Monte Carlo Quântico para Férmions Fortemente Correlacionados

1. Esta apresentação pode ser obtida do site http://www.if.ufrj.br/~rrds/rrds.html seguindo o link em “Seminários, Mini-cursos, etc.” Monte Carlo Quântico para Férmions Fortemente Correlacionados Raimundo Rocha dos Santos rrds@if.ufrj.br Apoio:

2. Esquema do mini-curso • Introdução • MC para Sistemas Clássicos • QMC a T finita: Preliminares • QMC a T finita: Amostrando o Espaço de Fases com Determinante Fermiônico • Instabilidade a Baixas Temperaturas • O Problema do Sinal Negativo • Exemplos • Supercondutividade • O Modelo de Hubbard Atrativo • Metais, Isolantes ou Supercondutores? • Efeitos de Desordem • Conclusões e Perspectivas

3. Introdução • A aproximação de elétrons indepen-dentes com o modelo de bandas expli-ca boa parte dos comportamentos observados: • metais • isolantes • semicondutores

4. dE dE Elétrons (independentes) em sólidos: potencial cristalino periódico a a a  elétrons quase-livres [menos localizados] limite atômico [mais localizados] Pergunta: quantos estados quânticos há num intervalo de energia dE ?

5. Depende da magnitude do gap: • isolante se  eV • semicondutor se  0.1 eV Densidades de estados (eletrons quase-livres ou tight-binding) Metal Isolante ou Semicondutor

6. maior tendência à localização  elétron passa mais tempo perto do núcleo  tem maior chance de encontrar outro elétron no mesmo núcleo  interação repulsiva (Coulombiana) entre elétrons não pode mais ser desprezada  Mas, cuidado com bandas estreitas (especialmente d e f ): os e se movimentam solidariamente, para minimizar a energia fortemente correlacionados

7. Supercondutores de Alta Temperatura

8. Metal ???? Incluindo correlação, o comportamento isolante (correto!) é obtido Cálculos de bandas: caso não-dopado (x = 0):

9. Sistemas de muitas partículas interagentes: quer-se estudar propriedades coletivas  Mecânica Estatística • Perguntas típicas que se quer responder sobre um determinado sistema: • ele pode ser magnético? qual o arranjo? • é metálico? • é isolante? • pode ser supercondutor? • como a carga está distribuída espacialmente? • estas propriedades estão intrinsecamente ligadas?

10.  Para responder a estas questões em diversos sistemas físicos reais, os aspectos quânticos têm que ser levados em conta de modo fundamental Espectro: • Pelo menos duas escalas de energia: kBT e : • se kBT >> , o fato dos níveis serem discretos não importa • sistema “clássico” • se kBT , a ausência de estados acessíveis pode ser crucial (e.g., gap supercondutor) • sistema quântico • fenômenos temporais inseparáveis:   h/2  dimensões extras

11. Estaremos interessados nas propriedades físicas de férmions (p.ex., elétrons, buracos, etc.) em cristais: • interplay entre graus de liberdade de carga e de spin i.e., distribuição espacial de carga, propriedades de transporte (condutividade) Ordenamento magnético Em isolantes, o grau de liberdade de carga está congelado

12. Assim, consideraremos aqui as propriedades de spins itinerantes (spins localizados serão pensados como um caso limite) • Modelos: através de modelos (essencialmente de uma Hamiltoniana apropriada) espera-se captar os ingredientes físicos fundamentais, que sejam responsáveis pelo comportamento observado • Aproximações: dado um modelo, é necessário “resolvê-lo”, ao menos de modo aproximado, e calcular grandezas que permitam caracterizar as propriedades físicas. • As simulações de Monte Carlo devem ser pensadas como uma das aproximações possíveis. E, como tal, tem limitações. Daí a extrema importância da análise de dados.

13. Modelo emblemático para spins localizados: Modelo de Heisenberg i j 1os. viz. apenas Se J > 0 : tendência a Ferromagnetismo Se J < 0 : tendência a Antiferromagnetismo N.B.: Os mágnons são as excitações de mais baixa energia, e destróem o estado ordenado a qq T > 0 em d 2. O que ocorre no estado fundamental? • Os FM’s se ordenam a T = 0, em qq d • E os AFM’s ?????

14. Classicamente, os modelos AFM e FM são equivalentes numa rede bipartite:  (i.e., que pode ser de-composta em duas sub-redes,  e , equivalentes, como as redes quadrada, cúbica simples, etc) Flutuações quânticas  efeitos não-triviais no estado fundamental (T = 0) de antiferromagnetos P.ex., ao flipar os spins de uma sub-rede, as relações de comutação não são preservadas se S < : ???? • d = 1  quase-ordem (correlações decaem com lei de potên- • cia, ao invés de tenderem ao quadrado da magnetização; exato). • d = 2  há ordem ou quase-ordem? QMC: ordem [Reger & Young (1988)]

15. Modelo emblemático para spins itinerantes: Modelo de Hubbard Favorece o salto dos férmions entre sítios (termo de banda) Repulsão Coulombiana: a energia total aumenta se 2 e’s ocuparem o mesmo orbital  termo de correlação† Competição entre graus de liberdade de carga e de spin Hubbard  Heisenberg AFM para um e por sítio (banda semi-cheia) quando U  t † para uma apresentação .ppt de revisão sobre aspectos de sistemas fermiônicos fortemente correlacionados, veja http://www.if.ufrj.br/~rrds/rrds.html e siga os links em “Seminários, Mini-cursos, etc.”

16. O papel da dimensão espacial: • em uma dimensão não há ordem magnética de longo alcance  quase-ordem • itinerância  onda de densidade de spin (SDW)

17. Conseqüências da competição carga-spin em d = 1: CDW’s e SDW’s Brown and Grüner (1994)

18. ômico não-ômico Se período da CDW incomen-surável com a rede [i.e.,   r a; r racional e a parâmetro de rede]  transporte de corrente é não-ômico Explicação: analogia mecânica Brown and Grüner (1994) Importante determinar o período da CDW

19. Acredita-se que nos su-percondutores de alta tem-peratura haja um equilí-brio entre o ordenamento de spin (AFM, não SDW) e o ordenamento de cargas (tipo CDW) ao longo de uma direção ( na Fig.): As cargas tendem a se agrupar em regiões de menor ordem AFM

20. Fase listrada melhor observada num “primo” dos supercondutores Formação de CDW [onda de densidade de carga] novo ingrediente: ordenamento direcional dos orbitais d do Mn

21. Que grandezas usar para caracterizar o comportamento para sistemas de tamanhos finitos? P.ex., comportamento magnético (FM de Ising) magnetização:    (não há quebra de simetria)   suscetibilidade:  tem máximo na transição  OK função de correlação: (r) decai com a distância com lei de potência (se crítica)

22. Magnetização e suscetibilidade: Como o teorema de flutuação-dissipação se modifica devido aos aspectos quânticos (i.e., não-comutação) : evolução “temporal”

23. MC para sistemas clássicos Modelo de Ising (spin-½): S S z S =  1 N sítios na rede; spin em cada sítio pode estar em um de dois estados  Espaço de fases tem 2N configurações: Para modelos clássicos, cada configuração corresponde a um autoestado de H, de modo que pode-se associar a ela uma energiaE ({S}).

24. Lembre-se que a função de partição é obtida através de uma soma sobre todas as configurações. Mas: probabilidade de ocorrência de uma configuração {S} é • algumas configurações são menos prováveis que outras • por que desperdiçar tempo na amostragem, tratando todas as configurações como se fossem igualmente importantes?

25. Amostragem por importância: um exemplo simples Aproximemos a integral por uma soma discreta: se {x} tomados ao acaso, e com iguais probabilidades, no intervalo [0,1]: fi  f (xi), i = 1,...M são variáveis aleatórias independentes • dois modos de se diminuir o erro: • M  • diminuir f

26. Seja w (x) uma função peso normalizada, tal que Definindo a integral I pode ser escrita como Amostragem de f/w sobre pontos y distribuídos uniformente

27. Escolhendo w t.q. a razão f/w varie pouco com x, teremos um erro pequeno w y dx=dy/w x Isto é, tomamos mais pontos x perto de onde a função é maior Amostragem por importância

28. O algoritmo de Metropolis et al. faz a amostragem por importância do espaço de fases: as configurações vão sendo geradas em sucessão, cada uma a partir da anterior {S} {S}’ A diferença de energia entre as configurações {S} e {S}’ é uma propriedade local; i.e., depende apenas dos spins em torno daquele que se tenta flipar. No exemplo acima: E = 2 J – (– 2 J) = 4 J

29. A razão entre as probabilidades de ocorrência das duas configs. é: • Se W > 1, a nova configuração é aceita. • Se W < 1, a nova configuração é aceita com probabilidade W N.B.: A possibilidade de aceitar uma configuração menos provável simula o efeito das flutuações térmicas! Vá para o sítio seguinte e repita o procedimento: tente virar o spin e verifique se a nova configuração é aceita. Faça isto para todos os sítios da rede (finita). Ao final, calcule grandezas de interesse A({S}). A pode ser,p.ex., magnetização, energia, suscetibilidades, calor específico, etc.

30. Após varrer a rede M vezes, teremos M valores de A, e uma estimativa para a média no ensemble é dada por • Alguns comentários técnicos, mas muito importantes: • Cada varredura da rede é considerada como um passo de MC. E cada passo de MC é usado como uma unidade de “tempo”. • Antes de calcular valores médios deve-se aguardar um certo número de passos até que o sistema termalize e as médias passem a flutuar pouco; este número de passos depende da temperatura e de características do próprio sistema, como, p.ex., interações e/ou desordem.

31.  M M M • Os A não são variáveis aleatórias independentes porque, por construção, as configurações mantêm uma certa correlação entre si. Solução: promediar diferentesĀ .... Ā1 ĀG Ā2 barra de erro 

32. Efeitos de tamanho finito. • Quais as escalas de comprimento importantes? • o tamanho linear, L; • o comprimento de correlação,  |T – Tc| • Logo, a variável relevante deve ser a razão entre estas duas • escalas: L /  • Segue daí a teoria de finite-size scaling[prevê como os máximos nas diferentes grandezas (p.ex., suscetibilidade, calor específico,, etc.) se tornam singularidades ao nos aproximarmos do limite termodinâmico]: Xé qq grandeza TD FSS auxilia nas determinações de Tc, da natureza das fases e dos expoentes críticos.

33. QMC a T finita: Preliminares • Discutiremos agora apenas • sistemas itinerantes (fermiônicos), devido à sua maior • abrangência • modelo de Hubbard, por ser o mais simples K gran-canônico! V Problema: queremos amostrar os estados possíveis de cada partícula (a rigor, sítio), mas [dos Santos (2003) e refs. lá contidas]

34. Solução: fórmula de Trotter (1/) termos

35. ... • Interpretação de  : intervalos de “tempo” (imaginário) discretos • Para uma dada temperatura T,  = ( kBT )-1 temos então M fatias • “temporais” , M =    i2 i3 iM i1 i1

36. O operador e- H introduz uma correlação entre os estados na • direção temporal • dimensão efetiva do sistema é ( d + 1 ) • M   quando T  0 • Obteremos, então, uma seqüência de aproximações para a função • de partição, Z ,a qual deve, em princípio, ser extrapolada • para   0 • Mas isto ainda não é suficiente: precisamos poder variar os • estados de cada sítio individualmente, mas •  precisamos de uma nova aproximação

37. 2a aproximação: Decomposição do tipo tabuleiro de xadrez  Exemplo em d = 1: H = HA + HB HA = H12 + H34 + H56 +  HB =H01 + H23 + H45 +  2  x 4  0 1 2 3

38. Em d = 2, desmembra-se H em plaquetas: H = HA + HB • Resumindo as 2 aproximações: • Trotter para introduzir dimensão temporal • introduz erros sistemáticos da ordem de 2 • Decomposição em tabuleiro de xadrez • introduz erros sistemáticos também da ordem de 2 Vejamos agora um algoritmo para varrer o espaço de fases

39. QMC a T finita : Amostrando o Espaço de Fases com determinante fermiônico A preparação anterior nos levou a isolar os termos de interação sob a forma cc cccc   não-integrável façamos uma transformação que o leve a cc bilinear “integrável” (e.g., livre)

40. A transformação de Hubbard-Stratonovich: Inspirada na identidade (A é um operador) A forma quadrática em A é transformada em linear! Custo: introdução de um “campo auxiliar”x. 1a. providência: fazer aparecer uma forma quadrática na interação Lembrando que, para férmions, n2 = n = 0, 1 temos  m (magnetização) n (carga)

41. m U > 0 !!!! U < 0 !!!! x se acopla com m x se acopla com n n Usando a forma em que aparece m2 temos ou, para o caso de U < 0, usamos a forma em que aparece n2:

42. Para simulações, é mais conveniente que a transformação de Hubbard-Stratonovich seja discreta: Ou seja, a THS indica que férmions interagentes (on-site) são equivalentes a férmions livres em um campo magnético flutuante Para U < 0 usa-se uma relação análoga, porém com o campo flutuante acoplando-se com a carga

43. Aplicando esta transformação para todos os sítios (espaço-tempo), podemos escrever a gran-função de partição como onde Dℓ () e Os expoentes que aparecem em Dℓ () são bilineares nos operadores fermiônicos...

44. onde são os autovalores da matriz ...e formas bilineares em operadores fermiônicos podem ser integradas. Demonstração [2 estágios; ver dS (2003) p/ detalhes]: 1. Demonstra-se a identidade 2. O Tr nas variáveis fermiônicas vira um determinante: No nosso caso, temos produtos sobre as fatias temporais e sobre os spins fermiônicos...

45. ...isto é, O traço fermiônico pode então ser efetuado: Matrizes Ns  Ns Fator de Boltzmann? Cuidado! O det · det não é necessariamente > 0 Se não for, tome |det · det| (mais sobre isto depois)

46. A simulação: Tomando det O ·detO  como fator de Boltzmann, fazemos a simulação nos {s} Escrevamos O passo de QMC: Estamos no sítio da fatia Obs: det não se altera p/ perm. cíclica dos B’s Todos os elementos são nulos, menos o da posição i da diagonal

47. Este passo de QMC é aceito com probabilidade Cálculo de R: Necessitamos da função de Green instantânea, i.e., calcu-lada na fatia ℓ,1  ℓ  M , para uma dada configuração {s}: A razão entre det’s fica trivial se pudermos calcular as g’s instantâneas

48. Se o passo é aceito, tem-se que atualizar os O,ou, equivalentemen-te, as funções de Green: Note o caráter não-local desta atualização: ao aceitar o passo no sítio i, toda a g na fatia ℓ tem que ser atualizada: Ns2 operações! • Agora tenta-se virar o s do próximo sítio na mesma fatia temporal • Após tentarmos virar as variáveis em todos os sítios, passemos para uma nova fatia temporal, na qual a função de Green se torna Ns2 operações! OBS: Erros de arredondamento degradam g após um certo número de atualizações desta forma; periodicamente deve-se calculá-la a partir da definição

49. A manipulação através de funções de Green é uma das grandes vantagens desta implementação por determinante fermiônico, já que os valores médios de interesse também podem ser expressos em termos das g’s: O Teorema de Wick tb se aplica no caso do Tr{n}: expressos em termos das g’s

50. Em princípio estaria tudo bem, mas há dois importantes problemas que discutiremos em seqüência : • instabilidade a baixas temperaturas; • sinal negativo do determinante fermiônico.