1 / 50

Distribusi Variabel Acak

Distribusi Variabel Acak. ( Diskrit ). Hubungan Beberapa Distribusi. Diskrit. Distribusi Peluang Diskrit. Distribusi Bernoulli Distribusi Binomial Distribusi Poisson Distribusi Geometrik Distribusi Binomial Negatif (Pascal) Distribusi Hipergeometrik. Distribusi Bernoulli. Definisi :.

lottie
Télécharger la présentation

Distribusi Variabel Acak

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Distribusi Variabel Acak ( Diskrit )

  2. Hubungan Beberapa Distribusi Diskrit

  3. Distribusi Peluang Diskrit • Distribusi Bernoulli • Distribusi Binomial • Distribusi Poisson • Distribusi Geometrik • Distribusi Binomial Negatif (Pascal) • Distribusi Hipergeometrik

  4. Distribusi Bernoulli • Definisi : Variabel acak X dikatakan berdistribusi Bernoulli dengan parameter p, dan ditulis dalam bentuk : X ~ BIN (1, p) Probability mass function (pmf) untuk distribusi Bernoulli berdasarkan tabel di atas adalah

  5. Distribusi Bernoulli • Karakteristik distribusi Bernoulli : Notasi : X ~ BIN (1, p) Rata-rata : µ = p Varians : σ2 = p (1 – p)

  6. Distribusi Bernoulli Contoh : Sebuahdadudiundi. Jikadiketahuimunculnyaangka 2 atau 4 dikatakansukses, tentukanfungsipeluang, rata-rata, danvarians-nya. Penyelesaian : p = P(sukses) = P(muncul angka 2 atau 4) = 2/6 = 1/3 Rata-rata : µ = p = 1/3 Varians : σ2 = p (1 – p) = 1/3 (2/3) = 2/9

  7. Contoh: Jikadalamsuatupermainansebuahdadu, kejadiandadubernilai 4 atau 6 disebutsukses, dankejadianlainnyadisebutgagal, tentukan: 1. Fungsipeluangnya a. Rata-rata danvariansnya b. c. FPM

  8. Jawab: Peristiwasuksesjikadadubernilai 4 atau 6 Peristiwagagaljikadadubernilai 1,2,3,5 Peluangsukses = Peluanggagal =

  9. a. b. c.

  10. 2. Jikafungsipembangkit moment suatuvariabelacakadalah: Tentukansimpangannya Jawab: Simpangan:

  11. Undian Bernoulli (Bernoulli Trial) n kali trial hingga sukses pertama kali Distribusi Geometrik Trial jml sukses dalam n kali trial Distribusi Binomial

  12. Distribusi Binomial • Distribusi Binomial merupakan proses Bernoulli yang dilakukan sebanyak n kali • Misal Xi~ BIN (1, p), dan X1, X2, … , Xn saling bebas, maka Xi~ BIN (n, p) dimana

  13. Distribusi Binomial • Karakteristik distribusi Binomial : Notasi : X ~ BIN (n, p) µ = ? σ2 = ?

  14. Distribusi Binomial

  15. Distribusi Binomial • Contoh : Padaperusahaan A, 20 persenkaryawannyadikategorikansebagaipekerja yang baik. Jikadipilih 15 karyawansecaraacak, berapakahpeluang : • 4 orangkaryawanberkategoribaik • Paling sedikit 2 orangberkategoribaik • Tidaklebihdari 1 orangberkategoribaik

  16. Distribusi Binomial • Jawab : Diketahui : n = 15 ; p = 0.2  1 – p = 0.8 • 4 orang karyawan berkategori baik  x = 4 • Paling sedikit 2 orang berkategori baik  x > 2

  17. Distribusi Binomial c. Tidak lebih dari 1 orang berkategori baik  x < 1 P( x < 1) = P(x = 0) + P(x=1) = 0.035 + 0.132 = 0.167

  18. Contoh: BilatentukanP(0<X<2) ~ 1.

  19. 2. Jikatentukan a. Rata-rata danvariansnya b. ~ dan 3. ~ tentukan

  20. jika 0.74 0.41 0.017 0.007 Jadi minimal rata-ratanyacoklat yang adadibiskuitadalah 7.

  21. Distribusi Binomial Negatif / Pascal Padapercobaan Binomial, yang dicariadalahpeluangsejumlahsuksesataugagaldarin kali ulangan (misalkanpeluang paling sedikitterjadisukses 3 kali darinulangan, dll). Jikaingindiketahuipeluangsukses yang ke-kdarin kali percobaan, makapercobaantersebutadalahpercobaanbinomial negatif.

  22. Distribusi Binomial Negatif / Pascal • Distribusi Binomial Negatifadalahpengamatanterhadappercobaan Bernoulli untukmengamatik“sukses” dengan P(sukses) = p • Notasi : X ~ PAS( p,k)

  23. Contoh: Misalkanpadapercobaanpelemparanmatauang 4x, makaperistiwa yang mungkinterjadiadalahsebanyak 16 (ruangsampel = ). Ingindiketahui: peluangmunculnyasisimuka (M) yang kedua kali terjadipadalemparanke -4

  24. Ilustrasi : Lemparan 1: TigalemparanpertamaharusmenghasilkansatuM, dimanasaja satuMharusterjadidarisisalemparan (4-1) Lemparan 2: Lemparan 3: Lemparan 4: Lemparanke 4 sudahpastiM (yang terjadike 2 kalinya) M

  25. Ruangsampel: VariabelacakXmenyatakanbanyaknyaulangan yang berakhirtepatpadasukses yang ke-k, jikaX=4dank=2makakejadiannya : {MBBM,BMBM,BBMM}

  26. Peristiwa:

  27. Distribusi Binomial Negatif / Pascal Contoh : Ani dan Santi bermain “ular tangga” berulang kali hingga salah satu diantara mereka menang 5 kali. Misal permainan mereka saling bebas dan peluang Santi memenangkan sebuah permainan adalah 0.58. Berapa peluang bahwa permainan dihentikan setelah pengulangan ke-7 ?

  28. Distribusi Binomial Negatif / Pascal Jawab : Misal X adalah jumlah pengulangan permainan hingga Santi menang 5 kali, dan Y adalah jumlah pengulangan permainan hingga Ani menang 5 kali. Maka X dan Y ~ PAS (5, 0.58) Peluang bahwa permainan dihentikan setelah pengulangan ke-7 adalah Berapa peluang Santi menang ? Misal A = Santi menang

  29. Trial Geometrik:Cobaterussampaiberhasil!! p = 3/4 q = 1 - p = 1/4 1x s f(1)= 3/4 2x g s f(2)= 1/4 x 3/4 = 3/16 3x g s f(3)= 1/4 x 1/4 x 3/4 = 3/64 4x g s f(4)= 1/4 x 1/4 x 1/4 x 3/4 = 3/256 Probabilitaskumulatif s/d 4x =255/256 = 0.9961

  30. Distribusi Geometrik • Variabel random Xberdistribusigeometrikdengan parameterpapabilafungsi peluangnya f(x) = (1- p)x-1p untuk 0<p<1 dan x=1,2,3,4,…… dan(1- p)x-1p = 1  x=1

  31. Distribusi Geometrik • DistribusiGeometrikberasaldaridistribusi Binomial denganpenekananpadapengamatankejadian “sukses” pertama • Notasi : X ~ GEO( p ) x = 1,2, …

  32. Distribusi Geometrik Contoh : 1 set kartu (52 buah) dikocok, satu kartu diambil secara acak dengan pengembalian, pengambilan kartu dianggap sukses jika diperoleh kartu “As”. Berapa peluang bahwa kartu “As” baru didapat setelah pengambilan kartu ke-10? Jawab : Misal X jumlah pengocokkan sampai diperoleh “As” pertama, maka X ~ GEO (1/13)

  33. Distribusi Geometrik maka peluang bahwa kartu “As” baru didapat setelah pengambilan kartu ke-10 adalah

  34. Distribusi Hypergeometrik • Misalkandalamsuatupopulasi yang berukuranNterdapatN1 item cacatdanN2 item tidakcacat. Sebuahsampeldiambildenganukuransampeln, ternyataxdiantaranyamerupakan item cacat, makapeluangcacatpadasampelakanberdistribusiHypergeometrik ( X ~ HYP( n, N1, N2 )) denganfungsipeluang :

  35. Distribusi Hypergeometrik

  36. Distribusi Hypergeometric • Contoh • Terdapat 20 bola dalam sebuah kotak.12 hitam dan 8 putih. • 5 bola diambil acak tanpa pengembalian. • Xadalah jumlah bola hitam yang terambil dalam sampel

  37. Distribusi Hypergeometric • Berapa peluang X? N = 20, N1= 12 (bola hitam), n = 5 (sampel) P[X=0] = C(12,0)C(8,5)/C(20,5) = 0.0036 P[X=1] = C(12,1)C(8,4)/C(20,5) = 0.0542 P[X=2] = C(12,2)C(8,3)/C(20,5) = 0.2384 P[X=3] = C(12,3)C(8,2)/C(20,5) = 0.3973 P[X=4] = C(12,4)C(8,1)/C(20,5) = 0.2554 P[X=5] = C(12,5)C(8,0)/C(20,5) = 0.0511

  38. SOAL Suatu kotak mengandung 7 komponen yang terdiri dari 4 komponen merek A dan 3 komponen merek B. Jika 3 komponen diambil secara random dari kotak, berapa probabilitas bahwa tepat terdapat 2 komponen merek A yang terambil?

  39. Distribusi Poisson Distribusi Poisson dapatdibentukdaripendekatandistribusi binomial . Jikapercobaan binomial dilakukansampaimendekatitakhingga kali ( ), danpeluangsuksessangatkecil( ), makadistribusi binomial akanmendekati distribusi Poisson dengan parameter

  40. Distribusi Poisson • KonsepdasarDistribusi Poisson berawaldaridistribusi Binomial, olehkarenaitudistribusi Poisson disebutsebagaipendekatan/hampirandaridistribusi Binomial Jika X ~ BIN (n, p) , n ∞ ; np = λ  X ~ POI (λ) µ = ? σ2 = ?

  41. Distribusi Poisson Deret MacLaurin :

  42. Distribusi Poisson Contoh : Dalam tabel aktuaria perusahaan asuransi “T” ditentukan bahwa peluang seorang pria berumur 25 tahun akan meninggal tahun depan adalah 0.0002. Jika perusahaan asuransi “T” tahun ini menjual 4000 polis terhadap pria berumur 25 tahun, berapa peluang mereka akan membayar tepat 1 polis? Jawab : λ = 4000 (0.0002) = 0.8

  43. Contoh 1. MisalkanXadalahvariabelacakberdistribusi Poisson dengan parameter λ. JikaP(X=0)=0.2, makatentukanP(X=2). Jawab:

  44. Contoh 2. MisalkandalampembuatanbiskuitGoodtime, jumlahcoklat yang jatuhpadabiskuitmengikutidistribusi Poisson. Konsumenmenginginkan agar peluangsedikitnyaduacoklatadapadabiskuitinilebihbesardariatausamadengan 0.99. Tentukanberapanilaiterkeciluntuk rata-rata coklat yang adasetiapbiskuitGoodtimeini.

  45. Jawab: MisalkanvariabelacakXadalahjumlahcoklat yang adapadabiskuit, maka:

  46. Tabel Jumlahpeluang Poisson

More Related