Matrices

1. Matrices 27 36 39 43 68 55 33 58 49 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

2. Introduction Nous présentons ici la notion de matrice, les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire ainsi que la transposition des matrices. Les mises en situation utilisées dans cette présentation sont du domaine de l’administration. Elles ont le mérite d’être simples, car elles visent à donner un sens concret aux notions présentées sans surcharger ce premier contact avec des notions trop complexes.

3. Mise en situation PARC BEAUSÉJOUR PARC DE LA MAIRIE Jus Jus Jours Vendredi Samedi Dimanche Orange Raisin Pomme Jours Vendredi Samedi Dimanche Orange Raisin Pomme Deux marchands ambulants vendent des jus de fruits dans les parcs de la municipalité durant les fins de semaine. Dans les tableaux suivants, on a compilé les ventes dans chaque parc pour les trois jours d’une fin de semaine. 27 36 39 43 68 55 33 58 49 38 46 42 43 65 58 63 72 63

4. Représentation par des matrices Ces tableaux donnent une information que l’on peut véhiculer sans tenir compte des en-têtes si on conserve la même structure, c’est-à-dire la même disposition des nombres. 38 46 42 63 72 63 43 65 58 27 36 39 43 68 55 33 58 49 Ces nouveaux tableaux sont appelés des matrices. Les matrices sont notre premier objet d’études en algèbre linéaire, donnons de ce nouvel objet une définition précise.

5. Matrice a11 a21 am1 a12 a22 am2 a1n a2n amn ... ... aij . . . . . . . . . ... DÉFINITION On appelle matrice tout tableau rectangulaire de la forme : m´n où les aij sont les élémentsde la matrice. L’indice i indique la ligne de l’élément et l’indice j, sa colonne. Ces indices donnent l’adresse de l’élément. a12 est l’élément «a un deux» et non pas «a douze». On dit qu’une matrice qui comporte m lignes et n colonnes est une matrice de dimensionmxn(ce qui se lit m par n).

6. Notations On représente normalement une matrice par une lettre majuscule, A, B, C, … . Pour des matrices dont les éléments sont inconnus, on emploiera les majuscules X, Y et Z. Lorsqu’il est nécessaire de préciser la dimension d’une matrice, on écrit Am´n pour représenter une matrice A de dimension m ´n. L’ensemble des matrices dedimension mxn sera noté Mm ´n. Ainsi, on notera M2 ´ 3 l’ensemble de toutes les matrices de dimension 2 ´3. On peut également représenter par (aij) ou (aij)m ´n une matrice de dimension m par n dont les éléments sont les aij.

7. Égalité de matrices DÉFINITION Deux matrices Am ´n et Bp ´q sont égales si et seulement si : • les matrices ont la même dimension (m = p et n = q); • les éléments de même adresse sont égaux (aij = bij, pour tout i et pour tout j). 23 12 14 27 19 21 23 12 14 27 19 21 = 2 ´3 2 ´3 On emploiera le signe d’égalité usuel pour l’égalité des matrices.

8. Opérations sur les matrices On peut définir différentes opérations sur les matrices. L’addition et la multiplication par un scalaire sont les deux premières que nous verrons. Mise en situation Considérons à nouveau les matrices des ventes dans les parcs de la municipalité. En additionnantles éléments de même adresse entre eux, on obtient la somme des ventes par jour pour chaque sorte de jus durant la fin de semaine considérée. 27 36 39 43 68 55 33 58 49 38 46 42 63 72 63 43 65 58 65 82 81 106 140 118 76 123 107 B + M = + = On doit donc additionner les éléments de même adresse entre eux. Cela nous indique comment définir l’addition.

9. Addition de matrices DÉFINITION Soit A = (aij) et B = (bij), deux matrices de même dimension m´n. La somme de ces matrices, notée A + B, est une matrice de dimension m´n définie par : A + B = (aij) + (bij) = (aij + bij) 4 –3 –2 5 9 4 3 8 7 2 –2 1 7 5 5 7 7 5 + = 2 ´3 2 ´3 2 ´3 Cette définition signifie que la somme des matrices est obtenue en additionnant les éléments de même adresse entre eux. Cela respecte la structure de l’information véhiculée par les matrices.

10. Multiplication par un scalaire Jus Orange Raisin Pomme Prix Coût 1,00 1,40 1,20 0,40 0,60 0,50 Mise en situation Supposons que le tableau ci-contre donne les prix de vente et les coûts unitaires des jus de nos marchands ambulants. À partir de ce tableau, on peut écrire la matrice des prix. Supposons que le propriétaire de l’entreprise envisage de majorer ses prix de 20 %. On peut déterminer la nouvelle matrice des prix par une opération sur la matrice. 1,2 ´1,00 1,2 ´ 1,40 1,2 ´ 1,20 1,20 1,68 1,44 1,00 1,40 1,20 = = P = 1,2 1,2 3 ´1 3 ´1 3 ´1

11. Multiplication par un scalaire DÉFINITION Soit A = (aij), une matrice de dimension m ´n et k, un scalaire (nombre réel).  La multiplicationde la matrice A par le scalairek donne une matrice notée kA et définie par l’égalité : kA = k(aij) = (kaij) Cette définition signifie que chaque élément de la matrice A est multiplié par le scalaire k. 4k –3k 6k 4k –2k 5k 4 –3 –2 5 6 4 = k A = k 2 ´3 2 ´3

12. Transposition d’une matrice 1,00 1,40 1,20 0,40 0,60 0,50 C = 3 ´2 Orange Raisin Pomme Prix Coût Prix Coût Orange Raisin Pomme 1,00 1,40 1,20 0,40 0,60 0,50 1,00 0,40 1,40 0,60 1,20 0,50 1,00 0,40 1,40 0,60 1,20 0,50 D = 2 ´3 Considérons à nouveau le tableau donnant les prix de vente et les coûts unitaires des jus de nos marchands ambulants et la matrice véhiculant cette même information. On peut également transmettre cette information par le tableau et la matrice ci-dessous. Les matrices C et D sont dites matrices transposées l’une de l’autre.

13. Transposition d’une matrice DÉFINITION Soit A = (aij), une matrice de dimension m ´n. On appelle matrice transposée de A, notée At, la matrice de dimension n ´m dont la ie colonne est la ie ligne de la matrice A pour i = 1, 2, ..., m. 4 –2 6 –3 5 4 4 –3 –2 5 6 4 A = A t = 2 ´3 3 ´2 La matrice transposée de la matrice A = (aij)m ´n est donc la matrice définie par At= (bij)n ´m, où bij = aji.

14. Exercices 2 3 4 2 a + b 2c – d c a – b = A = , sachant que : 2 4 a c b d 0 5 2 1 –1 2 3 4 –3 2 1 –2 1 3 Soit B = et C = –1 0 4 3 0 7 14 0 –6 12 10 10 9 –6 –3 6 –3 –9 4 2 –2 4 6 8 A = Trouver les éléments de la matrice Cliquer pour la réponse. Calculer 4B – 2C = ; Bt + Ct = Calculer 2B = –3C = Cliquer pour les réponses. Cliquer pour les réponses.

15. Vocabulaire 0 0 0 0 0 0 a11 a21 an1 a12 a22 an2 a1n a2n ann ... ... 2 1 –3 3 5 2 7 –3 5 aii . . . . . . . . . ... n ´n Avec les matrices, on utilise un vocabulaire descriptif. Matrice nulle : matrice dont tous les éléments sont nuls. Matrice carrée : matrice dont le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes. On dit qu’elle est d’ordre n, où n est le nombre de lignes et de colonnes. Dans une matrice carrée, les éléments a11a22a33…ann forment la diagonale principale. L’autre diagonale est appelée diagonale secondaire.

16. Matrices particulières 1 0 0 8 0 0 2 4 3 8 0 0 2 0 0 0 5 0 0 1 0 0 8 0 3 5 0 0 5 6 0 0 5 0 0 –2 0 0 8 7 –3 5 0 0 1 Matrice triangulaire supérieure : matrice carrée dont tous les éléments sous la diagonale principale sont nuls. Matrice triangulaire inférieure : matrice carrée dont tous les éléments au-dessus de la diagonale principale sont nuls. Matrice diagonale : matrice carrée dont tous les éléments hors de la diagonale principale sont nuls. Matrice scalaire : matrice diagonale dont tous les éléments non nuls sont égaux. Matrice identité : matrice scalaire dont le scalaire est 1. On la représente par I.

17. Matrices particulières 2 –3 4 0 6 5 –3 6 –2 –6 0 –2 4 –2 4 –5 2 0 Matrice symétrique : matrice carrée qui est sa propre transposée; At = A Matrice antisymétrique : matrice carrée A dont la transposée est – A; At = –A

18. Propriétés des opérations Pour toute matrice A, B et C ÎMm ´n et pour tout scalaire p et qÎR, les propriétés suivantes s’appliquent : 1. Fermeture de l’addition sur l’ensemble des matrices A+BÎMm ´n 2. Commutativité de l’addition A + B = B + A 3. Associativité de l’addition des matrices A + (B + C) = (A + B) + C 4. Existence d’un élément neutre pour l’addition des matrices Il existe, dans Mm ´n, une matrice nulle, notée 0, telle que : A + 0 = 0 + A = A 5. Existence d’un élément inverse pour l’addition  Pour toute matrice A ÎMm ´n, il existe, dans Mm ´n, une matrice opposée, notée –A, telle que : A + (–A) = (–A) + A = 0

19. Propriétés des opérations Pour toute matrice A, B et C ÎMm ´n et pour tout scalaire p et qÎR, les propriétés suivantes s’appliquent : 6. Fermeture de la multiplication par un scalaire sur l’ensemble des matrices pAÎMm ´n 7. Distributivité de la multiplication d’une matrice sur une somme de scalaires   (p + q)A = pA + qA 8. Distributivité de la multiplication par un scalaire sur une somme de matrices   p(A + B) = pA + pB 9. Associativité de la multiplication d’une matrice avec le produit de scalaires  (pq)A = p(qA) 10. Élément neutre pour la multiplication d’une matrice par un scalaire 1A = A

20. Conclusion Les matrices sont de nouveaux objets mathématiques et l’usage lorsqu’on aborde l’étude de nouveaux objets est : • de définir à quelles conditions deux tels objets sont égaux; • de définir les opérations sur ces objets; • de déterminer les propriétés de ces opérations. Les propriétés des opérations sont données en page 7 du volume. À partir des matrices véhiculant de l’information, comme les ventes par jour de la mise en situation, nous avons vu qu’il est possible, par les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire, de tirer des informations supplémentaires des données de départ.

21. Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie,section 10.1, p. 297 à 303. Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie,section 10.2, p. 304 et 305.