vwo A Samenvatting Hoofdstuk11

1. vwo A Samenvatting Hoofdstuk11

2. Regels bij kansrekeningen aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten Kansdefinitie van Laplace P(G) = Somregel Voor elke uitsluitende gebeurtenissen G1 en G2 geldt P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2). ComplementregelP(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis). Productregel Bij twee onafhankelijke kansexperimenten geldt P(G1 en G2) = P(G1) · P(G2). • Bij een kleine steekproef uit een grote populatie mag je • trekken zonder terugleggen opvatten als trekken met terugleggen. 11.1

3. Voorbeeld somregel • In een vaas zitten 4 rode, 2 blauwe en 4 groene knikkers, • Nancy pakt 3 knikkers uit de vaas. • a) P(2 of 3 rood) = P(2 rood) +P(3 rood) • b) P(minder dan 2 groen) = P(0 groen) +P(1 groen) 4 2 4 3 6 1 6 0 . . = + ≈ 0,333 10 3 10 3 4 0 4 1 6 3 6 2 . . = + ≈0,667 10 3 10 3 11.1

4. De complementregel • P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1 • P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis) P(minder dan 8 witte) = P(0 w)+P(1 w)+P(2 w)+ P(3 w)+P(4 w)+P(5 w)+ P(6 w)+P(7 w) = 1 – P(8 witte) 11.1

5. Het vaasmodel • Bij het pakken van knikkers uit een vaas heb je met combinaties te maken. • P(2r, 2w, 1b) = ? • Volgens de kansdefinitie van Laplace is die kans • Het aantal mogelijke uitkomsten is het aantal manieren • om 5 knikkers uit de totaal 15 knikkers te pakken. • Dat kan op manieren. • Het aantal gunstige uitkomsten is het aantal manieren • om 2r uit de 8r, 2w uit 4w en 1b uit 3b te pakken. • Dat kan op • P(4r, 1w, 2b) = ≈ 0,168 aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten 15 5 8 2 4 2 3 1 . . manieren. 2+2+1=5 8 2 4 2 3 1 . . 8+4+3=15 15 5 11.1

6. Berekeningen met breuken 11.2

7. Bernoulli-experimenten Kansexperimenten waarbij het uitsluitend om de gebeurtenissen succes en mislukking gaat, heten Bernoulli-experimenten. De complement-gebeurtenis van succes is mislukking. De kans op succes geven we aan met p. 11.3

8. Binomiaal kansexperiment • Bij een binomiaal kansexperiment is : • n het aantal keer dat het experiment wordt uitgevoerd • X het aantal keer succes • p de kans op succes per keer • de kans op k keer succes is gelijk aan • P(X = k) = · pk · (1 – p)n – k. n k 11.3

9. De notaties binompdf(n, p, k) en binomcdf(n, p, k) 11.3

10. 11.3

11. Werkschema: binomiale kansen berekenen • Omschrijf de betekenis van de toevalsvariabele X • Noteer de gevraagde kans met X en herleid deze kans tot een vorm met binompdf of binomcdf. • Bereken de gevraagde kans met de GR. P(X minder dan 4) = P(X < 4) = P(X ≤ 3) P(X tussen 5 en 8) = P(X ≤ 7) – P(X ≤ 5) = P(X = 6) + P(X = 7) 11.4

12. De binomiale verdeling met onbekende n X = het aantal treffers. Voor welke n is P(X≥ 5) > 0,9, oftewel voor welke n is 1 – P(X ≤ 4) > 0,9 ? opgave 63 TI 1 – binomcdf(n, 0.4, 4) > 0,9 Voer in y1 = 1 – binomcdf(x, 0.4, 4). Maak een tabel en lees af voor n = 17 is y1 ≈ 0,874 voor n = 18 is y1 ≈ 0,906. Dus minstens 18 vrije worpen. Casio 1 – P(X ≤ 4) > 0,9 Voor welke n is P(X ≤ 4) < 0,1 ? Proberen geeft voor n = 17 is P(X ≤ 4) ≈ 0,126 voor n = 18 is P(X ≤ 4) ≈ 0,094. Dus minstens 18 vrije worpen. 11.4

13. De verwachtingswaarde E(X) van de toevalsvariabele X • Stel de kansverdeling van X op. • Vermenigvuldig elke waarde van X met de bijbehorende kans. • Tel de uitkomsten op. • De som is E(X). • Dus E(X) = x1· P(X = x1) + x2 · P(X = x2) + … + xn · P(X = xn). 11.5

14. De standaardafwijking van een toevalsvariabele 11.5

15. De somregel voor de standaardafwijking • Voor elk tweetal onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt • de somregel voor de standaardafwijking • σx+ y = √σ2x + σ2y • VAR(X) = σ2x(de variantie van X) • σ2x+ y = σ2x + σ2y • dus • VAR(X + Y) = VAR(X) + VAR(Y) 11.5