Trnka trnkap@control.felk.cvut.cz. Katedra Řídicí techniky Elektrotechnická fakulta České vysoké učení technické v Praze. úvod do problematiky. Metoda identifikace stavového modelu systému.

jiro
Télécharger la présentation

M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. METODY SUBSPACE IDENTIFICATION Jaroslav Neuhauser neuhauj@control.felk.cvut.cz Pavel Trnka trnkap@control.felk.cvut.cz Katedra Řídicí techniky Elektrotechnická fakulta České vysoké učení technické v Praze

  2. úvod do problematiky • Metoda identifikace stavového modelu systému. • Explicitní numerický algoritmus pro získání odhadů posloupnosti stavů a systémových matic ze vstupně/výstupních dat. • Slovo „subspace“ vyjadřuje skutečnost, že posloupnost stavů systému může být přímo získánaz řádkových a sloupových prostorů určitých matic vytvořených pouze ze vstupně výstupních dat. • Jakmile jsou tyto stavy jednou známy je určení systémových matic A, B, C, D jednoduchým problémem řešitelným metodou nejmenších čtverců. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

  3. cíl Z naměřených vstupně/výstupních dat: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Určit řád systému a získat matice A, B, C, Dstavového LTI modelu: kde

  4. používané zkratky 4SID, S4ID Subspace State Space System IDentification N4SID Numerical 4SID Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

  5. vlastnosti (1) Výhody: • Minimální počet parametrů zadávaných uživatelem – zadáván pouze řád identifikovaného systému. K jeho určení navíc poskytuje dobrý odhad. • Identifikuje přímo model s redukovaným řádem. Není tedy nutné nejprve identifikovat systém s vysokým řádem a následně použít metody redukce řádu. • 4SID nejsou metodami iterativními, tudíž nemají potíže s konvergencí. • Praktické realizace používají numericky robustní SVD a QR dekompozice s dobře známými vlastnostmi. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

  6. vlastnosti (2) Nevýhody: • 4SID nejsou určeny pro malé soubory dat. Jsou tedy špatně použitelné například v ekonometrii. • Abstraktní metoda, jejíž kroky jsou obtížně fyzikálně interpretovatelné. • Náročná rekurzivní implementace. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

  7. Bart De Moor Katholieke Universiteit Leuven, Belgium osobnosti 4SID Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Hiroshi Oku University of Twente, Netherlands Peter van Overschee Katholieke Universiteit Leuven, Belgium

  8. subspace vs. klasický přístup Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

  9. nástroje pro subspace metody • Subspace metody používají matematické nástroje z následujících oblastí: • Geometrické nástroje: • Ortogonální projekce • Kosá (nepřímá, šikmá) projekce (Oblique Projection) • Principiální směry a úhly • Matematické nástroje: • Řádkové prostory matic • Rozklad na singulární čísla (SVD dekompozice) • QR dekompozice • Statistika • Teorie systémů Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

  10. n-dimenzionální prostor jeho m-dimen-zionální podprostor A = m x n řádkový prostor matice (Matrix Row Space) Řádkový prostor matice A o rozměrech (m,n), označovaný jako row(A) je prostor tvořený všemi lineárními kombinacemi (lineárním obalem) vektorů řádků matice A. Pro matici A o rozměrech (m,n) reprezentuje row(A) podprostor prostoru Rn,který má dimenzi rank(A)=m. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Pro matici A s plnou řádkovou hodností:

  11. hankelovy matice Matice se stejnými prvky na vedlejších diagonálách. Konstruovány z posloupností . Hodnota prvkuv Hankelově matici H na pozici (i,j) závisí pouze na součtu i+j: Například pro posloupnost dostaneme: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Naměřená vstupně/výstupní data jsou pro použití algoritmů Subspace Identification naplněna do Hankelových matic.

  12. hankelovy matice - tvary matic pro 4SID (1) j i “past” i “future” Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr i … počet blokových řádků, musí být větší než řád odha- dovaného systému (postačuje větší než index pozorovatelnosti) j … počet sloupců je typicky roven s-2i+1, kde s je počet vzorkůIndexy U0|2i-1 označují první a poslední prvek v prvním sloupci Hankelovy matice.

  13. hankelovy matice - tvary matic pro 4SID (2) Up Uf Příklad vytvoření Hankelovy matice dat z posloupnosti vstupů: naměřeno 200 vzorků Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Tyto matice pak reprezentují řádkový podprostor ve 180-ti rozměrném prostoru.

  14. hankelovy matice - tvary matic pro 4SID (3) Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Matice Up(minulé vstupy) a Uf (budoucí vstupy) jsou definovány rozdělením matice U0|2i-1 na dvě stejné části. Matice Up+ a Uf- vzniknou posunutím hranice mezi minulými a budoucími daty o jednu blokovou řádku dolů. Hankelova matice výstupů Y0|2i-1 je definována podobně.

  15. posloupnost stavů Posloupnost stavůXije definována: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr kde index i označuje index prvního prvku v posloupnosti stavů. • Xije matice o rozměrech (n, j) kde: • v řádcích jsou časové posloupnosti jednoho stavu (ty • tvoří vektory, se kterými 4SID metody pracují) • ve sloupcích pak jsou hodnoty všech stavů pro daný časový okamžik.

  16. rozšířená matice pozorovatelnosti a řiditelnosti Rozšířená matice pozorovatelnosti i je definována: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Předpokládáme, že pár {A,C}je pozorovatelný, což znamená, že hodnost i je rovna n. Reverzovaná rozšířená matice řiditelnosti Di je definována: Předpokládáme, že pár {A,B}je řiditelný, což znamená, že hodnost Di je rovna n.

  17. toeplitzova matice impulzní odezvy systému Toeplitzova matice impulzní odezvy systému: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

  18. stavový model Metody deterministické 4SID si kladou za cíl určit z naměřených vstupně/výstupních dat: řád systému, posloupnost stavů a následně matice stavového modelu A, B, C, D. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Stavový model systému (m vstupů, l výstupů, řád n): Pro deterministickou identifikaci budeme uvažovat systém bez přítomnosti šumu wk=0 a vk=0

  19. stavový model - nejednoznačnost Stavový model je nejednoznačný vzhledem k volbě báze stavového prostoru. Jeden systém tak může být popsán nekonečně mnoha stavovými modely, které jsou ovšem svázány podobnostní transformací T. Libovolná regulární transformační matice popisuje transformaci mezi ekvivalentními stavovými modely. Výsledek stavové identifikace tak není v maticích A, B, C, D numericky jednoznačný. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

  20. stavový model - nejednoznačnost Stejnou transformaci můžeme napsat i pro již zavedenou matici posloupnosti stavů Xi: jelikož je transformační matice T nesingulární budou řádkové prostory generované řádky matice Xi a Zi stejné. 4SID algoritmy tak nehledají konkrétní stavové posloupnosti Xi, ale právě prostor generovaný řádky matice Xi , jehož libovolná báze tvoří platnou stavovou posloupnost (lze nalézt pomocí SVD). Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

  21. stavový model - maticový tvar (1) Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Stavový model lze přepsat do maticového tvaru: Maticový zápis stavových rovnic systému odpovídá rozepsaným diferenčním rovnicím – spojují tak v sobě obvyklou rovnici aktualizace stavů a výstupní rovnici.

  22. stavový model - maticový tvar (2) Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr v prvním sloupci jsou výstupy počítány jako odezva na počáteční stav x0a posloupnost vstupů: v druhém sloupci jsou výstupy počítány jako odezva na počáteční stav x1a posloupnost vstupů: atd…

  23. stavový model - maticový tvar (3) Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

  24. stavový model - maticový tvar (4) Uf Yf Hi.Uf Gi.Xf Xf Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Geometrická interpretace Na násobení maticemi Gi, Hi, Ai, Dizleva můžeme nahlížet jako na řádkové úpravy násobených matic. Z tohoto pohledu pak např. každý řádek matice Yf vzniká jako lineární kombinace řádků matic Xf a Uf.

  25. algoritmy deterministické identifikace Algoritmy 4SID identifikace využívají geometrických vlastností vazeb mezi řádkovými prostory matic Up, Uf, Yp, Yf, Xp a Xf popsaných maticovými rovnicemi systému. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Téměř výhradně pracujeme s řádkovými vektory blokových Hankelových matic (časové posloupnosti) a nikoliv např. s vektorem vstupů nebo stavů z jednoho časového okamžiku. • Geometrické nástroje: • Ortogonální projekce • Kosá (nepřímá, šikmá) projekce (Oblique Projection) • Principiální směry a úhly

  26. ortogonální projekce (1) Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Ortogonální projekce řádkového prostoru do řádkového prostoru matice označovanou jako lze zapsat: kde značí Moore-Penrosovu pseudoinverzi. Výsledek projekce leží v řádkovém prostoru matice B a má stejný počet řádkových vektorů jako matice A.

  27. ortogonální projekce (2) Řádkový podprostor generovaný maticí lze ortogonální projekcí rozložit na dva vzájemně kolmé podprostory: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr kde Projekci lze dobře numericky realizovat pomocí LQ dekompozice.

  28. kosá (oblique) projekce (1) Matice A může být také dekomponována jako lineární kombinace dvou neortogonálních matic B a C a jejich ortogonálního doplňku. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

  29. kosá (oblique) projekce (2) Kosá projekce řádkového prostoru matice podél řádkového prostoru matice do řádkového prostoru matice je definována: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr pouze prvních r řádků Základní vlastnosti: Pokud B=0 nebo řádkový prostor matice B je ortogonální k řádkovému prostoru matice C, pak platí:

  30. principiální úhly a směry (1) Principiální úhly mezi dvěma řádkovými prostory jsou zobecněním úhlu mezi dvěma vektory. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr A a2 a1=b1 1=0 2 B b2

  31. principiální úhly a směry (2) Principiální úhly mezi dvěma řádkovými prostory matic a a odpovídající principální směry a jsou rekurzivně definovány jako: s podmínkami: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

  32. principiální úhly a směry – souvislost s SVD Principiální úhly a směry lze počítat pomocí SVD: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Jsou dány dvě matice a a jejich SVD dekompozice: • pak platí: • principiální směry mezi řádkovými podprostory matic A a B jsou rovny řádkům matic U a VT. • Kosiny principiálních úhlů mezi řádkovými podprostory matic A a B jsou rovny singulárním číslům matice  (diagonála matice ).

  33. závěr • V tomto semináři jsme: • ukázali matematické nástrojepoužívané metodami • Subspace Identification Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr • V dalším semináři: • ukážeme samotné algoritmy deterministické • Subspace Identification • jejich použití na jednoduchých příkladech a • reálných datech

More Related