Methodologie & Statistiek I

1. Methodologie & Statistiek I Principes van statistisch toetsen 5.1

2. U kunt deze presentatie ook op uw eigen PC afspelen! Gebruikmaken van internet: http://www.unimaas.nl/~stat • Education • Health sciences • Presentations of lectures “op dit moment ……. beschikbaar Opening --- Hoofdstuk 5 (Principes van …) --- Powerpointviewer downloaden”

3. Deze diapresentatie werd vervaardigd door Michel Janssen van de Capaciteitsgroep Methodologie en Statistiek. De presentatie mag alleen worden gecopieerd voor eigen gebruik door studenten en medewerkers van de Universiteit Limburg in Maastricht. Met eventuele op- en aanmerkingen kunt u terecht bij: Universiteit Maastricht Capaciteitsgroep M&S Tjaart Imbos Postbus 616 6200 MD Maastricht tjaart.imbos@stat.unimaas.nl

4. Methodologie & Statistiek I Principes van statistisch toetsen 5.1 21 januari 2002

5. Principes van statistisch toetsen Noodzakelijk voor een goed begrip van andere statistische onderwerpen

6. Statistische toetsing z-toets t-toets Nulhypothese Alternatieve hypothese p-waarde Significantie-niveau Kritiek gebied Kritieke waarde Verwerpingsgebied Acceptatiegebied Type I fout (a) Type II fout (b) Onderscheidend vermogen Kernbegrippen

7. Veronderstelde voorkennis • Standaardiseren (hoofdstuk 2 & 4) • Normale verdeling (hoofdstuk 4) • Gedrag van gemiddelden (hoofdstuk 4) • Verdeling van steekproefgemiddelden • (hoofdstuk 4)

8. Bedoeling van verklarende statistiek: op grond van steekproefgrootheid uitspraak doen omtrent populatieparameter steekproefgrootheid <>populatieparameter fractie gemiddelde standaarddeviatie correlatiecoefficient regressie-coefficient etc.

9. centrale limietstelling Als uit een willekeurige populatie met m en s2, steekproeven van omvang n worden getrokken, dan is de verdeling van steekproefgemiddelden bij benadering normaal verdeeld met gemiddelde= m en variantie= s2 /n de benadering wordt beter bij toenemende n!

10. voorbeeld Gegeven: Van 25 personen werd een reactie-tijd gemeten: de gemiddelde, gemeten, waarde = 4.26 Uit de literatuur is bekend dat dit soort reactietijden normaliter exponentieel verdeeld zijn met m=3 Opm: Bij een exponentiele verdeling geldt m=s Gevraagd: Is de steekproef afkomstig uit de genoemde populatie?

11. als.... de steekproef afkomstig is uit de genoemde populatie met m= s= 3

12. als.... de steekproef afkomstig is uit de genoemde populatie met m= s= 3 dan... is het gevonden gemiddelde (= 4.26) een exemplaar uit de verdeling van gemiddelden van steekproeven met n= 25

13. als.... de steekproef afkomstig is uit de genoemde populatie met m= s= 3 dan... is het gevonden gemiddelde (= 4.26) een exemplaar uit de verdeling van gemiddelden van steekproeven met n= 25 en die verdeling is bekend!!!!!!

14. gemiddelden van steekproeven (n=25) uit een willekeurige populatie met m= s=3 (s2= 9) vormen bij benadering een normale verdeling met m= 3 en s2= 9/25 dus s= 3/5 blijft de vraag hoe waarschijnlijk de gevonden waarde (=4.26) is m= 3 s= 0.6

15. X-gemiddeld is normaal verdeeld: m= 3 en s= 3/5= 0.6 P(X-gemiddeld>4.26)= 100 - P(X-gemiddeld<4.26) 100 - P(z<(4.26 - 3)/0.6)= 100 - P(z<2.1)= 100 - 98.21= 1.79% CONCLUSIE???

16. redenering andersom Gegeven: Steekproef van 25 stuks met gemiddelde= 4.26 Gevraagd: Welke waarden van m (bij een s=3) zijn aannemelijk …. kunnen dit gemiddelde opleveren? 10 ? 1? 7?

17. X-gemiddeld is normaal verdeeld: m= 10 en s= 3/5= 0.6 P(X-gemiddeld<4.26)= P(z<(4.26 - 10)/0.6)= P(z< - 9.57)= 0.0000 m=10 komt dus niet in aanmerking!! We gaan op zoek naar de kleinste en de grootste waarden van m die een steekproefgemiddelde van 4.26 kunnen opleveren

20. 3.08 5.44

21. 3.08 95% 5.44

22. Zo kan ook het 90% betrouwbaarheidsinterval worden berekend en het 99% betrouwbaarheids interval en het …….. Welk bi-interval is breder: het 90% of het 99% ? Het 95% betrouwbaarheids-interval is een waardenbereik dat met een waarschijnlijkheid van 95% de waarde m bevat

23. eerder gebruikt voorbeeld ? Gegeven: Van 25 personen werd een reactie-tijd gemeten: de gemiddelde, gemeten, waarde = 4.26 Uit de literatuur is bekend dat dit soort reactietijden normaliter exponentieel verdeeld zijn met m=3 Opm: Bij een exponentiele verdeling geldt m=s Gevraagd: Is de steekproef afkomstig uit de genoemde populatie?

24. bepaal het 95% betrouwbaarheidsinterval

25. Het 95% betrouwbaarheidsinterval bevat de waarden 3.08 …… 5.44 De waarde van m (=3) maakt geen deel uit van dit interval. Het is dus nietwaarschijnlijk dat de beschouwde steekproef afkomstig is uit de genoemde populatie Hoe groot is de kans dat deze uitspraak fout is? Anders gezegd: Hoe groot is de kans dat m wel in het interval ligt? ?

26. 2 BENADERINGEN GEZIEN A uitgaande van een bepaalde m (en s) de verdeling van X-gemiddelden berekend en vervolgens gekeken hoe extreem het steekproefgemiddelde in die verdeling is. B uitgaande van het steekproefgemiddelde een betrouwbaarheidsinterval bepaald en gekeken of m in dit gebied ligt.

27. Er is een praktisch probleem! meestal is s van de populatie niet bekend “behelpen” met de standaarddeviatie (=s) van de steekproef: s is schatter van s! s kan als gevolg van het toeval kleiner of groter zijn dan s. Extra onzekerheid wordt geintroduceerd. daarom… voor X-gemiddeld niet de normale verdeling, maar de t-verdeling gebruiken

28. normale verdeling vs t-verdeling met 3 df 95

29. normale verdelingvst-verdeling met 25 df 95

30. 95% betrouwbaarheidsinterval z-interval t-interval

31. ? betrouwbaarheidsinterval op basis van s: z-interval op basis van s: t-interval z-interval smaller/breder dan t-interval? middelpunt z-interval? middelpunt t-interval? z-interval is constant qua breedte t-interval ook constant ?

32. Een docent registreerde jarenlang de resultaten die studenten scoorden op een bepaalde toets. Hij berekende: m= 72 en s= 12. De docent beweert dat de huidige lichting van 36 studenten (met een gemiddelde van 75.2) niet tot de beschreven populatie behoort, maar tot een populatie met m 72. Dus m<72 of m> 72. Met zekerheid valt niets te zeggen over die bewering! Gebruik een onbetrouwbaarheid van 5%.

33. De docent heeft gelijk: m 72:alternatieve hypothese De docent heeft ongelijk: m = 72:nulhypothese De nulhypothese (H0) is juist totdat hij niet langer houdbaar is en wordt verworpen ten gunste van de alternatieve hypothese (H1 of HA) Als: H0 juist is (m= 72 met s= 12) Dan: is het steekproefgemiddelde een exemplaar uit de NV(72, 12/6) 95%-bi: ?????????????

34. De docent heeft gelijk: m 72:alternatieve hypothese De docent heeft ongelijk: m = 72:nulhypothese De nulhypothese (H0) is juist totdat hij niet langer houdbaar is en wordt verworpen ten gunste van de alternatieve hypothese (H1 of HA) Als: H0 juist is (m= 72 met s= 12) Dan: is het steekproefgemiddelde een exemplaar uit de NV(72, 12/6) 95%-bi: 71.28 … (75.2) … 79.12 CONCLUSIE ?????

35. De alternatieve hypothese is tweezijdig (het verwerpingsgebied is tweezijdig) Men spreekt van tweezijdig toetsen. In zo’n geval wordt aan beide zijden de helft van a gebruikt Uitgangspunt was het steekproefgemiddelde

36. Het probleem kan ook op een andere manier worden aangepakt… Daarbij wordt niet uitgegaan van het gevonden steekproef gemiddelde maar van het veronderstelde (= nulhypothese) populatiegemiddelde. Kies weer voor a = 5%

37. De verdeling van de gemiddelden van steekproeven met n= 36 uit een populatie met m = 72 en s = 12 ?

38. De verdeling van de gemiddelden van steekproeven met n= 36 uit een populatie met m = 72 en s = 12 ? Normale verdeling met m = 72 en s = 12/6= 2

39. KW-L= 68.08 KW_R= 75.92

40. conclusie??? 75.2 KW-L= 68.08 KW_R= 75.92

41. Dit was twee-zijdig toetsen via betrouwbaarheidsinterval via kritieke gebied Nu eenzijdig toetsen alleen via kritieke gebied

42. Het probleem luidde…. Een docent registreerde jarenlang de resultaten die studenten scoorden op een bepaalde toets. Hij berekende: m= 72 en s= 12. De docent beweert dat de huidige lichting van 36 studenten (met een gemiddelde van 75.2) niet tot de beschreven populatie behoort, maar tot een populatie met m 72. Dus m<72 of m> 72.

43. Het nieuwe probleem luidt Een docent registreerde jarenlang de resultaten die studenten scoorden op een bepaalde toets. Hij berekende: m= 72 en s= 12. De docent beweert dat de huidige lichting van 36 studenten (met een gemiddelde van 75.2) beter is dan de studenten uit de populatie met m= 72. M.a.w. de steekproef is getrokken uit een populatie met m > 72

44. De alternatieve hypothese is eenzijdig (het verwerpingsgebied is eenzijdig) (het kritieke gebied ligt aan een kant) Men spreekt van eenzijdig toetsen. In zo’n geval wordt de hele a aan een zijde gebruikt. In dit geval is sprake van rechtseenzijdig toetsen omdat de waarden van m onder HA rechts van m0 liggen

45. Ook hier vormt de bewering van de docent de alternatieve hypothese: HA: m > 72 Hieruit wordt de nulhypothese afgeleid: H0 : m< 72 (samengestelde nulhypothese) Bij het toetsen kan maar EEN waarde voor m0 worden gebruikt. Welke ?????

46. Ook hier vormt de bewering van de docent de alternatieve hypothese: HA: m > 72 Hieruit wordt de nulhypothese afgeleid: H0 : m< 72 (samengestelde nulhypothese) Bij het toetsen kan maar EEN waarde voor m0 worden gebruikt. De waarde die het dichtst bij mA ligt. dus: m0 = 72

47. ? Bereken de kritieke waarde

48. De kritieke waarde (kw) is gelijk aan:

49. De kritieke waarde (kw) is gelijk aan: conclusie?

50. De docent vond een steekproefwaarde (gemiddelde van 36 studs) van 75.2. Deze waarde ligt niet in het verwerpingsgebied Bij een a van 5% moet H0 dus niet worden verworpen Wat zou de conclusie zijn geweest van een onderzoeker die werkte met a = 10%