Programação Avançada Simulação – Conceitos básicos

1. Programação AvançadaSimulação – Conceitos básicos Prof. Natalia Castro Fernandes Mestrado em Telecomunicações – UFF 2º semestre/2012

2. Introdução • Dificuldade de resolução de grande escala • Simplificações podem distorcer o resultado, mas sem usar as simplificações o modelo pode ficar muito complexo • Análise de um problema • Resolução analítica • Equações e modelos • Simulação • Modelo simplificado • Teste • Implementação real • Quais partes do modelo podemos abstrair? Qual a distância entre a realidade e o resultado da simulação? • Implementar pode ser muito complexo • Como fazer testes em escala? A melhor análise tem os três tipos: resolução analítica, simulação e teste Em geral, basta fazer duas análises, desde que uma valide a outra.

3. Simulação • Vantagens • Pode lidar com modelos mais complexos do que a análise matemática • Melhor representação do sistema real que a análise matemática • Mais simples de implementar do que a solução completa • Abstração de detalhes • Pode analisar cenários com grande escala, o que pode ser proibitivo em implementações reais • Desvantagens • Dificuldade de interpretar os resultados • O que eu fiz está certo??? • O que representa o resultado obtido??? • Longo tempo de execução

4. Caracterização de um simulador • Determinístico ou estocástico • Modelo contém eventos aleatórios? • Estático ou dinâmico • Evolução do tempo influi no sistema? • Contínuo ou discreto • Estado do sistema evolui continuamente ou em pontos discretos no tempo? Simulação discreta de eventos --Estocástica, dinâmica e discreta --

5. Simulador estocástico • Modelo contém eventos aleatórios • Depende de gerador de números aleatórios • Gerar números pseudo-aleatórios • Parecem aleatórios, mas são essencialmente determinísticos • Uso de função pseudo-aleatória Mas como podemos gerar números aleatórios???

6. Gerador de números aleatórios • Deve gerar números que pareçam uma variável aleatória uniforme • Uniformemente distribuídos entre 0 e N-1, onde N é um número qualquer • Estatisticamente independentes um do outro Já vimos que a função random() do módulo random faz exatamente isso. E se eu quisesse criar o my_random(), que tivesse as mesmas características de v.a. uniforme?

7. Método Congruente • Método para gerar v.a. uniformes • Utiliza três parâmetros inteiros • a e M = parâmetros internos do algoritmo • M determina quantos números poderão ser gerados • x(0) = 1º valor da sequência pseudo-aleatória, também chamado de semente x(i+1) = a*x(i) % M U(i+1) = x(i+1)/M V.a. uniforme gerada

8. Método Congruente • Exemplos • a=3, M=11, x(0)=4 • x(i+1) = 3*x(i) % 11 • Sequência = 4, 1,3,9,5, 4, 1,3,9,5,4,... Má escolha de parâmetros pode gerar uma baixa variabilidade de valores e repetição da sequência com poucos sorteios.

9. Propriedade de um gerador pseudo-aleatório • Todos os números da sequência são gerados? • Qual o tamanho da sequência? • Sugestão de valores para método congruente: • M=(2^31) -1 • A=7^5

10. Método Congruente Linear • Mai s usado, pois costuma garantir maior variabilidade nos valores • Um parâmetro a mais que o método congruente: c x(i+1) = (a*x(i)+c) % M U(i+1) = x(i+1)/M

11. Exercício • Gere mil números aleatórios entre 0 e 1 com o método congruente e faça um histograma com intervalos de 0.1 de largura • Repita utilizando o método congruente linear • Repita utilizando a função random() • Compare os resultados • O gráfico pode ser feito com qualquer ferramenta

12. Lei dos Grandes Números • Frequência relativa do resultado de um experimento aleatório converge para sua probabilidade • Resultado fundamental em probabilidade e estatística • Portanto, um bom gerador deveria apresentar uma frequência de ocorrências para todos os valores do histograma, no exercício anterior, igual a 1/10 • Outro exemplo é o dado não viciado • Se jogado muitas vezes, a frequência de cada face vale 1/6 Prova de que a probabilidade existe!!!! Números, quando em grande quantidade, convergem!!!

13. Lei dos Grandes Números • Uma grande quantidade de medidas leva a média real do experimento • Ex: gere um número entre 0 e 1 com o random() várias vezes

14. Lei dos Grandes Números Resposta = [0.8490961500569881, 0.6456630621108963, 0.7011384939674841, 0.7093239739503144, 0.008255047174339558, 0.5118803420415918, 0.9067574331321653, 0.04266981994782948, 0.19040859063960625, 0.30762765616240917, 0.2759092882464159, 0.03340334367397668] • Média com 1 medida: 0.849096150056988 • Média com 2 medidas: 0.7473796060839422 • Média com 3medidas: 0.7319659020451228 • Média com 12 medidas: 0.3727341022628085 • Média com 100 medidas: 0.48730569712969135 • Média com 1000 medidas: 0.5049299613079365 • Média com 10000 medidas: 0.49950420528919764

15. Simulação • Evolução de um sistema estocástico no tempo • Evolução do estado do sistema • Estado depende das medidas de interesse • Medidas de interesse = dados que você deseja medir com a sua simulação

16. Variáveis da simulação • Tempo • representa o instante de tempo que o simulador se encontra • Variáveis de estado • Representam o estado do sistema no tempo t • Variáveis de interesse • Representam valores que permitem o cálculo de medidas de interesse

17. Eventos • São ações que modificam o estado do sistema • Quando um evento ocorre, as variáveis são atualizadas • Tempo, estado do sistema e medidas de interesse • Permitem seguir o modelo no tempo • Utilização de lista de eventos

18. Lista de eventos • Lista contendo todos os eventos que irão ocorrer no futuro • Cada evento é identificado por tipo e instante que deverão acontecer • A lista deve estar ordenada pelos instantes de ocorrência dos eventos • Exemplo Evento 1 T=1 Evento 2 T=7 Evento 3 T=10

19. Lista de eventos • Após executar o evento atual, o simulador consulta a lista • Simulador processa próximo evento e o remove da lista • Quando novos eventos serão adicionados à lista? • Ao processar um evento!

20. Exemplo • Simulador processa Evento 1 • Evento 1 gera 2 novos eventos • Simulador reordena a lista • Simulador descarta evento 1 • Simulador processa próximo evento Evento y T=8 Simulador Evento x T=12 Evento 2 T=7 Evento 1 T=1 Evento 3 T=10

21. Simulador genérico • Inicializar variáveis • Inserir um ou mais eventos na lista de eventos • Enquanto não chegar ao fim da simulação • Remover próximo evento da lista de eventos • Processar evento

22. Estimando medidas de interesse • Exemplo de medida de interesse: • Tempo até que o sistema falhe • Suponha que essa v.a. tenha distribuição desconhecida • Como estimar algo sobre essa medida de interesse? • Tirar média amostral • Simular vários valores de X e tirar a média

23. Intervalo de Confiança • Média amostral não é igual ao valor esperado • Média amostral tende ao valor esperado • Exemplo: • Média amostral da random() é quase 0.5, mas não é exatamente o valor esperado 0.5 • Ideia • Utilizar a média para calcular um intervalo onde o valor esperado pode estar

24. Teorema do Limite Central • Seja uma sequência de variáveis aleatórias identicamente independentes com valor esperado e variância (σ2) menores que ∞ • A distribuição dessa sequência de variáveis converge para distribuição Normal se o tamanho da sequência (n) tende ao infinito (ou seja, se tivermos infinitas amostras, n-> ∞) • É possível fazer essa aproximação para a normal, se usarmos um n suficientemente grande (ou seja, se tivermos muitas amostras)

25. Intervalo de confiança • Definição • Com probabilidade o intervalo gerado contém o valor esperado μ • Calcula uma barra de erro que, com =95% de chance, contém o valor correto da medida • Boa chance do intervalo gerado conter o valor esperado, mas não é garantido!

26. Intervalo de confiança • Aproximação pela normal • A confiança do intervalo

27. Entendendo a conta • A confiança do intervalo • é a média amostral, ou seja, a média das suas medidas • é o desvio padrão amostral, ou seja, o desvio padrão das suas medidas • é o valor do eixo x em uma normal com média 0, de tal forma que, se considerarmos o intervalo entre + e - , teremos marcado da área da Normal • n é o seu número de amostras Z0.9=1.65 e Z0.95=1.96

28. Entendo a conta • Lembrando que o desvio padrão amostral é calculado como: • Onde: Média amostral

29. Intervalo de confiança • Como apresentar seus gráficos? • SEMPRE coloque a média amostral e o intervalo de confiança de cada um de seus pontos no gráfico

30. Resultado da simulação • Estado estacionário x estado transiente • Existe um tempo, chamado de transiente, no qual o resultado da simulação ainda não convergiu • Efeito do estado inicial • Na maioria das simulações, deseja-se conhecer o estado estacionário e não o estado transiente • Considerar medidas a partir da estabilização do sistema • Outra possibilidade é partir de um estado inicial mais próximo do estado estacionário

31. Número de rodadas • É preciso realizar uma simulação diversas vezes para obter diversas medidas e tirar a média e o desvio padrão amostral • Como saber qual é um bom número de rodadas? • Lembrando que o ideal seriam infinitas rodadas

32. Número de rodadas • Escolher um valor para a confiança do intervalo a ser gerado, ou seja, • Escolher um valor máximo para o tamanho do intervalo, que chamaremos de L • O valor de L deve ser escolhido de acordo com o seu intervalo de medidas, de tal forma que a barra de erros não fique grande demais • Escolher um número de amostras mínimo, nmin • O desvio padrão amostral, S, depende de n • Por isso, existe um valor mínimo para n • nmin=20 é um bom valor mínimo • Gerar amostras até que intervalo gerado seja menor do que L

33. Algoritmo • Escolha e L • Gerar pelo menos nmin amostras • Gerar mais amostras, para cada um dos seus pontos, até que: • Calcular média amostral • Montar o gráfico 2 < L

34. Exercícios • Faça um script que calcule a média amostral de um conjunto de medidas. As medidas devem estar em um arquivo, sendo colocada uma medida por linha com a seguinte configuração: Valor_eixo_x Medida O script deve escrever em um arquivo de saída a média amostral para cada um dos valores de x com o seguinte formato: Valor_eixo_x Média Exemplo: Arquivo de entrada Arquivo de saída 1 10 1 9 1 8 2 3 2 6 2 9 1 9 2 6

35. Exercícios • Faça um script que calcule o desvio padrão amostral, supondo que as medidas estão dispostas como explicado no exercício anterior. O script deve retornar o desvio padrão amostral de cada ponto da mesma forma que foi feito no exercício anterior. • Faça um script que mescle os dois exercícios anteriores, criando um arquivo de saída do tipo: eixo_x média desvio

36. Exercícios • Crie um script que leia a saída do exercício anterior e calcule o intervalo de confiança de 95% (Sua saída deve ser referente a . ). O arquivo de saída deve ser do tipo: eixo_x média intervalo

37. Referências • Aulas do Prof. Daniel Figueiredo • http://www.land.ufrj.br/~classes/model-analise-2009/slides/aula_simul_1.pdf • http://www.land.ufrj.br/~classes/model-analise-2009/slides/aula_simul_2.pdf • http://www.land.ufrj.br/~classes/model-analise-2009/slides/aula_simul_3.pdf • http://www.land.ufrj.br/~classes/model-analise-2009/slides/aula_simul_4.pdf