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Método por determinantes

Método por determinantes. Método de Crammer y Método de Gauss-Jordan. Universidad Nacional Autónoma de México Colegio de Ciencias y Humanidades Plantel Vallejo Matemáticas III. Método de Crammer. Consiste en obtener las matrices en sistema de ecuaciones lineales 3x3 Ejemplo:

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Método por determinantes

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  1. Método por determinantes Método de Crammer y Método de Gauss-Jordan Universidad Nacional Autónoma de México Colegio de Ciencias y Humanidades Plantel Vallejo Matemáticas III

  2. Método de Crammer • Consiste en obtener las matrices en sistema de ecuaciones lineales 3x3 Ejemplo: 2x+3y-4z-80 2x-4y+5z-3=0 X+3y-6z-3=0 X y z 2 3 -4 8 2 -4 5 3 1 3 -6 3

  3. MÉTODO DE cRAMMER X y z Colocamos solo las matrices de X, Y y Z • Procedemos a obtener la Delta o Determinante del Sistema s s= 2 3 -4 2 -4 5 3 -6 2 3 -4 2 -4 5 A continuación duplicamos las dos primeras filas al final

  4. MÉTODO DE cRAMMER Lo que obtendríamos seria: s= X y z ((48)+(-24)+(15))-((16)+(30)+(-36) • Lo que se realiza a continuación es un producto cruzado para obtener el resultado de la Delta del Sistema 2 3 -4 2 -4 5 3 -6 2 3 -4 2 -4 5 (39) - (10) s= 29

  5. MÉTODO DE cRAMMER x= Continuamos con el paso anterior, hacer productos cruzados. X y z • Pasamos a obtener la Delta de X 8 3 -4 3 -4 5 3 3 -6 8 3 -4 3 -4 5 Lo único que cambia son las matrices de X, las cuales son sustituidas por las matrices de los resultados del Sistema de Ecuaciones. Lo que obtendríamos seria: ((192)+(-36)+(45))-((48)+(120)+(-54) (201) - (114) x= 87

  6. MÉTODO DE cRAMMER z= y= X y z X y z ((-36)+(-24)+(40))-((-12)+(30)+(-96) ((-24)+(48)+(9))-((-32)+(18)+(18) • E igualmente para las Deltas de Y y Z 2 3 8 2 -4 3 1 3 3 2 3 8 2 -4 3 2 8 -4 2 3 5 1 3 -6 2 8 -4 2 3 5 (33) - (4) (-20) - (-78) y= 58 z= 29

  7. MÉTODO DE cRAMMER • Para finalizar vamos a dividir las Deltas de X, Y y Z entre la del Sistema: Solo queda comprobar los valores de las incógnitas en el sistema de ecuaciones. 2(3)+3(2) -4(1)-80 2(3) -4(2)+5(1)-3=0 (3)+3(2) -6(1)-3=0 6+6 -4-80 6 -8+5-3=0 3+6-6-3=0 12 -120 11-11 =0 9-9 =0

  8. Método de Gauss-Jordan • Parecido al Método de Crammer, solo al sacar igualmente las matrices, pero en este método se debe obtener esta forma en las matrices: 1 -1 3 8 2 -2 4 12 3 -4 5 15 1 0 0 8 0 1 0 12 0 0 1 15 1 -1 3 8 0 1 4 12 0 0 1 15 1 -1 3 8 0 -2 4 12 0 0 5 15 Ejemplo: x- y+3z-8 =0 2x-2y+4z-12=0 3x-4y+5z-15=0 Obtención de las Matrices Método de Gauss-Jordan Completo Método de Gauss Método de Gauss-Jordan

  9. MÉTODO DE Gauss-Jordan • En el método de Gauss-Jordan, se debe de obtener la línea inclinada central de 1 y los números de bajo de esta deben ser 0. • Para lograr esto, los renglones solo pueden ser sumados o restados entre si. • NO pueden ser multiplicados o divididos entre si. • Pueden solo ser multiplicados o divididos entre una constante. • Los renglones en un momento dado pueden intercambiar su lugar.

  10. MÉTODO DE Gauss-Jordan Obtenemos las matrices *Antes de continuar, se recomienda el siguiente orden: x y z R 1 x- y+3z-8 =0 2x-2y+4z-12=0 3x-4y+5z-15=0 R1 1 -1 3 8 0 1 4 12 0 0 1 15 1 -1 3 8 2 -2 4 12 3 -4 5 15 R2 • Ejemplo: R3 2 -R2+2R1 R2 3 -3R1+R3 R3 1 -1 3 8 0 0 2 4 3 -4 5 15 1 -1 3 8 0 0 2 4 0 -1 -4 -9 1 -1 3 8 0 -1 4 -9 0 0 2 4 2 -2 6 16 -2 2 -4 -12 0 0 2 4 -3 3 -9 -24 3 -4 5 15 0 -1 -4 -9

  11. 4 5 R3 / 2 R3 R2 / -1 R2 MÉTODO DE Gauss-Jordan Terminamos cuando la diagonal central se encuentra en 1 para Gauss-Jordan, solo hace falta, obtener los valores de x, y & z y comprobarlos. Para eso se hace lo sig.: z Z=2 Y=4(2)=9 Y=9-8 Y=1 X=-(1)+3(2)=8 X=8-5 X=3 (x- y+3z-8 =0 2x-2y+4z-12=0 3x-4y+5z-15=0 1 -1 3 8 0 -1 -4 -9 0 0 1 2 1 -1 3 8 0 1 4 9 0 0 1 2 1x -1y 3z 8 0 1y 4z 9 0 0 1z 2 0 -1 -4 -9 / -1 0 1 4 9 0 0 2 4 / 2 0 0 1 2 (3)- (1)+3(2)-8 =0 2(3)-2(1)+4(2)-12=0 3(3)-4(1)+5(2)-15=0

  12. Gracias por su atención =D

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