SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES

1. SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís

2. ÍNDICE • Inecuaciones lineales de dos incógnitas ............................ • Sistemas de inecuaciones lineales ...................................... • Problemas textuales • de sistemas de inecuaciones (1º bachillerato) ........... • de programación lineal (2º bachillerato) ..................

3. 1 / 4 La solución de una inecuación de dos incógnitas es un semiplano. Los pasos a seguir para resolverla son: 1er paso: representar la recta (cambiamos el símbolo por un igual) 2º paso: elegir un punto del plano (que no esté en la recta anterior) y estudiar cómo responde a la inecuación. 3er paso: colorear el semiplano solución. 

4. 2 / 4 Resuelve la inecuación: Represento la recta: Despejo la variable y: Tabla de valores: Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está es la solución. 

5. 3 / 4 Algunas inecuaciones son sencillas: Si la inecuación tiene una sola variable, la recta es paralela a alguno de los ejes. d b Asocia cada inecuación con su solución c e a 

6. 4 / 4 Resuelve las inecuaciones: Asocia cada inecuación con su solución d c b a 

7. 1 / 5 La solución de un sistema de inecuaciones de dos incógnitas es una región(si existe). Los pasos a seguir para resolverla son: 1er paso: representar la recta (cambiamos el símbolo por un igual) 2º paso: elegir un punto del plano (que no esté en la recta anterior) y estudiar cómo responde a la inecuación. 3er paso: colorear el semiplano solución. 

8. 2 / 5 Resuelve el sistema de inecuaciones: 1er paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación Represento la recta: Despejo la variable y: Tabla de valores: Elijo el punto (2,2), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (2,2) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN.

9. 3 / 5 Resuelve el sistema de inecuaciones: 1er paso: Tengo el semiplano solución de la primera inecuación 2º paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación Represento la recta: Despejo la variable y: Tabla de valores: Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (0,0) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN.

10. 4 / 5 Resuelve el sistema de inecuaciones: 1er paso: Tengo el semiplano solución de la primera inecuación 2º paso: Tengo el semiplano solución de la segunda inecuación 3er paso: Busco la intersección de los dos semiplanos anteriores 

11. 5 / 5 Resuelve los sistemas de inecuaciones: Asocia cada sistema con su solución d a c b 

12. 1 / 9 Problemas de texto con inecuaciones Los pasos a seguir para resolverlo son: 1er paso: plantear el sistema de inecuaciones. 2º paso: resolver el sistema dibujando la región solución. 3er paso: resolver el problema, dando la solución con una frase si es posible. 

13. Tarta Cantidad Azúcar (kg) Huevos (u.) Chocolate x 0’5x 5x Manzana y 1y 6y Disponible 9 60 2 / 9 Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azúcar y 5 huevos; para fabricar la de manzana necesitamos un kilo de azúcar y 6 huevos. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de azúcar, ¿qué cantidad de cada tipo de tarta se pueden elaborar? 1er paso:Organizamos los datos en una tabla y hallamos las inecuaciones 2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación Represento la recta: Tabla de valores: Despejo la variable y: Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.

14. 3 / 9 3er paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación Represento la recta: Tabla de valores: Despejo la variable y: Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN. 4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones

15. 4 / 9 5º paso: Busco la región solución del sistema como intersección de los semiplanos anteriores La solución del sistema y del problema está representado en esta región. Realmente, sólo valen los valores x e y no decimales (los puntos de intersección de las cuadrículas) 

16. Asocia cada problema con su solución 5 / 9 Resuelve los problemas: • Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas puede fabricar de cada tipo? • Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo puede elaborar? • Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. ¿Cuántas puede fabricar de cada tipo? • ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede utilizar? a b d c 

17. 6 / 9 Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas puede fabricar de cada tipo? Definimos las incógnitas: Planteamos las inecuaciones: Hallamos y representamos los semiplanos solución de cada inecuación, y la región solución del sistema: 

18. 7 / 9 Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo puede elaborar? Definimos las incógnitas: Planteamos las inecuaciones: Hallamos y representamos los semiplanos solución de cada inecuación, y la región solución del sistema: 

19. 8 / 9 Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. ¿Cuántas puede fabricar de cada tipo? Definimos las incógnitas: Planteamos las inecuaciones: Hallamos y representamos los semiplanos solución de cada inecuación, y la región solución del sistema: 

20. 9 / 9 ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede utilizar? Definimos las incógnitas: Planteamos las inecuaciones: Hallamos y representamos los semiplanos solución de cada inecuación, y la región solución del sistema: 

21. 1 / 6 Problemas de programación lineal Los pasos a seguir para resolverlo son: 1er paso: plantear el sistema de inecuaciones e identificar la función objetivo. 2º paso: resolver el sistema de inecuaciones dibujando la región solución. 3er paso: dibujar el vector de la función objetivo, y buscar el punto de la región solución que la optimiza. 4º paso: escribir la solución con una frase si es posible. 

22. Tarta Cantidad Azúcar (kg) Huevos (u.) Chocolate x 0’5x 5x Manzana y 1y 6y Disponible 9 60 2 / 6 Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azúcar y 5 huevos; para fabricar la de manzana necesitamos un kilo de azúcar y 6 huevos. La tarta de chocolate se vende a 12 € y la de manzana a 15 €. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de azúcar, ¿qué cantidad de cada tipo de tarta se debe elaborar para que la venta sea máxima? 1er paso:Organizamos los datos en una tabla y hallamos las inecuaciones La función objetivo es la que queremos optimizar. En este caso queremos que la venta sea la mayor posible:

23. 3 / 6 2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación Represento la recta: Tabla de valores: Despejo la variable y: Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN. 3er paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación Represento la recta: Tabla de valores: Despejo la variable y: Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.

24. 4 / 6 4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones 5º paso: Busco la región solución del sistema como intersección de los semiplanos anteriores La solución del problema está en esta región. Realmente, sólo valen los valores x e y no decimales (los puntos de intersección de las cuadrículas). 6º paso: Dibujo el vector de la función objetivo El vector de la función objetivo es: Se dibuja desde el origen (0,0) hasta el punto (-5,4).

25. 5 / 6 7º paso: Trazo paralelas al vector de la función objetivo, sobre la región factible, y observo cuál está más alejado. Los puntos (x,y) de cada recta paralela dan el mismo valor a la función objetivo. Con cada recta paralela cambia el valor de la función objetivo: paralelas hacia un lado aumentan la función objetivo, y hacia el otro lado la disminuyen. En los punto de la región factible más alejados están los valores óptimos: máximo y mínimo. Se observa que el punto (6,5) es el que maximiza la función objetivo. Recuerda que los valores decimales de x e y no tienen sentido en este problema. SOLUCIÓN: Si se elaboran 6 tartas de chocolatey 5 de manzana, las ventas son mayores y se obtienen 147 €. 

26. 6 / 6 Resuelve los problemas: • Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Los beneficios son de 180 € en la normal y de 240 en la de lujo. Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas debe fabricar de cada tipo para maximizar el beneficio? • Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Se vende a 1’19 € el tipo A y a 0’89 € el tipo B. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo se deben elaborar para maximizar la venta? • Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. La de paseo la vende a 120 € y la de montaña a 90 €. ¿Cuántas debe fabricar de cada tipo? • ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. El microbús se alquila a 250 € y el autobús a 375 €. ¿Cuántos vehículos de cada tipo debe utilizar? a) 20 neveras normales y 20 de lujo, que reportan de beneficio de 8.400 €. b) 20 bollos tipo A y 40 bollos tipo B, que reportan de beneficio de 59’40 €. c) 20 bicis de paseo y 30 de montaña, que reportan de beneficio de 5.100 €.  d) 2 microbuses y 4 autobuses, que reportan de beneficio de 2.000 €.