FINANČNÍ MATEMATIKA

1. FINANČNÍ MATEMATIKA Jiří Matějíček MENDELU, LDF Brno Kurz CŽV – 2. výukový blok dne 9.11.2012

2. Základy finanční matematiky Základní znalosti nutné k pochopení kalkulace kapitálových vkladů Jsou základem • kalkulace kapitálu • investičního početnictví • výpočtu kapitálové služby • stanovení hodnoty renty • stanovení hodnoty podnikového výnosu • aj.

3. Finanční gramotnost • Finanční gramotnost jako základ individuální zodpovědnosti občanů • Současná finanční krize odkryla podstatu růstu řady významných ekonomik – růst na dluh má své meze • Finanční krize umocnila význam finanční gramotnosti • Nízká úroveň ekonomické a finanční gramotnosti a právního vědomí • Rizika dluhových pastí již ve velmi mladém věku

4. FINANČNÍ MATEMATIKA V PRAXI A) JEDNODUCHÉ ÚROČENÍ • jednoduchý úrok • bankovní diskont • některé krátkodobé cenné papíry • (směnka, státní pokladniční poukázka, obchodní cenný papír, depozitní certifikát, bankovní akcept …..) B) SLOŽENÉ ÚROČENÍ • složený úrok • inflace • časová hodnota peněz • spojité úrokování • finanční toky (současná hodnota cash flow) C) DŮCHODY (RENTY) • současná a koncová hodnota důchodu D) UMOŘOVÁNÍ DLUHU A UMOŘOVACÍ FOND (výpočet kapitálové služby - anuita) E) INVESTIČNÍ ROZPOČET, DANĚ A ODPISY (investiční početnictví) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- f) Obligace a akcie g) Obchody s cennými papíry h) Ohodnocení cenných papírů kopírováním portfolií ch) Pojem rizika ve finanční matematice i) Finanční řady

5. Úrok Úrok je • odměna za zapůjčení kapitálu (vklady, úvěry) • cena, kterou je nutné zaplatit za zapůjčení peněz (kapitálu) • cenaza přenechání kapitálu na určité časové období Výše úroku se udává pomocí úrokové míry

6. Úroková míra • v procentech (%) vyjádřený úrok z kapitálu • podíl z jistiny za celý rok Jistina v bankovnictví znamená původní (základní) částku vkladu, úvěru nebo jiné částky peněz, z nichž je placen úrok. *** Čas stojí peníze právě tak jako ostatní vstupy a cena času je obvykle měřena úrokovou mírou.

7. Jednoduché a složené úročení Jednoduchý úrok: Bere-li se v úvahu jednoroční částka úroků samo o sobě, aniž by se připočítávala k výchozímu kapitálu (jistině). Konečná hodnota kapitálu při jednoduchém úročení se zvyšuje ročně vždy o stejný obnos (o stejnou částku) Výpočet jednoduchého úroku:p u = Ko . 0,0presp. v oceňování 0,0p =  100 Výpočet počátečního kapitálu: u Ko =  0,0p

8. Jednoduché a složené úročení Součet všech jednoduchých úroků po n-letech: Σ u = Ko . 0,0p . n n …. doba trvání kapitálového vkladu Kn = Ko + Σ u Kn = Ko + Ko . 0,0p . n Kn = Ko . (1 + 0,0p . n)

9. Jednoduché a složené úročení Složený úrok: Nebudou-li se úroky ročně vybírat, ale budou-li přičteny vždy ke kapitálu a spolu s ním budou zúročeny Částka konečného (budoucího) kapitálu Kn Kn = Ko . 1,0pn 1,0pn........úročitel p v oceňování (1 +  )n = (1 + i)t 100

10. Jednoduché a složené úročení Velikost všech složených úroků po n-letech: Σ uu = Kn - Ko = Ko.1,0pn - Ko = Ko.(1,0pn -1)

11. Složené úročení Prolongování (zúročení): Kn = Ko . 1,0pnKo . (1 + i)t 1,0pn …. úročitel Diskontování (odúročení): 1 Kn Kn Ko = Kn .  nebo  Ko .  1,0pn 1,0pn (1 + i)t 1  ….. odúročitel neboli diskontovatel 1,0p-n 1,0pn

12. současná hodnota kapitálu budoucí (konečná) Kč hodnota kapitálu 300 200 100 80 60 40 20 složené úrokování Kn = Ko . qn jednoduché úrokování Kn = Ko + Kopn -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 roky odúročení (diskontování) zúročení (prolongování)

13. RENTNÍ POČET RENTA = peněžní obnos, který se vyplácí pravidelně, ve stejných časových intervalech a ve stejné výši (starobní důchod, trvale docilovaný čistý výnos lesního podniku, podíl ušlého zisku z důvodu odnětí, kapitálová služba anuitní půjčky atd.) Renty rozdělujeme: podle doby trvání • konečné (dočasné) • věčné (nekonečné) podle časového intervalu • roční • periodické podle okamžiku své splatnosti • zálohové, předlhůtní (např. k začátku roku) • doplatkové, polhůtní (např. ke konci roku)

14. Hodnota retního kapitálu Současná hodnota renty roční, konečné (dočasné), polhůtní Současná hodnota kapitálu se zjišťuje např. při vyjímání půdy z hospodářské činnosti jako cena odškodnění. Současná hodnota kapitálu (Ko) je dána odúročenou (diskontovanou) budoucí hodnotou retního kapitálu (Kn) 1,0pn - 1 Ko = r .  0,0p . 1,0pn

15. Hodnota retního kapitálu Budoucí (konečná) hodnota renty roční, konečné (dočasné), polhůtní (splatné ke konci roku) 1,0pn – 1 1,0pn - 1 Kn = r .  = r .  1,0p – 1 0,0p 1,0pn - 1  ….střadatel 0,0p

16. Hodnota retního kapitálu Současná (počáteční) hodnota renty roční, konečné (dočasné), polhůtní (splatné ke konci roku) 1,0pn – 1 Ko = r .  0,0p . 1,0pn 1,0pn - 1  …….zásobitel 0,0p . 1,0pn

17. Hodnota retního kapitálu Současná (počáteční) hodnota renty roční, věčné (nekonečné), polhůtní (splatné ke konci roku) r 1 Ko =  nebo r .  0,0p 0,0p 1 při 2 % při 4 %  …….kapitalizační faktor ( 1/0,02 = 50, 1/0,04 = 25 …) 0,0p

18. Hodnota retního kapitálu Současná (počáteční) hodnota renty periodické, věčné (nekonečné), polhůtní (splatné ke konci roku) R Ko =  1,0pn - 1

19. Výpočet anuit (amortizační výpočty) Dočasná roční renta (zde „anuita“) splatná ke konci roku, která se n-krát opakuje: 1,0pn . 0,0p r = a . Ko .  1,0pn - 1 1,0pn . 0,0p …… umořovatel neboli faktor reprodukce 1,0pn - 1 Úhrada úroků a úmoru anuitního kreditu Výpočet anuity: 1,0pn . 0,0p a = Ko . kf = Ko .  1,0pn - 1

20. PŘÍKLAD Výpočt anuity: 1,0pn . 0,0p 1,125 . 0,12 a = Ko . kf = Ko .  = 50 000 .  = 50 000 . 0,2774 = 13 870,- 1,0pn - 1 1,125 - 1 Průběh splácení půjčky a úhrady úroků: