Download
aproksimasi akar persamaan taklinear n.
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
APROKSIMASI AKAR PERSAMAAN TAKLINEAR PowerPoint Presentation
Download Presentation
APROKSIMASI AKAR PERSAMAAN TAKLINEAR

APROKSIMASI AKAR PERSAMAAN TAKLINEAR

305 Vues Download Presentation
Télécharger la présentation

APROKSIMASI AKAR PERSAMAAN TAKLINEAR

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. APROKSIMASI AKAR PERSAMAAN TAKLINEAR Persamaan linear ax + b = c mempunyai akar (penyelesaian) x = (c – b)/a. Bagaimana dengan akar-akar persamaan berikut, mudahkah dicari? Ini beberapa contoh persamaan taklinear, secara umum akarnya tidak mudah dicari. Diperlukan metoda untuk aproksimasi. Bentuk umum pers taklinear : f(x) = 0, f fungsi taklinear. Jika f(x0) = 0 maka x0 dikatakan akar (penyelesaian). EKSISTENSI AKAR pada suatu interval : 1. Tidak mempunyai akar 2. Mempunyai akar tunggal 3. Mempunyai akar banyak

  2. Y akar-akarnya X a b f(a) akar Teorema (syarat cukup): Jika f kontinu pada interval [a, b] dan f(a) f(b) < 0 maka f(x) = 0 mempunyai akar di dalam (a, b). a b p f(b) f(a) f(b) < 0 Secara GEOMETRI, akar persamaan f(x) = 0 adalah titik potong kurva y = f(x)dengan sumbu x. y = f(x)

  3. y = f(x) a2 a3 b2 b3 p2 p : akar eksak a = a1 b = b1 METODA BELAH DUA (BISEKSI) Perhatikan interval [a,b] yang memuat akar eksak p. Dibangun barisan subinterval [an, bn] dan aproksimasi (pn) yang konvergen ke p • Ambil p1: = (a1+b1)/2. Interval [a1, b1] terbagi menjadi 2 subinterval yang • sama panjang, yaitu [ a1, p1] dan [ p1, b1]. 2. Pertahankan subinterval yang masih memuat akar, dalam hal ini [ a1, p1 ]. Tetapkan a2:=a1 dan b2:=p1. • Lakukan cara yang sama pada interval [a2, b2] untuk memperoleh p2. a4 b4 p1

  4. Secara umum metoda belah dua ini adalah sbb:

  5. (b,f(b)) p3 p : akar eksak Secara umum diperoleh : (a,f(a)) METODA SECANT y = f(x) • Perhatikan interval [a, b] yang memuat akar eksak p. Membangun barisan iterasi (pn) yang akan konvergen ke akar eksak p • Tetapkan p0 := a dan p1 := b. grs secant • Buat grs secant yang melalui (a,f(a)) dan (b,f(b)). • Ambil p2 : titik potong grs secant ini dg sb x. Selanjutnya, langkah-langkah di atas diterapkan pada interval [p2 , b] untuk mendapatkan p3. p2 x = a = p0 x = b = p1

  6. akar eksak p (a,f(a)) p2 p3 p4 [p2, p1] [p0, p2] (b,f(b)) ILUSTRASI METODA REGULA FALSI (Kombinasi metoda biseksi dan secant) • Perhatikan interval [a, b] yang memuat akar eksak p. Membangun barisan interval [an , bn] dan iterasi (pn+1) yang konvergen ke akar eksak p 1. Ambil a1:=a dan b1:=b, terapkan metoda secant pada [a1, b1] untuk memperoleh p2. 2. Diperoleh 2 subinterval [p0 , p2] dan [p2, p1]. Pertahankan subinterval yg masih memuat akar, dalam hal ini [p2, p1]. Ambil a2:=p2 dan b2:=p1. Terapkan metoda secant pada [a2,b2] untuk memperoleh p3. y = f(x) a = a1 b = b1

  7. Secara umum diperoleh an , bn dan pn+1 sbb:

  8. grs singgung grs singgung (p0, f(p0)) titik singgung (b,f(b)) p1 p0 p2 p : akar eksak Secara umum, diperoleh brs (pn) sbb: (a,f(a)) asalkan titik singgung ILUSTRASI METODA NEWTON Diperhatikan interval [a,b] yang memuat akar eksak. Membangun brs iterasi (pn) yang konvergen ke akar eksak p. y = f(x) 1. Ambil p0 sebarang titik pada [a,b]. Buat garis singgung kurva di titik x = p0. 2. Ambil p1: titik potong grs singgung ini dengan sb x. 3. Terapkan cara yg sama pada p1 untuk memperoleh p2. x = a x = b