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MATRICES

MATRICES. La matriz anterior se denota también por ( a ij ), i =1, ..., m ; j =1, ..., n, o simplemente por ( a ij ).

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MATRICES

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  1. MATRICES

  2. La matriz anterior se denota también por (aij), i =1, ..., m; j =1, ..., n, o simplemente por (aij). • Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m x n.   • Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b, ...  

  3. Ejemplo 01: donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus

  4. Ejemplo 02: • Su tamaño de A es 3x2, o A = a3x2 • Su tamaño de B es 3x3, o B = a3x3 • Su tamaño de C es 1x3, o C = a1X3 (matriz fila, renglón, vector renglón) • Su tamaño de D es 2x1, o D = a2X1 (matriz columna, vector columna) • Su tamaño de E es 1x1, o E = a1X1 (matriz renglón ó matriz columna)

  5. Ejemplo 03: En la siguiente matriz ¿cuáles serán los elementos a21, a31, a41, a32, a33 Los elementos con los siguientes • a11 = (A)11 = • a21 = (A)21 = • a23 = = • a32 = (A)32 = • a43= =

  6. OBSERVACIÓN: • Los elementos de una matriz no necesariamente son números, pueden ser funciones, vectores, etc. • La matriz no tiene valor numérico, es decir no puede identificarse con un número.

  7. IGUALDAD DE MATRICES Definición: Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y sus respectivos elementos son iguales; es decir: A = B ⟺ aij = bij ; ∀i , ∀j Ejemplo: a11 = b11 = 3, a32 = b32 = 4, a12 = b12 = 6

  8. TIPOS ESPECIALES DE MATRICES MATRIZ IDENTIDAD MATRIZ CUADRADA TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ MATRIZ NULA MATRIZ SIMÉTRICA MATRIZ DIAGONAL MATRIZ ESCALAR MATRIZ ANTISIMÉTRICA

  9. MATRIZ CUADRADA Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas y de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n x n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.   Ejemplo: Sean las matrices Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 (3x3) y 2 (2x2) respectivamente.

  10. MATRIZ CUADRADA Si observamos los elementos de una matriz cuadrada, existe una diagonal principal (aquellos elementos aij en los cuales i = j),y también se puede mencionar, que aquellos elementosaij que cumplen la condición i + j = n + 1 , forman la diagonal secundaria.

  11. MATRIZ NULA Una matriz nula es cuando sus elementos son ceros y se denota por 0 (cero)

  12. MATRIZ DIAGONAL Se llama matriz diagonal, a una matriz cuadrada, pero que sus elementos fuera de la diagonal principal son ceros. Se denota por D = diag (d11, d22, ..., dnn). Ejemplos: Sus elementos de la matriz diagonal es: si

  13. MATRIZ ESCALAR Se llama matriz escalar a una matriz diagonal, pero que todos sus elementos de la diagonal principal son iguales. Ejemplos:

  14. MATRIZ IDENTIDAD La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad).  

  15. MATRIZ IDENTIDAD Para cualquier matriz A,   se cumple que: A· I = I ·A = A. Sean:

  16. TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ (AT) La transpuesta de una matriz Amxn, es la matriz constituida a partir de la matriz A, colocando la i-ésima fila de A en la i-ésima columna de AT, es decir: Si A =[aij], entonces AT =[bji]; donde aij= bji ; ∀i, ∀j Ejemplo: Si: entonces a11 = b11 = 2, a12 = b21 = 1, a21 = b12 = 6, a32 = b23 = 0 , etc.

  17. Ejemplo: Si: , entonces Hallar la transpuesta de: a11 = b31 = a12 = b33 = a23 = b13 = a22 =

  18. PROPIEDADES DE UNA MATRIZ TRANSPUESTA: La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:   1. (A + B)T = AT + BT. 2. (AT)T = A. 3. (kA)T = kAT (si k es un escalar). 4. (AB)T = BTAT.

  19. MATRIZ SIMÉTRICA Sea A una matriz A n x n. Si A = AT entonces la matriz A se llama simétrica. Características: • La matriz A debe ser cuadrada. • Los elementos de la diagonal principal permanecen fijas al efectuar la transposición. • aij= bji ; ∀i, ∀j Ejemplo: Si: y su transpuesta es , entonces A = AT PORTANTO: A es simétrico

  20. MATRIZ ANTISIMÉTRICA Sea A una matriz Anxn. Si A = - AT entonces la matriz A se llama antisimétrica. Características: • La matriz A debe ser cuadrada. • Los elementos de la diagonal principal resultan ceros. • aij= - aij ; ∀i, ∀j Ejemplo: Sea: y cada aij= - aij, entonces la matriz A es antisimétrico.

  21. MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR Es una matriz cuadrada, donde todas las entradas por debajo de la diagonal principal son ceros; es decir: aij= 0; i > j Ejemplos:

  22. MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR Es una matriz cuadrada, donde todas las entradas por encima de la diagonal principal son ceros; es decir: aij= 0; i < j Ejemplos:

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