Stærðfræði - Stærðfræðikennarinn

1. Stærðfræði - Stærðfræðikennarinn Skyndipróf 27. Janúar 2004

2. 1. spurning • 1. (10%) Stærðfræðikennari í skóla nokkrum hefur verið að lesa sér til um notkun líkana (models) til að skerpa skilning barna á stærðfræðilegum hugtökum. Hann segir við samkennara sína: „Stærðfræðileg hugtök eru ekki til í hinum efnislega heimi. Þau eru ekki áþreifanleg, til að mynda hugtakið 100. En við getum stuðst við alls kyns líkön af þeim.“ Hver eftirfarandi fullyrðinga á best við um það sem kennarinn segir? • (x ) Sjö bréfaklemmur samsvara hugtakinu „sjö“ • ( ) Hugtakið „sjö“ er vissulega til í hinum efnislega heimi • ( ) Börn geta engan veginn skilið hugtakið „sjö“ nema með því að skoða líkön • Kostur 2 er beinlínis í andstöðu við það sem kennarinn segir og kennarinn heldur ekki fram því sem segir í kosti 3.

3. 2. spurning • 2. (10%) Eitt hundrað, fjórtán tugir og átján einingar jafngilda tölunni: • ( ) 132 • ( x ) 258 • ( ) 318 • ( ) 1418 • ( ) 11418 • Aðeins einn tölustafur kemst fyrir í hverju sæti. Fjórtán tugir eru í raun eitt hundrað og fjórir tugir og átján einingar eru einn tugur og átta einingar. (Sjá bls. 157 – 158 í EMSM)

4. 3. spurning • 3. (10 %) Sætiskerfi byggist á hlutfallssambandi. Tölustafur í milljónasæti hefur • ( ) þúsund einingum meira gildi en sami tölustafur sem stendur í þúsundasæti • ( x ) þúsund sinnum meira gildi en sami tölustafur sem stendur í þúsundasæti • ( ) hundrað sinnum meira gildi en sami tölustafur sem stendur í þúsundasæti • ( ) hundrað einingum meira gildi en sami tölustafur sem stendur í þúsundasæti • Sjá bls. 165 í EMSM

5. Uppbygging tugakerfis Mynd bls. 165 í EMSM

6. 4. spurning • (25%) Í stærðfræðinámi er stærðfræðikunnátta stundum greind í hugtakalega þekkingu (conceptual knowledge) og aðferðabundna þekkingu (procedural knowledge). Gerðu stuttlega grein fyrir þessum tveimur gerðum þekkingar. • Sjá bls. 31 í EMSM. • Hugtakaleg þekking í stærðfræðinámi er rökleg tengsl sem myndast innra með nemandanum og býr í huga hans sem hluti af neti hugmynda. Skv. eðli slíkrar þekkingar fylgir henni alltaf skilningur. • Aðferðabundin þekking er þekking á reglum og aðferðum sem notuð eru til að framkvæma vanabundar aðferðir ásamt þekkingu á táknmáli stærðfræðinnar. Slíkri þekkingu þarf ekki að fylgja skilningur.

7. 5. spurning • (20%) Hver eru megineinkenni góðs talnaskilnings? • Svörin eru að finna á bls. 87 og 149. í EMSM. Þar segir m.a. að til að skilja tölur þurfi nemandi að: • Hafa innsæi í merkingu talna • Átta sig á margþættum tengslum milli talna (sem ekki byggjast eingöngu á reikningum) • Átta sig á hve afstæð stærð talna er • Tengja tölur við stærðir raunverulegra fyrirbæra • Geta notað tölur til námundunar á sveigjanlegan hátt • Skilja áhrif reikniaðgerða á tölur • (Fjögur atriði duga sem fullkomið svar).

8. 6. spurning • (25%) Greindu frá uppbyggingu sætiskerfisins. Margir telja að það hafi nokkra góða kosti fram yfir önnur talnakerfi eins og t.d. rómverska talnaritun. Hverjir eru helstu kostir sætiskerfisins? Útskýrðu með dæmum hvað þessi kostir fela í sér. • Sjá bls. 164 – 165 í EMSM. • Þegar tala er rituð í sætiskerfi er tölustöfum er raðað í sæti (og þeir mynda e.k. orð), þannig að gildi tölustafanna vex, talið frá hægri til vinstri. Milli sætanna er hlutfallssamband þannig að gildi tölustafs í tugakerfi er tífalt gildi sama tölustafs í næsta sæti til hægri. • Kostir: Tölustafirnir hafa breytilegt gildi eftir því hvar þeir standa í talnasamstöfunni sem táknar tölu. Aðeins þarf að nota tíu tákn í tugakerfi, þ.e. endanlegan fjölda tákna, til að tákna óendanlega stórar stærðir, gagnstætt rómversku talnakerfi þar sem nota þarf nýtt tákn fyrir hverja nýja stærð.

9. Uppbygging tugasætiskerfis • Gildi tölustafanna fer eftir sæti þeirra í tölunni. Tökum dæmi af tölunni 587052. Í þessari talnasamstæðu kemur tölustafurinn 5 tvisvar sinnum fyrir. Hægra megin merkir hann 5 tugir en vinstra megin 5 hundruð þúsund. Töluna má liða þannig niður: • 5·100000 + 8·10000 + 7·1000 + 0·100 + 5·10 + 2 • Í öllum liðum kemur fyrir veldi af 10 og veldið hækkar frá hægri til vinstri: • 5·105 + 8·104 + 7·103 + 0·102 + 5·101 + 2·100 • Auðséð er að þannig mætti halda áfram með hækkandi veldi eins langt til vinstri og óskað er.

10. Úr Algorismus frá 13. öld: • Um merking stafa • Hver þessi stafur merkir sig einfaldlega í fyrsta stað, en ef hann er í öðrum stað en hann er skipaður merkir hann X sinnum sjálfan sig. Og í hvern stað er þú setur fígúru þessa annan en skipað er þá merkir hún ávallt X hlutum meira í þeim stað er til vinstri handar veit heldur en í næsta stað áður. Siffra [núll] merkir ekki fyrir sig en hún gerir stað og gefur öðrum fígúrum merking.

11. Aðrar grunntölur sætiskerfis en tíu • Kostir sætistalnaritunar halda sér þótt valin sé hvaða önnur náttúrleg tala sem er nema 1. Látum g vera grunntölu. Þá mætti hugsa töluna ...fedcbag með grunntölunni g þannig: • …. + f·g5 + e·g4 + d·g3 + c·g2 + b·g1 + a·g0 þar sem 0  a, b, c, d, e, f, …. < g • Ekki væri gott að nota mjög stóra grunntölu. Þá þyrfti að nota mörg talnatákn.