TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

1. Komplexní čísla algebraický tvar Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

2. Úvod V oboru reálných čísel nelze provádět některé početní operace – např. odmocňovat záporná čísla. Proto byl zaveden číselný obor, ve kterém lze tyto operace provádět. Výsledkem těchto početních operací jsou tzv. komplexní čísla (některá reálná čísla lze reálně odmocňovat, proto jsou reálná čísla podmnožinou komplexních – každé reálné číslo je zároveň komplexní, neplatí však naopak). Komplexní čísla se začala používat v 16. století u rovnic z reálného života, při jejichž řešení bylo nutno v mezivýpočtech použít odmocninu ze záporného čísla proto, aby bylo dosaženo čistě reálného výsledku. Od té doby našla komplexní čísla využití v mnoha dalších oblastech matematiky, fyziky atd., ačkoliv ve skutečnosti tato čísla nemusí vyjadřovat žádný počet nebo část skutečných reálných věcí.

3. Zavedení komplexních čísel Kvadratická rovnice : Výsledkem jsou dvě nereálná komplexní řešení. Jelikož všechny podobné výsledky ve tvaru odmocniny z reálného čísla lze zapsat ve tvaru √a·√(–1) (např. √(-5) = √5·√(–1)), postačí pro vyjádření všech komplexních čísel výraz obsahující √(–1). Proto má tato hodnota speciální označení i, v některých aplikacích také j. Číslu i se říká imaginární jednotka.

4. Zápis komplexních čísel Přičtením reálného (které je také komplexní) čísla a k násobku imaginární jednotky vznikne číslo ve tvaru a + ib. Komplexní čísla, která vzniknou libovolnou jinou početní operací na reálných či komplexních číslech, lze upravit do stejného tvaru. Tomuto zápisu komplexního čísla ze říká algebraický tvar. V komplexním čísle se číslo a nazývá reálnou částí komplexního čísla (značí se Re z), číslo bimaginární částí komplexního čísla (značí se Im z). Čísla s imaginární částí rovnou nule jsou čísla reálná, čísla s reálnou částí rovnou nula se nazývají čísla ryze imaginární. Čísla s a i b nenulovými se nazývají imaginární. Komplexní čísla se ve výrazech označují nejčastěji písmeny z, příp. w. Číslo komplexně sdružené s číslem z je číslo Číslo opačné k je číslo z = –a – ib.

5. Početní operace s komplexními čísly Sčítání – sčítá se zvlášť reálná a zvlášt imaginární část čísla: Odčítání – obdobně: Násobení – roznásobí se jednotlivé členy, i2 se nahradí –1: Dělení – přepíše se do tvaru zlomku, který se rozšíří číslem komplexně sdruženým se jmenovatelem. Umocňování – opakovaným násobením (nebo užitím binomické rozvoje – viz kombinatorika) a užitím následujících vztahů:

6. Gaussova rovina Jelikož imaginární čísla neleží na číselné ose, používá se k jejich zobrazení rovina, tzv. Gaussova (dle německého matematika J. C. F. Gausse 1777–1855). Na vodorovnou osu se nanáší reálná část a na svislou imaginární část komplexního čísla. Im z 3i 2 + 2i 2i i –3 + i 0 –2 2 –3 1 –1 2 Re z –i 2,5 – 1,5i –2i 0 – 2i –3i