7. Přednáška limita a spojitost funkce

1. BRVKA 7. Přednáškalimita a spojitost funkce Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857)

2. BRVKA Definice limity posloupnosti • Definice: Posloupnost má limitu , pokud pro každé okolí U bodu a existuje index n0 tak, že pro všechna přirozená n>n0 je člen an z okolí U bodu a. • Značení: Reálné a → plst je konvergentní. a = +∞ nebo –∞ → plst je divergentní. an U(a) limita n n>n0 n0 Od určitého indexu n0 jsou všechny další členy v U okolí limity. Okolí můžeme zvolit libovolně malé.

3. BRVKA limita funkce v nevlastním bodě • Zkoumáme, jak se daná funkce f(x) chová v nevlastním bodě (v nekonečnu). Pokud se funkční hodnoty blíží nějaké hodnotě b, znamená to, že od určitého x0 jsou všechny funkční hodnoty v okolí U bodu b. • Značení: y U(b) limita x x>x0 x0 Poznámky: Okolí U(b) můžeme zvolit libovolně malé, změní se tím jen to, že x0 bude o něco větší. Zjištěním x0 jsme určili okolí nevlastního bodu.

4. BRVKA limita funkce ve vlastním bodě y • Zkoumáme, jak se daná funkce f(x) chová v okolí vlastního bodu a. U(b) limita b x a P(a) • Všechny funkční hodnoty čísel z okolí bodu a se nacházejí v okolí bodu b. Značení: • Poznámka: Funkční hodnota bodu a nás vůbec nezajímá, nemusí být ani definována nebo může být jakákoliv, zajímá nás okolí.

5. BRVKA Definice limity funkce • Definice: Řekneme, že funkce f(x) definovaná v prstencovém okolí bodu a má v bodě a limitu b, pokud ke každému okolí U bodu b existuje prstencové okolí P bodu a tak, že y U(b) limita b x a P(a) • Jestliže má P(a) existovat pro každé okolí U(b), můžeme volit libovolné menší (užší) okolí. Prstencové okolí P(a) se pouze zúží, ale bude existovat.

6. BRVKA limitA funkce zleva a zprava • Definice: Řekneme, že funkce f(x) definovaná v levém (resp. pravém) prstencovém okolí bodu a má v bodě a jednostrannou limitu b zleva (resp. zprava), pokud ke každému okolí U bodu b existuje levé (resp. pravé) prstencové okolí P bodu a tak, že y U(b) Limita b zleva x a PL(a) • Pro limitu zprava je to analogické. Značení:

7. BRVKA Existence limity • Limita funkce f(x) ve vlastním bodě existuje právě tehdy, když v tomto bodě existují obě jednostranné limity a jsou stejné. Pak se jim rovná i limita funkce. y U(b) limita zleva limita zprava x a PL(a) PP(a)

8. BRVKA Nevlastní limita ve vlastním bodě • Funkce f(x) může mít ve vlastním bodě a nevlastní limitu, funkční hodnoty f(x) rostou (v absolutní hodnotě) nade všechny meze. U(+∞) y x a PL(a)

9. BRVKA výpočet limit • Limity v nevlastních bodech určujeme stejně jako u posloupností • Limity ve vlastních bodech určujeme: • Dosazením, pokud to lze, tj. pokud nezískáme neurčitý výraz • Vhodnou úpravou a poté dosazením: • Vyhodnocením výrazu úvahou: Úvaha: „dělíme něčím, co je velmi malé, takže nám vyjde něco hodně velkého, a to kladného velkého, zřejmě + ∞. • Vzorcem – viz dále. • Pomocí l´Hospitalova pravidla – až budeme umět derivace

10. BRVKA výpočet limit • Pokud můžeme funkci zapsat pomocí dvou jiných f a g, platí podobné vztahy jako u limit plstí • Vzorcem, upravíme funkci na tvar, který obsahuje limitu ze vzorce a dosadíme:

11. BRVKA Limita funkce - příklady • Předchozí metody se často kombinují, např. provedeme úpravu a vyjde limita, kterou vyřešíme vzorcem či úvahou.

12. BRVKA Spojitost funkce • Grafy některých funkcí jsou „přetržené“, nenavazují, např. • Naopak grafy jiných funkcí lze „kreslit jedním tahem“. • Takové funkce označujeme jako SPOJITÉ. • Věta o souvislosti limity a spojitosti: • Funkce f(x) definovaná v bodě a je v tomto bodě spojitá, pokud • Typy nespojitosti: • Chybějící bod, lze vhodně dodefinovat. • Asymptota • Skokově nespojitá funkce

13. BRVKA A to je pro dnešek vše, děkuji za pozornost.