MATEMATIKA 03

1. MATEMATIKA 03 Mgr. Marie Mikolášová

2. Určování význačných vlastností funkce • Monotónnost funkce • Lokální extrémy funkce • Konvexnost a konkávnost funkce • Inflexní bod • Asymptoty funkce

3. Monotónnost a 1. derivace • Nechť funkce f(x) je spojitá na (a,b) • Funkce f(x) je rostoucí na (a,b) právě tehdy když f´(x)>0 pro všechna • Funkce f(x) je klesající na (a,b) právě tehdy když f´(x)< 0 pro všechna

4. Lokální extrémy • Funkce f(x) má v bodě lokální minimum bodu x0, že • Funkce f(x) má v bodě lokální maximum bodux0, že

5. Lokální extrémy a 1. derivace • Stacionární bod – bod x0, v němž f´(x0)=0. V něm může nebo nemusí nastat lokální extrém. • Lokální minimum (maximum) v bodě x0 • f´(x0)=0 • Funkce f(x) je v bodě x0 spojitá • V levém okolí bodu x0 je f´(x)<0 (f´(x) >0),v pravém okolí bodu x0 je f´(x) >0 (f´(x)<0)

6. Monotónnost a derivace, lokální extrémy – příklad 1

7. Monotónnost a derivace – příklad 2

8. Lokální extrémy a 2. derivace • Nechť f´(x0)=0 • Nechť existuje v bodě x0 druhá derivace f´´(x0) • Je-li f´´(x0) >0, pak má funkce v bodě x0 lokální minimum • Je-li f´´(x0) < 0, pak má funkce v bodě x0 lokální maximum

9. Lokální extrémy a druhá derivace – příklad 2

10. Konvexnost a konkávnost funkce v bodě • Funkce f má derivaci v bodě x0derivaci • Funkce je v okolí bodu x0 konvexní,jestliže existuje takové okolí bodu x0, že pro všechna x≠ x0 leží body grafu funkce „nad tečnou“ sestrojenou v bodě x0 • Funkce je v okolí bodu x0 konkávní,jestliže existuje takové okolí bodu x0, že pro všechna x≠ x0 leží body grafu funkce „pod tečnou“ sestrojenou v bodě x0

11. Konvexnost a konkávnost funkce v intervalu I • Funkce je konvexní v intervalu I, jestliže je konvexní v každém bodě tohoto intervalu • Funkce je konkávní v intervalu I, jestliže je konkávní v každém bodě tohoto intervalu

12. Konvexnost a konkávnost funkce a 2. derivace • Je-li f´´(x0) >0, pak je funkce v bodě x0konvexní • Je-li f´´(x0) <0, pak je funkce v bodě x0konkávní • Je-li f´´(x) >0 v každém bodě intervalu I, pak je funkce f v intervalu I konvexní • Je-li f´´(x) <0 v každém bodě intervalu I, pak je funkce f v intervalu I konkávní

13. Inflexní bod funkce f • Nechť funkce f má v bodě x0 derivaci • Graf funkce f v tomto bodě přechází z polohy „nad tečnou“ do polohy „pod tečnou“ • Je-li x0 inflexním bodem a má-li funkce v tomto bodě 2. derivaci, pak f´´(x0)=0

14. Inflexní bod funkce • Nechť funkce f má 2. derivaci v každém okolí bodu x0 • Nechť druhá derivace funkce má v levém a pravém okolí bodu x0 různá znaménka • Pak bod x0 je inflexním bodem funkce f

15. Konvexnost, konkávnost funkce

16. Asymptoty grafu funkce f • Asymptoty bez směrnice • Rovnoběžky s osou y; x=a • Bod • Funkce f má v bodě a aspoň jednu jednostrannou nevlastní limitu • Asymptoty se směrnicí

17. Asymptota se směrnicí • Přímka o rovnici y = ax + b

18. Průběh funkce • Definiční obor; funkce sudá, lichá, periodická • Jednostranné limity v bodech, v nichž funkce není definována • Limity v nevlastních bodech • Průsečíky s osami x a y • Výpočet 1. derivace, nulové body první derivace, body, v nichž 1. derivace není definována

19. Průběh funkce • Lokální extrémy, intervaly monotónnosti • Výpočet 2. derivace, nulové body 2. derivace a body, v nichž není def. • Intervaly konvexnosti, konkávnosti, inflexní body • Asymptoty svislé, šikmé • Graf funkce

20. Průběh funkce – příklad 1

21. Průběh funkce – příklad 2

22. Obsah rovinného útvaru • Obsah útvaru omezeného • osou x, přímkami x=a, x=b • grafem spojité nezáporné funkce v uzavřeném intervalu <a,b>

23. Obsah rovinného útvaru • Obsah útvaru omezeného • osou x, přímkami x=a, x=b • grafem spojité nekladné funkce v uzavřeném intervalu <a,b> • S =

24. Obsah rovinného útvaru • Obsah útvaru omezeného • Křivkami y = f(x), y = g(x), f(x)≤g(x) • Pro všechna

25. Užití určitého integrálu k výpočtu obsahu ploch Vypočtěte obsah plochy vymezené grafem funkce: y=x2 , osou x a přímkou x=2

26. Výpočet obsahu rovinného útvaru – užití určitého integrálu Vypočtěte obsah rovinného útvaru vymezeného grafem funkce f; y= sin x a osou x

27. Výpočet obsahu rovinného útvaru – určitý integrál Vypočtěte obsah rovinného útvaru vymezeného grafem funkce f; y = - x2 a osou x

28. Výpočet obsahu rovinného útvaru – určitý integrál Vypočtěte obsah rovinného útvaru vymezeného grafem funkce f; y = x2 – 2x a osou x

29. Obsah rovinného útvaru ohraničeného grafy 2 funkcí Vypočtěte obsah plochy ohraničené grafy dvou funkcí f; y = x2 – 2x a g; y = 4x – x2

30. Obsah rovinného útvaru ohraničeného grafy 2 funkcí Vypočtěte obsah plochy ohraničené grafy dvou funkcí f; y = x2 + 3 a g;y = 2x2 + 3