MOTO ROTAZIONALE

1. MOTO ROTAZIONALE

2. Rotazione in 2 dimensioni: particella sull’anello in 3 dimensioni: particella sulla sfera

3. PARTICELLA SULL’ANELLO Il momento angolare di una particella di massa m in moto su un anello di raggio r nel piano xy èrappresentato da un vettore Jz di grandezza pr perpendicolare al piano.

4. MOTO RETTILINEO MOTO CIRCOLARE v  m I pJ = r x p

5. Ipotesi di de Broglie: alla particella associamo un’onda di lunghezza d’onda =h/mv primo giro secondo giro NON accettabile

6. Secondo giro Primo giro accettabile

7. numero intero di lunghezze d’onda ACCETTABILE numero non intero di lunghezze d’onda NON ACCETTABILE

8. ORIGINE QUALITATIVA DELLA QUANTIZZAZIONE Condizioni cicliche al contorno Una circonferenza di raggio r deve contenere un numero intero ml di λ ml= 0, ± 1, ± 2, …. ml numero quantico Solo certi valori di λsono accettabili λ = h/mv  sono accettabili solo certi valori della velocità e quindi dell’energia cinetica, cioè dell’energia totale Quantizzazione dell’energia

9. J = rxp Jz = ± p r Per la relazione di de Broglie λ = h/p Solo i valori sono accettabili  solo i valori sono accettabili Quantizzazione del momento angolare

10. Trattazione quantistica

11. ml = 0, ±1, ± 2, …. Energia è quantizzata

12. ml 3 2 1 0 Stati doppiamente degeneri Stato non degenere Energia di punto zero = 0

13. I valori positivi e negativi di ml corrispondono a rotazioni in direzioni opposte E non dipende dal senso della rotazione

14. AUTOFUNZIONI

15. Nodo Parte reale della Ψ

16. Numero di nodi = 2

17. Numero di nodi = ml Al crescere di ml la lunghezza d’onda  diminuisce ↓ p=h/ cresce ↓ E=p2/2m cresce

18. Momento angolare Il momento angolare è quantizzato

19. La posizione della particella sull’anello è completamente indeterminata

20. I livelli energetici si avvicinano al crescere del raggio dell’anello Polieni ciclici Energia di eccitazione e lunghezza dell’anello Benzene λ = 204 nm Azulene λ = 340 nm

21. Regola di Huckel 4 n + 2 n = 2 n = 1 Sistemi con 4n elettroni sono in stato di tripletto

22. PARTICELLA SULLA SFERA Longitudine Latitudine distanza Coordinate sferiche

23. Una particella su una sfera deve soddisfare 2 condizioni al contorno cicliche Questa richiesta porta a 2 numeri quantici per definire il momento angolare Le 2 condizioni al contorno cicliche sono collegate I due numeri quantici hanno una relazione

24. l = 0, 1, 2, … ml = l, l-1, …, -l Il momento angolare è quantizzato. • L’energia è • quantizzata • indipendente da ml

25. l 2 1 0 ml -2 -1 0 +1 +2 ml -1 0 +1 ml 0

26. C60 I = me (0.7 nm)2 Ponendo l’’ = 4 e l’ = 5 calcoliamo ΔE = 398 nm. Una transizione è stata osservata nell’UV-VIS a 404 nm.

27. C60 Au32 Aromaticità sferica 2 (N+1)2 N 2 (N+1)2 0 2 1 8 2 18 3 32 4 50 5 72 .. ..

28. Autofunzioni: armoniche sferiche Gli autovalori di L2 sono l(l+1)ħ2con l = 0, 1, 2, … L’intero l è ilnumero quantico principaledel momento angolare Determina lagrandezzadel momento angolare Gli autovalori di Lz sono mlħ con -l ≤ ml ≤ l L’intero ml è ilnumero quantico magnetico Determina lacomponente zdel momento angolare Per ciascun valore di l ci sono 2l+1 possibili valori di ml

29. Conclusione • La meccanica quantistica afferma che un corpo ruotante NON può avere un’orientazione arbitraria rispetto ad un asse. Questa vincolo sull’orientazione è detto quantizzazione spaziale. • Il numero quantico ml è detto numero quantico magnetico perché indica l’orientazione di un campo magnetico causato dalla rotazione di un corpo carico attorno ad un asse.

30. ARMONICHE SFERICHE ml = 0 Il numero di linee nodali aumenta al crescere di l: tanto più grande il momento angolare, tanto maggiore l’energia cinetica.

31. ARMONICHE SFERICHE l La distanza dall’origine corrisponde alla grandezza (modulo) della quantità disegnata ml

32. Rappresentazione vettoriale del momento angolare l = 2 La lunghezza è costante. L’orientazione nei 5 stati è diversa.

33. Effetto Zeeman (1896) +1 0 -1 0 l = 1 l = 0 B = 0 B  0 2l+1 livelli energetici

34. Conosciamo la proiezione del momento angolare lungo l’asse z Che valori hanno le proiezioni lungo x e y ?

35. N S ESPERIMENTO DI STERN-GERLACH (1921) Problema le particelle hanno momento angolare intrinseco? Particelle cariche con momento angolare intrinseco hanno momento magnetico Interagiscono con un campo magnetico B non uniforme

36. Apparato sperimentale • Risultato classico atteso • Risultato sperimentale • con atomi di Ag

37. Magnete z Sorgente N x Fascio di Ag S vapore di Ag Ag collimatore schermo N B0 Fascio di Ag B unif B non unif Numero atomi Ag S non uniforme z 0 B uniforme 0

38. μ r v B μ Atomi in un campo magnetico Teoria classica : interazione di un elettrone orbitante con il campo magnetico L’elettrone orbitante si comporta come una spira percorsa da corrente Momento magnetico μmomento angolare L In un campo magnetico B, l’energia di interazione è E = -μ.B Teoria classica: tutti i valori di μin modulo e direzione sono accettabili Fascio deflesso in modo continuo

39. ml= +1 B = 0 (2l+1) stati degeneri con ml = -l, …, +l ml = 0 ml = -1 B ≠ 0 (2l+1) stati con energie diverse Teoria quantistica: quantizzazione spaziale  solo certe orientazioni sono accettabili ml numero quantico magnetico

40. Particella con spin ½ ( 107Ag o 1H) Particella con spin 1 (2H) Particella con spin 3/2 (7Li) Nell’esperimento di Stern-Gerlach con atomi di Ag non compaiono (2 l + 1) fasci

41. Variazioni sull’esperimento di Stern-Gerlach ? Particella con spin ½ (107Ag)

42. Variazioni sull’esperimento di Stern-Gerlach Particella con spin ½ (107Ag) Una volta che abbiamo selezionato una componente pura lungo l’asse z, rimane in quello stato

43. Variazioni sull’esperimento di Stern-Gerlach ? Particella con spin ½ (107Ag)

44. Variazioni sull’esperimento di Stern-Gerlach dietro davanti Particella con spin ½ (107Ag) Quello che è successo lungo l’asse z non ha importanza se ora guardiamo lungo l’asse x. Il fascio si divide ancora in 2.

46. Fascio Sz+ Fascio Sx+ Fascio Sx- SGz SGx Sorgente Fascio Sz- Fascio Sx+ Fascio Sz+ Fascio Sz+ Fascio Sz- SGz SGx SGz Sorgente Fascio Sz- Fascio Sx- Esperimenti di Stern-Gerlach in sequenza comp.Sz+ Componente Sz+ Nessuna comp. Sz- SGz SGz Sorgente comp. Sz- Possiamo conoscere una sola delle componenti

47. z L Il modello vettoriale Immaginiamo che L precessi attorno all’asse z.Quindi la grandezza di L e della componente lungo z Lz sono costanti, mentre le componenti x e y possono avere qualunque valore e il loro valor medio è zero Un dato numero quantico l determina la grandezza del vettore L La componente z può avere 2l+1 valori corrispondenti a Nel modello vettoriale questo vuol dire che solo certi angoli fra il vettore momento angolare e l’asse z sono permessi θ

48. Lz Ly Lx Il modello vettoriale Esempio: l = 2 La grandezza del momento angolare è La componente del momento angolare lungo z può essere

49. Rappresentazione del momento angolare Proiezione lungo z definita Proiezioni lungo x ed y non specificate.  Un cono è una rappresentazione più realistica di un vettore.

50. Principio di corrispondenza