M ETODY S UBSPACE I DENTIFICATION 2

1. METODY SUBSPACE IDENTIFICATION 2 Jaroslav Neuhauser neuhauj@control.felk.cvut.cz Pavel Trnka trnkap@control.felk.cvut.cz Katedra Řídicí techniky Elektrotechnická fakulta České vysoké učení technické v Praze

2. úvod • V tomto semináři ukážeme: • využití matematických nástrojů z minulé přednášky • v algoritmech deterministické identifikace • použití těchto algoritmů na jednoduchých • příkladech a také na reálných datech Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

3. připomenutí z minula • Metody deterministické 4SID si kladou za cíl určit z posloupnosti naměřených vstupně/výstupních dat: • řád systému a posloupnost stavů • a nakonec z této posloupnosti stavů určit • matice stavového modelu A, B, C, D. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Stavový model systému (m vstupů, l výstupů, řád n): Pro odvození deterministické identifikace budeme uvažovat systém bez přítomnosti šumu wk=0 a vk=0

4. připomenutí - maticový tvar Stavový model v maticovém tvaru: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Up, Uf - Hankelovy matice „minulých“/„budoucích“ vstupních dat Yp, Yf - Hankelovy matice „minulých“/„budoucích“ výstupních dat Xp, Xf - časová posloupnost „minulých“/„budoucích“ stavů systému Gi - rozšířená matice pozorovatelnosti Hi - Toeplitzova matice impulsní odezvy Di- reverzovaná matice řiditelnosti počítané z matic A,B,C,D

5. připomenutí - maticový tvar Maticový zápis stavových rovnic systému odpovídá rozepsaným diferenčním rovnicím: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr indexy značí čas a nikoliv složky vektoru

6. připomenutí - maticový tvar Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr v prvním sloupci jsou výstupy počítány jako odezva na počáteční stav x0a posloupnost vstupů: v druhém sloupci jsou výstupy počítány jako odezva na počáteční stav x1a posloupnost vstupů: atd…

7. připomenutí - nejednoznačnost Stavový model je nejednoznačný vzhledem k volbě báze stavového prostoru. Jeden systém tak může být popsán nekonečně mnoha stavovými modely, které jsou ovšem svázány podobnostní transformací T. Libovolná regulární transformační matice popisuje transformaci mezi ekvivalentními stavovými modely. Výsledek stavové identifikace tak není v maticích A, B, C, D numericky jednoznačný. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

8. připomenutí - nejednoznačnost • Stejnou transformaci můžeme napsat i pro již zavedenou matici posloupnosti stavů Xi: • jelikož je transformační matice T nesingulární budou řádkové prostory generované řádky matice Xi a Zi stejné. • 4SID algoritmy proto nehledají konkrétní stavovou posloupnost Xi, ale právě prostor generovaný řádky matice Xi , jehož libovolná báze tvoří platnou stavovou posloupnost. • K nalezení tohoto řádkového prostoru jsou používány • geometrické nástroje numerické algebry. • Nejednoznačnost ve volbě báze je dána nejednoznačností • stavového modelu vůči podobnostní transformaci. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

9. připomenutí – geometrická interpretace Uf Yf Hi.Uf Gi.Xf Xf Geometrická interpretace maticových rovnic Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Na násobení maticemi Gi, Hi, Ai, Dizleva můžeme nahlížet jako na řádkové úpravy násobených matic. Z tohoto pohledu pak každý řádek matice Yf vzniká jako lineární kombinace řádků matic Xf a Uf.

10. algoritmy deterministické identifikace • Algoritmy deterministické identifikace: • Průsečíkový algoritmus • Projekční algoritmus • Sjednocující projekční algoritmus (Theorem 2) • Odlišují se odolností proti šumu. • Využívají geometrických vlastností vazeb mezi řádkovými prostory matic Up, Uf, Yp, Yf, Xp a Xf popsaných maticovými rovnicemi systému. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Téměř výhradně pracujeme s řádkovými vektory blokových Hankelových matic (časové posloupnosti) a nikoliv např. s vektoryvstupů nebo stavů z jednoho časového okamžiku.

11. průnikový (intersection) algoritmus (1) Identifikační metoda pracující na základě velmi jednoduché vlastnosti řádkových prostorů datových Hankelových matic. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Řádkový prostor sekvence stavů Xflze získat jako průnik mezi řádkovým prostorem minulých dat (Up, Yp) a řádkovým prostorem budoucích dat (Uf, Yf): Libovolná báze tohoto průnikem vzniklého prostoru tvoří platnou posloupnost stavů. Nejednoznačnost ve volbě báze odpovídá podobnostní transformaci stavového modelu T.

12. průnikový (intersection) algoritmus (2) K nalezení průniku lze použít například principiálních úhlů a principiálních směrů mezi podprostory počítaných pomocí SVD (minulá přednáška). Principiální úhly uvažujeme jako zobecnění úhlu mezi dvěma vektory na úhly mezi dvěma podprostory. Počet principiálních úhlů je roven dimenzi menšího ze dvou podprostorů. Průnik mezi dvěma podprostory nalezneme jako prostor generovaný principiálními směry odpovídajících nulovým principiálním úhlům. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

13. průnikový (intersection) algoritmus (3) Nalezení průniku za použití principiálních úhlů a principiálních směrů počítaných pomocí SVD: Singulární rozklad Matice S má na diagonále kosíny principiálních úhlů mezi principiálními směry danými řádky matice U a VT. Počet principiálních úhlů blížících se nule udává odhad dimenze průniku a tím také řád systému. Odpovídající principiální směry pak tvoří bázi tohoto průniku a tím i platnou posloupnost stavů systému. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

14. průnikový algoritmus – příklad (1) SISO systém 3. řádu: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Naměřeno 200 vzorků

15. průnikový algoritmus – příklad (2) • Volba počtu řádek blokových Hankelových matic: • i = 10 • Umožní identifikovat systémy až do desátého řádu. • Z naměřených 200 vzorků sestavíme datové Hankelovy matice s rozměry: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr • kde počet sloupců j je zvolen tak, aby byla využita všechna data: • j = (počet vzorků) – 2i = 180

16. průnikový algoritmus – příklad (3) Yp Yf Hankelovy datové matice (vykresleno pomocí pcolor): Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Dále budeme pracovat s řádkovými prostory těchto matic. V našem případě tedy ve 180-ti rozměrném prostoru.

17. průnikový algoritmus – příklad (4) • Vypočteme principiální úhly mezi řádkovými prostory minulých dat (Wp) a budoucích dat (Wf): • Vypočteme součin projekčních matic a provedeme jejich singulární rozklad. • Z matice singulárních čísel S vypočteme principiální úhly: • z počtu singulárních čísel blížících se nule odhadneme řád systému. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr PrincpialniUhly = acos(diag(S))*180/pi;

18. průnikový algoritmus – příklad (5) Prvních 15 nejmenších principiálních úhlů: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Tři nulové principiální úhly ukazují na prostor průsečíku s dimenzí 3 a tím na systém 3. řádu. Odpovídající řádky matice U (s normou rovné jedné) pak tvoří posloupnost stavů. Ta je nejednoznačná vůči podobnostní transformaci.

19. průnikový algoritmus – příklad (6) • Nakonec jsou z posloupnosti stavů, vstupu a výstupu pomocí nejmenších čtverců určeny matice systému A, B, C, D. • Porovnání skutečného a naidentifikovaného systému: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

20. vliv šumu Začneme-li přidávat k měření šum bude se zhoršovat jednoznačnost odhadu řádu systému. Minulá a budoucí data budou postupně ztrácet průnik – první tři původně nulové principiální úhly budou růst: 5% šum 10% šum 20% šum Pomocí SVD můžeme určit aproximaci průniku pro zvolený řád systému. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr nárůst šumu měření % k maximální hodnotě výstupu

21. důkaz průnikového algoritmu (1) Jak je možné, že stačí (zdánlivě) tak málo?: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr • Ukážeme následující: • Xf leží v řádkovém prostoru budoucích dat (Wf) • Xf leží také v řádkovém prostoru minulých dat (Wp) • prostor průniku má dimenzi rovnou řádu systému n čímž dokážeme, že libovolná báze prostoru vzniklého průnikem minulých a budoucích dat tvoří správnou (přípustnou) posloupnost stavů.

22. důkaz průnikového algoritmu (2) 1.Xf leží v řádkovém prostoru budoucích dat Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr z maticové rovnice systému lze budoucí stavy napsat jako výsledkem násobení maticí zleva je matice jejíž řádky jsou tvořeny lineární kombinací řádků násobené matice. To ukazuje, že Xf leží v řádkovém prostoru budoucích dat:

23. důkaz průnikového algoritmu (3) 2.Xfleží také v řádkovém prostoru minulých dat Ze stavových rovnic: můžeme Xf zapsat jako: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Což ukazuje, že také Xf leží v řádkovém prostoru minulých dat

24. důkaz průnikového algoritmu (4) 3.prostor průniku má dimenzi rovnou řádu systému n Důkaz následující rovnosti je delší. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr • Omezíme se proto na výčet podmínek, za kterých platí: • Řádky Hankelových matic Up, Uf jsou lineárně nezávislé. To lze zajistit dostatečným počtem vzorků. • Řádky matic Xp a Xf jsou lineárně nezávislé. To odpovídá v identifikaci obvyklé podmínce dostatečného vybuzení systému.

25. průnikový algoritmus - poznámky • Poznámky: • stavová matice a Hankelovy matice vstupů U a matice výstupů Y mají počet sloupců přibližně rovný počtu naměřených vzorků • řádkové vektory se kterými 4SID pracuje tak mohou mít rozměry v řádech 100, 1000, … • je tak potřeba rozlišovat mezi stavovým prostorem systému a řádkový prostor matice Xi Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Stavový prostor – n rozměrný s dimenzí n (n řád systému). Leží v něm všechny stavy tj. sloupce matice Xi . Řádkový prostor matice Xi – j rozměrný s dimenzí n. Báze je dána řádky matice Xi

26. známé známé získání matic stavového modelu (1) • Z předchozích kroků algoritmu známe: • odhad řádu systému (ze singulárních čísel) • stavovou posloupnost Xf Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr K nalezení systémových matic stačí vyřešit soustavu rovnic: Rozměry matic díky odhadu řádu systému známe. Ui|iresp. Yi|i je jeden blokový řádek vstupních resp. výstupních dat. Soustava rovnic je přeurčená, avšak pro náš deterministický případ také konzistentní – tudíž není nutné použít metodu nejmenších čtverců.

27. získání matic stavového modelu (2) Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr V případě použití deterministické identifikace na zašuměná data je použití metody nejmenších čtverců nutné:

28. vlastnosti SVD pro Subspace metody (1) 4SID metody používají singulární rozklad pro zjištění báze řádkového nebo sloupcového prostoru matice a pro jeho aproximaci prostorem nižšího řádu. Pro matici A2Rm £ n: kde matice S1 je čtvercová matice s k nenulovými singulárními čísly na diagonále. Pak matice U a V jsou rozděleny následovně: Potom pro řádkový resp. sloupcový prostor matice A platí: navíc řádky V1T resp. sloupce U1 tvoří ortogonální bázi řádkového resp. sloupcového prostoru matice A. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

29. vlastnosti SVD pro Subspace metody (2) Z hlediska šumu umožňuje SVD jednoduchou aproximaci řádkových/sloupcových podprostorů. Příklad Matice A má v řádcích 5 vektorů ležících v rovině (x,y). V matici Anoiseje k těmto vektorů přidán šum. Ukážeme, že pomocí SVD lze určit řádkový prostor matice A (nalézt jeho dimenzi a bázi) a také použití SVD pro odstranění šumu z Anoisea nalezení aproximace řádkového prostoru prostorem nižšího řádu. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

30. vlastnosti SVD pro Subspace metody (3) červeně – vektory z řádků matice A modře – vektory z řádků matice Anoise Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr 0.5 0 -0.5 2 1.5 2 1 1.5 0.5 1 0 0.5 -0.5 0 -0.5 -1 -1 -1.5 -1.5 -2 -2

31. vlastnosti SVD pro Subspace metody (4) SVD SVD Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Pro porovnání vypočteme normálové vektory k rovinám představujícím řádkové prostory matic A a Anoise:

32. sjednocující projekční algoritmus Algoritmus bez konkrétního názvu označovaný v literatuře jako „Theorem 2“ podle knihy „De Moor: Subspace Identification for Linear Systems”, ve které byl pod tímto označením zaveden. Pomocí váhových matic W1, W2 představující volné parametry algoritmu, zahrnuje ostatní deterministické algoritmy. Je založen na šikmé projekci prostoru budoucích výstupů do prostoru minulých dat podél podél prostoru budoucích vstupů . Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr kde

33. stručný princip (1) Stručný princip Podle maticové rovnice systému: jsou vektory řádkového prostoru blokové Hankelovy matice Yf získány jako suma lineární kombinace vektorů z řádkového prostoru posloupnosti stavů Xf a lineární kombinace vektorů z řádkového prostoru blokové Hankelovy matice Uf. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Yf Hi.Uf Gi.Xf

34. stručný princip (2) Stručný princip 2 Lze ukázat, že vektory posloupnosti stavů lze získat jako lineární kombinaci řádkových vektorů blokových Hankelových matic minulých dat: vypočteme-li tedy projekci Yf na Wp podél Uf , zbavíme se tak složky výstupu generované vstupem Uf. Projekcí tak dostaneme řádkový prostor Xf daný součinem Gi.Xf, jehož činitele (řádkový a sloupcový prostor)můžeme určit pomocí singulárního rozkladu. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Yf Hi.Uf Wp Gi.Xf

35. kroky algoritmu (1) • Postup: • Výpočet šikmé projekce (např. pomocí LS) • Singulární rozklad matice řádkového prostoru projekce • kde váhové matice W1 a W2 jsou zvoleny, tak aby: • Určení řádu systému podle počtu nenulových singulárních čísel v matici S1 Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

36. kroky algoritmu (2) • Výpočet rozšířené matice pozorovatelnosti(sloupcový prostor projekce) • Pro posloupnost stavů dostaneme singulárním rozkladem část stavů ležících ve sloupcovém prostor matice W2: • Posloupnost stavů nakonec dostaneme jako Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

37. poznámky k algoritmu • Poznámky: • volba matic W1 a W2 určují výslednou bázi pro stavový prostor. Transformační matice T je těmito maticemi parametrizována T(W1, W2). • Sjednocující projekční algoritmus má následující algebraickou interpretaci: • ze které může být vidět, že cílem 4SID algoritmů je nalezení subprostoru stavů. Jeho libovolná báze tvoří potom posloupnost stavů – tato báze (báze řádkového prostoru) je nalezena pomocí SVD. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

38. důkaz (1) Jak již bylo ukázáno matici posloupnosti budoucích stavů Xf můžeme získat jako lineární kombinaci minulých dat. Ze stavových rovnic: můžeme Xp zapsat jako: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

39. důkaz (2) Rovnici pro budoucí výstupy Yf potom můžeme přepsat: ortogonální projekcí obou stran rovnice na prostor kolmý k prostoru budoucích vstupů Ufdostaneme: Z matice můžeme singulárním rozkladem získat bázi řádkového prostoru Xi neboť Gimá plnou sloupcovou hodnost (podobně pro bázi col(Gi) ). Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

40. příklad (1) Stejná data jako pro průnikový algoritmus: SISO systém 3. řádu: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Naměřeno 200 vzorků

41. příklad (2) K výstupním datům přidán šum. Singulární čísla matice Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Počet velkých singulárních čísel dává dobrý odhad řádu systému -> n=3.

42. příklad (3) Porovnání skutečného a naidentifikovaného systému: Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

43. Hydraulický servoválec Použití metod Subspace Identification pro identifikaci reálného systému z naměřených dat. Parametry válce: jmenovitý zdvih: 50 mmjmenovitá síla: 125 kN Parametry servoventilu: jmenovitý průtok: 240 l/min perioda vzorkování: 0,5 ms Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

44. naměřená data Hydraulický válec používán k testování silentbloků pro automobily. Vstupní data tak představují změřené nárazy a vibrace při testovací jízdě automobilem. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

45. odhad řádu systému Odhad řádu systému pomocí singulárních čísel Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

46. stavový model odhadovaného systému Matice identifikovaného systému Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr Vypočtené chyby pro metodu Subspace identification a pro ARX model:

47. porovnání výstupů Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr

48. závěr • V této přednášce jsme: • představili jiný přístup k metodám identifikace • systémů, • ukázali základy metod Subspace Identification a • především jejich deterministickou část, • ukázali, že 4SID metody i přes jejichabstraktnost • jsou použitelné pro praktické aplikace. Úvod Matematické nástroje Deterministická identifikace Simulace Závěr