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FUNÇÃO CARACTERÍSTICA. Função Característica A função característica de uma v.a. X é definida como: Assim para todo Para variáveis aleatórias discretas a função característica da v.a. X é dada por: . Função característica: Exemplos
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Função Característica A função característica de uma v.a.X é definida como: Assim para todo Para variáveis aleatórias discretas a função característica da v.a.X é dada por:
Função característica: Exemplos Variável aleatória discreta com distribuição de Poisson. Variável aleatória discreta com distribuição binomial Variável aleatória uniforme X~U(a, b). Se X é uniformemente distribuído no intervalo (-a, a).
Função característica de uma v.a. gaussiana ~ Se X é uma variável aleatória Gaussiana com média zero e variância a função característica é dada por:
A função característica de uma variável aleatória é também chamada de função geradora de momentos. Para ilustrar esta propriedade, considere a representação em série de Tomando-se a primeira derivada com relação a , no ponto Similarmente, para a segunda derivada
Repetindo este procedimento k vezes obtém-se o k-ésimo momento de X, ou seja: Cálculo da média e da variância de uma v.a. X com distribuição de Poisson. Mas,
Variável aleatória com distribuição binomial Função característica:
Em alguns casos, a média e a variância pode não existir. Por exemplo, considere uma v.a. de Cauchy: Avaliando o lado direito da integral: fazendo Como as integrais não convergem a média e a variância são indefinidas. Será visto em seguida um limitante que estima a dispersão da v.a. centrado em torno da média.
Desigualdade de Chebychev Considere um intervalo de largura 2 simetricamente centrado em torno da média com mostrado na figura. Qual é a probabilidade de X ser encontrado fora deste intervalo? Ou seja Tomando-se a definição de variância Portanto: (desigualdade de Chebychev)
Observe que, para calcular a probabilidade, não há necessidade de se conhecer fX(x). É necessário conhecer somente a variância da v.a. X. Em particular, se então: Se k=3, a probabilidade da v.a. X ser encontrada fora do intervalo 3 em torno de sua média é de 0,111 para qualquer v.a. Obviamente que este limite não deve ser rigoroso quando se inclui todas as v.a.’s . Por exemplo para uma v.a. gaussiana com tem-se: Que é muito mais estreito do que o limitante dado pela desigualdade de Chebychev
