Initiation à la M.E.F

1. Initiation à la M.E.F Sergio COCCO

2. Aspects pratiques de la M.E.F Principe de la M.E.F Dimensionnement et mise en oeuvre Éléments de validation d’un calcul EF Exemples d’application

3. Ty = F effort tranchant moment fléchissant flèche en B Mz = F(L-x) FL3 yB = 3EI Exemple 1 : Poutre en flexion simple ey A B ex L F

4. F Exemple 2 : Pylône électrique Flèche au sommet du pylône ? Approximation : assemblage de poutres Méthodologie connue ? temps de mise en oeuvre

5. Exemple 3 : Moteur 2 temps Évaluation du champ de température et du champ de contrainte induit Analyse expérimentale / étude numérique

6. Lois ou modèles Physiques Problématiques industrielles Recherche de solutions approchées par des techniques numériques Pas de solution analytique Abaqus Ansys Nastran / Marc Ideas Méthode des éléments finis - dimensionnement d ’une structure - amélioration des process de fabrication - réduction du nombre de prototypes

7. Principe de la M.E.F • Règles de Dimensionnement • Les outils numériques - Quelques exemples • Organigramme général d’un code de calculs • Données physiques du problème • Type d’analyses • Validité d’un calcul EF • Conclusions • Exemples d’application

8. PFS, PFD, loi de HOOKE Eq de Navier - Stokes Loi de Fourrier Eq Potentiel Mécanique du solide-------- Mécanique des fluides ----- Thermique ------------------ Électricité ------------------ Principe de la M.E.F Problèmes rencontrés dans les domaines de l’ingénieur Lois ou des modèles Physiques Éléments finis Lois fondamentales

9. Matériaux isotropes et anisotropes Comportements élastique, élastoplastique, plastique, viscoélastique Structure homogène ou composite Petites déformations, petits déplacements, grands déplacements Calculs stationnaires et transitoires Calculs statiques, thermiques, dynamiques, électromagnétiques Éléments finis Mécaniques des solides déformables Éléments finis Lois fondamentales

10. Analyse expérimentale Détermination du champ de déformation Collage de jauges Base théorique de la M.E.F (1) Objectif : Champ de déformations e Champ de contraintes s Champ de déplacements U

11. Champ de déplacements U M.E.F Base théorique de la M.E.F (2) Inconnue du problème Mécanique des corps déformables + Résoudre un problème mécanique avec la M.E.F, c’est chercher le champ de déplacement

12. Appuyé et chargé Énergie de déformation Déformations Déplacements Wd Contraintes Base théorique de la M.E.F (3) Comment déterminer les déplacements d’une pièce chargée ? Déterminer l’écrasement du ressort sous charge

13. Base théorique de la M.E.F (4) Rappel RDS : Méthodes énergétiques : théorème de CASTIGLIANO déplacement dans le sens de l’effort = Énergie = déplacement*effort = U*F = U*(F/U)*U = U*K*U = U*F Raideur K F = KU Système mécanique le plus simple qui soit : le ressort linéaire

14. matrice de rigidité K1 K2 1 2 3 k ASSEMBLAGE : (K) F1 F2 U1 U2 F1 F2 F1 ,U1 F2 ,U2 F3 ,U3 K = U1 U2 1 2 K2 K1 RESOLUTION : KU=F Base théorique de la M.E.F (5) - Ressort linéaire isolé - Assemblage de ressorts

15. Base théorique de la M.E.F (6) Conclusion Le champ de déplacement est l’inconnue d’un problème EF La M.E.F est une méthode basée sur l’énergie de déformation La M.E.F repose sur la notion de raideur d’une structure et la résolution d’un système matriciel du type F = K.U La M.E.F est une méthode d’approximation

16. Mécanique du solide Thermique Mécanique des fluides Magnétisme Effort Flux Vitesse Charge magnétique Déplacement Température Pression Potentiel Base théorique de la M.E.F (7) Au sens large :

17. Base pratique de la M.E.F (1) Méthode de partitionnement M.E.F Modèle DISCRET Découpe la structure en un nombre finis d’éléments Discrétisation MAILLAGE Nœuds et les éléments du modèle Efforts, appuis : Conditions limites

18. Géométrie Maillage Modèle Points Filaires Surfaces Volumes Discrétisation Nœuds Éléments Représentation des phénomènes physiques Base pratique de la M.E.F (2) Exemple Forces nodales nœud EF Charge répartie Déplacements imposés Domaine discretisé Domaine continu

19. Déplacements imposés Forces nodales Charge répartie Déplacements imposés Base pratique de la M.E.F (3) Forces nodales nœud …. EF Charge répartie Chaque élément fini possède sa propre RAIDEUR Domaine discretisé La structure discrétisée aura une RAIDEUR globale Efforts, appuis : Conditions limites

20. Discrétisation de la structure - en éléments simples - en nombre finis Base pratique de la M.E.F (4) Extension de la notion de rigidité à une structure ‘réelle’ structure complexe exploitation du type F = K.U ( 1 ) ( 2 ) Détermination de - l’énergie de déformation élémentaire - la rigidité élémentaire - assemblage - résolution

21. Base pratique de la M.E.F (5) - Schématisation

22. structure 1D Approximation fibre neutre Structures poutres Dimensions transverses faibles devant la longueur structure 2D Structures à paroi mince Épaisseur faible par rapport à la largeur et la longueur Approximation fibre neutre structure 3D Structures massives volumiques Aucune dimension n’est prépondérante Aucune approximation Dimensionnement : classification des structures Différents types de structure rencontrés

23. Dimensionnement : Hypothèses simplificatrice (1) Configuration initiale Approximation EF Modèle poutre Modèle coque

24. Dimensionnement : Hypothèses simplificatrice (2) Configuration initiale Approximation EF Modèle volumique

25. Dimensionnement : Familles d’éléments

26. Prolongement des poutres Encastrement des coques Dimensionnement : Compatibilité d’éléments et gestion des DDL Gestion coque-volume Gestion poutre-volume

27. volumique aucune plaque / coque épaisseur poutre Section Inerties Dimensionnement : mise en oeuvre Caractéristiques géométriques éléments finis compatibles avec le type de problème

28. F F H y y x x F F y y x x s et e planes Dimensionnement : cas particuliers

29. Dimensionnement : cas particuliers Symétrie et anti-symétrie

30. Dimensionnement : cas particuliers Exemple de symétrie CL de symétrie

31. Dimensionnement : cas particuliers Exemple d’anti-symétrie CL d’anti-symétrie

32. M.E.F Dimensionnement : cas particuliers Axi-symétrie F F Configuration réelle Configuration approchée

33. Les outils numériques M.E.F Outils cinématiques Outils généralistes Système LMS Multicorps rigides • mécanique linéaire et non linéaire • mécanique vibratoire • thermique • électromagnétisme Outils métiers • industrie automobile • crash ferroviaire • - robotique • accidentologie • mise en forme • génie civil • bio-mécanique

34. Quelques exemples de simulation Simulation d’un crash test Étude cinématique des liaisons au sol Protection habitacle : étude biomécanique de l’impact

35. Pré-processeur Modélisation de la structure : - description du modèle en C.A.O (hypothèses simplificatrices) - discrétisation de la structure en EF - entrées des données physiques (matériaux, CL, chargement) Solveur Résolution du système KU = F Post-processeur Analyse des résultats - exploitation des résultats (déplacements, contraintes…) - validation - recalage des résultats Organigramme général d’un code de calculs

36. Données physiques du problème - Nature du matériau niveau de précision - Comportement du matériau élastique, élasto-plastique… - grandes déformations - contact / frottement - historique - phénomènes vibratoires thermiques - Phénomènes physiques - Type de chargement et conditions limites - rigides et élastiques - masses équivalentes - application des charges

37. Respect des critères fixés Type d’analyses - niveau de contraintes - déplacements - masse - Validation - Optimisation jeu de paramètres - matériau - géométrie d’une pièce - modes de chargement reconception Norme : - neige et vent - CODAP, AFNOR - construction - matériau

38. Validité d’un calcul EF 1) Étude préliminaire à partir des plans d’ensemble - choix du type d’analyse (statique, dynamique,thermique…) - étude d’un comportement local ou global - choix du type d’éléments - hypothèses simplificatrices (lignes ou peaux moyennes), symétrie - cohérence du système d’unité - conditions limites (chargements, liaisons internes ou externes) - propriétés des matériaux - propriétés géométriques des éléments (section, inertie, épaisseur)

39. 2) Avant le lancement du calcul - contrôler la géométrie du modèle - qualité du maillage : connectivité des nœuds distorsion des éléments zone de raffinements - visualisation des CL et des propriétés matériaux

40. 3) Après le lancement du calcul - vérification de la masse, du volume, de la position du CDG - vérification de l’équilibre de la structure chargée - amplification de la déformée : connectivité des nœuds approche intuitive des déplacements - comparaison des contraintes moyennées et non moyennées - vérification des ordres de grandeur - utilisation des dispositifs d’estimation d’erreur

41. Conclusions : questions essentielles • Modélisation Quels sont les phénomènes physiques les plus importants ? Quel modèle utiliser ? Moins il y a d ’hypothèses + on est proche de la réalité + le modèle mathématique est complexe + le coût de résolution est élevé • Analyse Quelle est l’erreur d’approximation commise ? Quelle est l’erreur numérique ? Peut-on améliorer le modèle numérique ? Compromis entre : précision du modèle / réalité

42. Conclusions : zone de raffinements

43. Conclusions : distorsion des éléments

44. Conclusions : connectivité des nœuds Effet boutonnière

45. Conclusions : étude locale – étude globale (1)

46. Conclusions : étude locale – étude globale (2)

47. Conclusions : étude locale – étude globale (3)

48. Conclusions : étude locale – étude globale (4)

49. Exemple d’application : support d’étagère (1) Qu’est ce qu’un modèle ? S ’assurer que le support est capable de remplir ses fonctions Optimiser la pièce pour produire au meilleur coût

50. La géométrie Connue Le type d ’analyse Analyse statique linéaire Les liaisons CL en déplacement et charge ponctuelle Hypothèse des petits déplacement & petites déformations Le comportement du matériau Exemple d’application : support d’étagère (2) • Hypothèses de base