Расстояние между скрещивающимися прямыми

1. Подготовка к ЕГЭ. Задание № 14 Расстояние между скрещивающимися прямыми Учитель: Шарова Светлана Геннадьевна, МБОУ «Гимназия», г. Урюпинск, Волгоградская область

2. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости D C A α

3. Основные способы решения задач на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми Нахождение длины общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых, т. е. отрезка с концами на этих прямых и перпендикулярного каждой из этих прямых. Нахождение расстояния от одной из скрещивающихся прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую. Нахождение расстояния между двумя параллельными плоскостями, проходящими через заданные скрещивающиеся прямые. Нахождение расстояния от точки, являющейся проекцией одной из скрещивающихся прямых на перпендикулярную ей плоскость, до проекции другой прямой на эту же самую плоскость. Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми методом объемов. Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми методом координат. Нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми векторным методом.

4. I способ Нахождение длины общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых Подготовительные задачи Задача 1. В прямоугольном параллелепипеде с размераминайти расстояние между боковым ребром и не пересекающейся с ним диагональю основания. Решение. B1 C1 A1 B C H A D

5. Задача №2. В правильной 4-угольной пирамиде с боковым ребром L и стороной основания найти расстояние между апофемой и стороной основания, пересекающей боковую грань, содержащую эту апофему. Решение. S L B C O H A D

6. Задача №3 ( ЕГЭ). В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна , а высота SH пирамиды равна 3. Точки M и N – середины ребер CD и AB соответственно, а NT- высота пирамиды NSCD с вершиной N и основанием SCD. а) Докажите, что точка Т является серединой SM. б) Найдите расстояние между NT и SC. Решение. S а) Т.к. пирамида SABCD правильная, точкиT и H лежат вплоскостиSNM, перпендикулярной плоскости ABC. Е T D M C б) Пусть Е – основание перпендикуляра, опущенного из точки Т на прямую SC H Т.к. NT – высота пирамиды NSCD, то NT перпендикулярна TE. A N B

7. 2 способ Нахождение расстояния от одной из скрещивающихся прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую. Подготовительные задачи Задача 1. В правильной шестиугольной призме с высотой h и стороной основания Найдите расстояние между прямыми: C1 B1 Рассмотрим плоскость D1 A1 F1 E1 C B D A F E

8. Задача 2. В правильной шестиугольной призме с высотой h и стороной основания Найдите расстояние между прямыми: AF и диагональю BE1 C1 B1 A1 D1 F1 E1 C B A D H F E

9. Задача №3 (ЕГЭ). В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD длина каждого ребра равна 4. Точка К- середина ребра SA. Найдите расстояние между прямыми AD и BK. Решение. S L H K D C N M A B

10. III способ Нахождение расстояния между двумя параллельными плоскостями, проходящими через заданные скрещивающиеся прямые. Подготовительная задача Найти расстояние между диагоналями А1С1 и АД1 в единичном кубе. B1 C1 A1 D1 M B1 D1 N B C M N A D B D

11. Задача (ЕГЭ). Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является квадрат ABCD со стороной равной 4. Высота призмы равна . Найдите расстояние между прямыми DA1 и CD1 B1 C1 O1 A1 D1 H B C O A D Ответ: 2

12. IV способ Нахождение расстояния от точки, являющейся проекцией одной из скрещивающихся прямых на перпендикулярную ей плоскость, до проекции другой прямой на эту же самую плоскость. Подготовительные задачи Задача №1. В правильной треугольной пирамиде найти расстояние между скрещивающимися прямыми: боковым ребром и стороной основания M H A B O D C

13. Задача 2. Найти расстояние между диагоналями А1С1 и АD1в единичном кубе. B1 C1 O1 A1 D1 O1 D1 B1 B C 1 1 O H A D D B O

14. Задача 3 (ЕГЭ). В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 все ребра равны 2. Точка М – середина ребра АА1. а) . Докажите, что прямые МВ и В1С перпендикулярны. б). Найдите расстояние между прямыми МВ и В1С. Решение. B1 A1 C1 у M В1 K А1 B М H A х А В Н C б). Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между их проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из них.

15. B1 A1 C1 M K B H A C А1 В1 В1 М L К 1 К В А 1 Н 1 С Н

16. V способ Использование формулы объема тетраэдра. Объем тетраэдра может быть вычислен по формуле: и - длины скрещивающихся ребер треугольной пирамиды, - угол между содержащими их прямыми, - расстояние между этими прямыми. Задача. Дан куб АВCDA1B1C1D1 с ребром, равным . Найдите расстояние между прямыми A1D и D1C. Решение.

17. D1 C1 A1 D C A B

18. Метод объемов • Алгоритм решения: • построить пирамиду, в которой высота, опущенная из вершины этой пирамиды на плоскость основания, является искомым расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми. • доказать, что эта высота и есть искомое расстояние. • найти объём этой пирамиды двумя способами и выразить эту высоту Задача. Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является квадрат ABCD со стороной равной 4. Высота призмы равна . Найдите расстояние между прямыми DA1 и CD1 Решение.

19. B1 C1 O1 A1 D1 B C O A D 4 Ответ: 2

20. VI способ Метод координат Будем опираться на определение: расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до параллельной плоскости, проходящей через другую прямую, и использовать координаты. Пусть даны две скрещивающиеся прямыеи Известны координаты точки , лежащей на прямой Известно уравнение плоскости , которой параллельна первая прямая и в которой лежит вторая прямая В этом случае для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми можно применить формулу расстояния от точки М до плоскости

21. Задача. Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является квадрат ABCD со стороной равной 4. Высота призмы равна . Найдите расстояние между прямыми DA1 и CD1 . Решение. B1 C1 A1 D1 B C A D 4 Ответ: 2.

22. VIIспособ Векторный метод • Отыскивается вектор, равный по длине общему перпендикуляру к скрещивающимся прямым и перпендикулярный любому ненулевому вектору, расположенному на каждой из этих прямых. • Исходя из равенства нулю скалярного произведения двух перпендикулярных векторов, мы получаем систему уравнений, позволяющую определить координаты отыскиваемого вектора. • Затем находим длину вектора, это и есть искомое расстояние.

23. Задача. Дан единичный куб ABCDA1B1C1D1. Точка М- середина ребра ВВ1. Найдите расстояние между прямыми АС1 и DM. Решение. A1 B1 C1 D1 M(0,1,½) P A(0,0,0) Q B(0,1,0) D(1,0,0) С

25. Спасибо за сотрудничество