CH-5 OBJECTS OF CHOICE: MEAN-VARIANCE PORTFOLIO THEORY

# CH-5 OBJECTS OF CHOICE: MEAN-VARIANCE PORTFOLIO THEORY

Télécharger la présentation

## CH-5 OBJECTS OF CHOICE: MEAN-VARIANCE PORTFOLIO THEORY

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
##### Presentation Transcript

1. CH-5OBJECTS OF CHOICE:MEAN-VARIANCE PORTFOLIO THEORY DIAMBIL SELURUHNYA DARI COPELAND WESTON SHASTRI KRESNOHADI ARIYOTO

2. A.MEASURING RISK AND RETURNFOR A SINGLE ASSET • 1.Measures of Location • 2.Measures of Dispersion KRESNOHADI ARIYOTO

3. 1.Measures of Location • MEAN=>Expectation E(X*)=i=1ΣN piXi • Property 1 E(X* + a)=E(X*) + a E(X*+a)= i=1ΣN piXi +a • Property 2 E(ax*)= aE(X*) KRESNOHADI ARIYOTO

4. 1.Measures of Location • MEDIAN, OUTCOME IN THE MIDDLE = 50th PERCENTILE • MODE, MOST FREQUENT OUTCOME KRESNOHADI ARIYOTO

5. 2.Measures of Dispersion • RANGE, HIGHEST OUTCOME Minus LOWEST OUTCOME • VARIANCE VAR(X*)=E[(Xi – E(X*))2] VAR (X*)= i=1ΣN pi(Xi-E(X*))2 Property 3. The variance of the random var plus a constant is equal to the variance of the random variable VAR(X*+a)=E[((Xi+a) – E(X*+a))2 = E[(Xi-E(X*))2]=VAR(X*) KRESNOHADI ARIYOTO

6. 2.Measures of Dispersion • Property 4. The variance of a random variable multiplied by a constant is equal to the constant squared times the variance of the random variable VAR(aX*)=E[axi-aE(x*))2]=a2VAR(X*) KRESNOHADI ARIYOTO

7. B.MEASURING PORTFOLIO RISK AND RETURN • 1.The Normal Distribution Assumption • 2.Calculating The Mean And Variance of A Two-Asset Portfolio • 3.The Correlation Coeficient • 4.The Minimum Variance Portfolio • 5.Perfectly Correlated Assets • 6.The Minimum Variance Opportunity Set KRESNOHADI ARIYOTO

8. B.MEASURING PORTFOLIO RISK AND RETURN1.The Normal Distribution of Returns • We assume that investors measure the expected utility of choices among risky assets by looking at the mean and variance provided by combinations of those assets • Assumed that returns have a normal distribution which can be completely described by mean and variance. This is the bell-shaped probability distribution that many natural phenomena obey. KRESNOHADI ARIYOTO

9. The equation for the frequency of returns, R, that are normally distributed is f (R)= Z=(R-E(R)/б a Unit Normal Variable Z f(z)=e-(1/2)Z2 / V2 π, frequency function for a unit normal variable 1 e-(1/2)[R-E(R))]2 бV2π KRESNOHADI ARIYOTO

10. B.MEASURING PORTFOLIO RISK AND RETURN2.Calculating The Mean And Variance of A Two-Asset Portfolio • A portfolio of two risky assets both normally distributed. a% invested in asset X, and (1-a)% invested in asset Y. The portfolio return Rp*=aX* + bY*=>E(Rp*)= E(aX*) + E(bY*) • E(Rp*)=aE(X*) + bE(Y*) ……………..(5.15) KRESNOHADI ARIYOTO

11. lanjutannya • VAR(Rp*)=E[Rp*-E(Rp*)]2 dst p.111, VAR(Rp)=a2VAR(X*)+b2VAR(Y*)+2ab E[(X*-E(X*))(Y*-E(Y*))], kita tahu bahwa E[(X*-E(X*))(Y*-E(Y*))]=COV(X*Y*) =>VAR(Rp)=a2VAR(X*)+b2VAR(Y*) +2abCOV(X*Y*)……………………(5.16) DST BACA P.112 DAN P113 KRESNOHADI ARIYOTO

12. CONTOH BAHWA DENGAN PORTFOLIORISIKO BISA TURUN • Prob Return X(%) Return Y(%) 0.2 11 -3 0.2 9 15 0.2 25 2 0.2 7 20 0.2 -2 6 Jika dihitung, E(X) = 10%, dan E(Y) = 8% VAR(X)=0.2(0.11-0.10)2 + 0.2(0.09-0.10) …….+0.2(-0.02-0.10)2=0.0076 VAR(Y) = 0.00708, COV(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=-0.0024 KRESNOHADI ARIYOTO

13. Efek dari portfolio (diversifikasi): • p.113: invest 50% in X and 50% in Y.=> Ref Tabel hal 8. • E(Rp)=aE(X) + bE(Y)=0.5(0.10) + 0.5(0.08) = 9% • VAR(Rp)=(.5)2(0.0076)+(0.5)2(0.00708)+2(0.5) (0.5)(-0.0024)=0.00247 < VAR(Y)<VAR(X) • SDH DIHITUNG, VAR(X)=0.0076, VAR(Y)=0.00708 • Efek dari diversifikasi, return turun sedikit tetapi risiko (variance) lebih rendah dari risiko masing-masing aset (X dan Y). KRESNOHADI ARIYOTO

14. Kita dapat membuat diversifikasi lain dengan mengalokasikan dana ke X dan Y, dengan proporsi yang berbeda-beda, dan menghitung expected return dan variance portfolio setiap alokasi. Lihat table 5-3. Kita dapat mengkaji hubungan E(Rp) dengan a, dan hubungan antara б(Rp) dengan a. Hubungan E(Rp) dengan a,E(Rp)=aE(X) + (1-a)E(Y) =>dE(Rp)/da =E(X) –E(Y)=10%-8%=2%=> linier KRESNOHADI ARIYOTO

15. Hubungan б(Rp) dengan a(alokasi dana), merupakan kurva yang tidak linier dan mempunyai minimum, tetapi hubungan E(Rp) dengan a, linier. KRESNOHADI ARIYOTO

16. Hubungan antara Portfolio mean dengan standard deviation tampak pada Fig 5-4. Kurva yang solid, merupakan titik-titik yang merupakan alokasi dana ke aset X dan aset Y yang porsinya berbeda-beda. Bagian kurva yang digambar putus-putus, alokasi dana short selling Untuk short sell 50% X, dan beli 150% Y, maka diperoleh E(Rp)=-0.5E(X) + 1.5E(Y) = -0.5(0.10) + 1.5(0.08)=7.0% VAR(Rp)=(-0.5)2VAR(X) + (1.5)2 VAR(Y) + 2(-0.5)(1.5)COV(X,Y) = 0.02143 => б(Rp)=14.64% KRESNOHADI ARIYOTO

17. B.MEASURING PORTFOLIO RISK AND RETURN3.The Correlation Coeficient • rxy= The Correlation between 2 random variable is defined as: COV(X,Y) ………………(5.17) бxбy COV(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))] = бxбy rxy -1=<rxy<=1 ------------------------(5.18) KRESNOHADI ARIYOTO

18. If returns on the two assets are independent (if the COV =0), then the correlation between them will be zero—see Fig 5.5. Fig 5.6 shows perfect correlation between return X and return Y. Y=a+bX Perfect correlation => correlation coef=1. Buktinya baca di hal.115-116 KRESNOHADI ARIYOTO

19. B.MEASURING PORTFOLIO RISK AND RETURN4.The Minimum Variance Portfolio • Problem yang dapat dipecahkan:Mencari berapa bagian yang harus diinvest pada aset X dan aset Y, agar diperoleh portfolio dari 2 aset, tetapi dengan variance yang minimum (risikonya minimum) KRESNOHADI ARIYOTO

20. lanjutannya • VAR(Rp)=a2VAR(X*)+b2VAR(Y*) +2abCOV(X*Y*)……………………(5.16) => VAR(Rp)=a2 бx2+(1-a)2бy2 +2a(1-a)rxyбxбy • dVAR(Rp)/da= 2aбx2-2бy2 +2a бy2 +2rxyбxбy-4arxyбxбy=0 • Diperoleh a*= бy2 - rxyбxбy (5.21) бx2 +бy2 +2 rxyбxбy Dikaitkan dengan contoh, E(X)=0.10 dan E(Y)=0.08, E(Rp)=8.974% VAR(Rp) =0.0024565 => б(Rp) =4.956% Ditunjukkan pada Fig 5.4. KRESNOHADI ARIYOTO

22. B.MEASURING PORTFOLIO RISK AND RETURN5.Perfectly Correlated Assets Table 5-4 menunjukkan besarnya return X dan Y untuk berbagai probability, dan rxy=1. Std dev=8.41%. Hubungan return X dan Y , X=1.037Y+1.703 sehingga kombinasi X dan Y terletak pada garis itu KRESNOHADI ARIYOTO

23. Minimum VAR Utk rxy= -1 Risk return, 100% Investment in X a*=49.095% Bukti bahwa kurva antara A dan B adalah garis lurus, karena perfectly correlated,rxy=1, baca hal 118 dan 119. Bagaimana jika perfectly inversely correlated, rxy= -1? E(Rp)=aE(X)+(1-a)E(Y) VAR(Rp)=a2бx2+(1-a)2бy2-2a(1-a) б xб y б(Rp) =±[a бx –(1-a) бy ] => itu sebabnya pada Fig 5-7 terdapat 2 garis lurus putus-putus Risk return, 100% Investment in Y KRESNOHADI ARIYOTO

24. Jika nilai a*=0.49095 disubstitusi ke E(Rp) dan б(Rp) , diperoleh E(Rp)=8.92% dan б(Rp) =0% Bukti bahwa garis AC dan garis CB linier dengan slope positif dan negatif, baca p.120. KRESNOHADI ARIYOTO

25. B.MEASURING PORTFOLIO RISK AND RETURN6.The Minimum Variance Opportunity Set Garis AB: risk return trade-off yang tersedia bagi investor yang invest pada aset X dan Y, jika return aset X dan Y berkorelasi sempurna Garis AC dan CB: idem, tetapi korelasi aset X dan Y berlawanan arah. Kurva AB dengan garis penuh, trade off untuk korelasi aset antara -1 dan +1. KRESNOHADI ARIYOTO

26. MINIMUM VARIANCE OPPORTUNITY SET The minimum variance opportunity set is the locus of risk and return combinations offered by portfolios of risky assets that yields the minimum variance for a given rate of retrun Any set of portfolio combinations formed by two risky assets that are less than perfectly correlated must lie inside the triangle ACB and will be convex. P.121. KRESNOHADI ARIYOTO

27. c.The Efficient Set with Two Risky Assets (and No Risk-Free-Asset) • Asumsi tidak adanya risk-free asset = tidak ada kesempatan pinjam dan meminjamkan uang (no exchange possibilitiy) • Bagaimana seseorang menentukan optimal portfolionya dari dua risky assets? Dalam hal ini obyek pilihan bukan konsumsi dan investasi melainkan risk dengan return. Pilihannya sama yaitu saat subjective marginal rate of substitution antara risk dengan return tepat sama dengan objectively determined marginal rate of transformation (sepanjang mean variance opportunity set) antara risk dengan return.Pada optimal portfolio, MRS=MRT, sehingga merupkan harga risiko subyektif menurut orang tersebut. KRESNOHADI ARIYOTO

28. Ada individu dengan Indif Curve IV dan V (total utility yang lebih tinggi) tetapi opp set tidak menawarkan sampai kesana Jika kita tahu risk-return trade-off dan tahu juga kemungkinan-kemungkinan yang ditawarkan berbagai kombinasi dari risky assets, maka kita akan memaksimumkan expected utility kita pada titik C. Digambarkan dengan indiff curve kita menyinggung pada opportunity set. KRESNOHADI ARIYOTO

29. Optimal portfolio yang kita pilih agar utility kita maksimum sama artinya jika marginal rate of substitution antara preferensi kita thd risiko dengan return yang ditunjukkan dengan indiff curve kita, tepat sama dengan marginal rate of transformation yang ditawarkan oleh minimum variance opportunity set. KRESNOHADI ARIYOTO

30. Karena itu slope bergaris putus-putus yang menyinggung indiff curve kita di titik C, adalah marginal rate of substitution antara risk dengan return kita. Garis ini juga menyinggung opportunity set di titik C. Dengan demikian, slope tsb merupakan trade-off antara risk dengan return yang ditawarkan oleh opportunity set. KRESNOHADI ARIYOTO

31. Untuk mendapatkan portfolio mana yang sesuai dengan keadaan kita, kita harus mencari berbagai portfolio didalam opportunity set sampai ditemukan hanya satu portfolio dimana MRT (Marg Rate of Transf) antara risk dengan return pada minimum variance opportunity set, yang membuat sama dengan MRS (Marg Rate of Subst) dari indiff curve kita б(Rp)MRT E(Rp) = б(Rp)MRS E(Rp) KRESNOHADI ARIYOTO

32. Jika pada titik A , MRS≠MRT, kita dapat menukar kombinasi investasi kita sehingga diperoleh titik E, dimana MRS=MRT. Rational investor will never choose a portfolio below the minimum variance point. EFFICIENT SET The efficient set is the set of mean variance choices from the investment opportunity set where for a given variance (or standard deviation) no other investment opportunity offers a higher mean return. KRESNOHADI ARIYOTO

33. Semua individu I,II,III, sudah dalam kondisi MRS=MRT Portfolio di B dan F menawarkan risiko yang sama tetapi beda return. B ada di efficient set karena return yang ditawarkan lebih tinggi untuk risiko yang sama. Rational investor akan memilih B. Titik B stochastically dominant over point F KRESNOHADI ARIYOTO

34. Efficient set Jika return dua asset berkorelasi sempurna, maka bentuk efficient set tampak sebagai garis lurus pada Fig 5-11., garis X-Y Jika return dua aset berokrelasi berkebalikan sempurna, maka gambar efiicient set seperti pada Fig 5-12, garis XZ KRESNOHADI ARIYOTO

35. Secara umum kedudukan dari mean-variance yang fisibel dapat dicari dengan mencari solusi dari salah satu dari 2 alternatif berikut. • MIN б2(Rp) subject to E(Rp)=K, atau • Max E(Rp) subject to б2(Rp)=K KRESNOHADI ARIYOTO

36. D.The Efficient Set With One Risky and One Risk-Free Asset • Jika salah satu dari 2 aset mempunyai variance=0, maka mean-variance portfolio menjadi: E(Rp)=aE(X) + (1-a)Rf , dan VAR(Rp)=a2VAR(X) Rf=Risk-free asset, dimana VAR dan COVAR dengan risky asset sama dengan nol Opportunity set dari portfolio ini tampak pada Fig 5-13, yaitu berbentuk garis, linier.Bisa dibuktikan, p.126 KRESNOHADI ARIYOTO

37. Rate of return Rf diasumsikan sama dengan lending dan borrowing rate, untuk nanti mengembangkan teori mengenai harga dari risiko. Dengan asumsi tsb, untuk mencapai XV, diperlukan meminjam dana agar dapat invest >100% pada risky asset. Borrowing dapat dianggap sama dengan selling short atas risk-free asset. Karena itu sepanjang XV, a>1 karena investasi di X >1. Mean dan std dev sepanjang garis XV adalah E(Rp)=aE(X) + (1-a)Rf, dan б(Rp)=aбx KRESNOHADI ARIYOTO

38. Jika kita investasi >100% pada risk-free asset, maka kita harus short-sell atas risky asset kita Mean dan variance portfolio untuk a<0, adalah E(Rp)=(1-a)Rf + aE(X) б(Rp) =IaI бx Tidak ada rational investor yang mau invest dengan cara invest lebih dari 100% pada risk-free asset, karena ada alternatif yang lebih baik yaitu YXV KRESNOHADI ARIYOTO

39. E.Optimal Portfolio Choice:Many Assets1.Portfolio Mean, Variance, and Covariance with N Risky Assets • Investasi pada 3 risky assets E(Rp) = E[w1R1 + w2R2 + w3 R3] = w1E(R1) + w2 E(R2) + w3E(R3) E(Rp) = i=1Σ3 wi E(Ri) VAR(Rp)= i=1Σ3j=1Σ3 wiwjбij KRESNOHADI ARIYOTO

40. Secara umum rumus dapat ditulis E(Rp)=i=1Σn wi E(Ri) VAR (Rp) = i=1 Σni=1Σn wiwjбij KRESNOHADI ARIYOTO

41. E.Optimal Portfolio Choice:Many Assets2.An Application: Cross Hedging with Futures Contract • Skipped KRESNOHADI ARIYOTO

42. E.Optimal Portfolio Choice:Many Assets3.The Opportunity Set with N Risky Assets • Jika expected return dan variance setiap aset dari N aset diketahui termasuk covariance antar pasangan aset diantara mereka, opportunity set dan efficient set dari N risky assets dapat diketahui. • Untuk 2000 sekuritas, diperlukan menghitung 2000 mean, 2000 variance dan 1,999,000 covariance. Melelahkan. • Bentuk investment opportunity set untuk N risky assets, sama saja dengan bentuk untuk 2 risky assets. KRESNOHADI ARIYOTO

43. Mengingat tidak ada risk-less asset, maka seorang risk-averse investor akan memaksimumkan expected utility dengan cara yang sama dengan sebelumnya, yaitu dengan mencari titik dimana indiff curve yang tertinggi yang dapat menyinggung opportunity set. Untuk tujuan itu, std dev, mean return dan covar harus dihitung terlebih dahulu. KRESNOHADI ARIYOTO

44. E.Optimal Portfolio Choice:Many Assets4.The Efficient Set with N Risky Assets and One Risk-Free Asset • Dengan adanya risk-free asset dalam ekonomi, problem mendapatkan portfolio optimal menjadi lebih sederhana. • Asumsi,Borrowing rate=Lending rate=Return risk-free asset. KRESNOHADI ARIYOTO

45. Titik-titik pada garis Rf-M-N merupakan portfolio dari 1 risk-free asset dengan risky assets. Banyak garis bisa dibuat dari Rf, tetapi hanya satu yang paling baik, yaitu yang menyinggung opportunity set di M (Market portfolio) KRESNOHADI ARIYOTO

46. Investor III yang paling risk averse, sedangkan investor I yang paling kurang risk averse. Semua tingkat risk aversion dapat menempatkan dananya dalam portfolio antara risk-free asset denganrisky asset. KRESNOHADI ARIYOTO

47. E.Optimal Portfolio Choice:Many Assets5.A Description of Equilibrium • Kita telah mengkaji sistim ekonomi tanpa exchange opportunity (p.125). Optimal portfolio dilakukan dengan memaximumkan expected utility given his risk preferences, subject to the feasible set of mean variance trade-offs offered by a combination of two risky assets. • Kita juga sudah mengkaji macam-macam sampai opportunity efficient set dimana ada 1 risk-free asset dengan N risky assets.Introduksi kehadiran risk-free asset menyiratkan adanya kesempatan untuk exchange dimana ekonomi terdiri dari banyak individu dimana ada borrowing dan lending dengan rate yang sama dengan risk-free return, frictionless capital market, dan asumsi adanya homogenous belief atas exp. dist. of return tiap aset. Seluruh investor juga tahu posisi efficient set, shg ingin mempunyai portfolio dengan Rf dan M.. KRESNOHADI ARIYOTO

48. Agar capital market dalam kondisi equilibrium, diperlukan adanya market-clearing prices, yaitu asumsi bahwa seluruh aset ada yang memiliki, dan seluruh harga sekuritas sudah mengalami penyesuaian sehingga tidak ada lagi excess demand pada setiap aset. The market-clearing condition implies that an equilibrium is not attained until the single-tangency portfolio, M, which all investors with homogenous expectation try to combine with risk-free borrowing or lending, is a portfolio in which all assets are held according to their market value weights. KRESNOHADI ARIYOTO