T A N G EN C I A S

1. TANGENCIAS Construcciones básicas 1

2. CONTENIDO 2.- Propiedades. • 1.- Posiciones relativas. 3.- Rectas tangentes a circunferencias. 4.- Circunferencias tangentes a circunferencias. 5.- Circunferencias tangentes a rectas. 6.- Circunferencias tangentes comunes a una circunferencia y a una recta. 7.- Enlaces. 8.- Aplicaciones 2

3. Concéntricas Exteriores r R-R1 r R+R1 r Secantes Exteriores Interiores O O O R1 R1 R R Secantes Tangentes exteriores Tangentes Tangentes interiores • POSICIONES RELATIVAS: 1.2.- Entre dos circunferencias 1.1.- Entre recta y circunferencia 3

4. T O B A T O2 O1 T Med. 90º Bisec. T R O t O V 2. PROPIEDADES • Una recta y una circunferencia, o dos circunferencias, son tangentes entre sí cuando tienen un solo punto en común, llamado punto de tangencia • Si una recta es tangente a una circunferencia, el radio en el punto de tangencia es perpendicular a la recta • Si dos circunferencias son tangentes, el punto de contacto se encuentra en la recta que une los centros. • El centro de cualquier circunferencia que pase por dos puntos está en la mediatriz del segmento que los une. • El centro de cualquier circunferencia tangente a dos rectas se encuentra en la bisectriz del ángulo que forman. 4

5. M T1 P T2 T1 90º O O 90º T2 a a R=T2 t1 T O t2 t2 t1 d t 3. RECTAS TANGENTES A CIRCUNFERENCIAS 3.2.- Rectas tangentes a la circunferencia paralelas a una dirección d 3.1.- Recta tangente a una circunferencia en un punto T . 1 2 3.4.- Trazado de la tangente a un arco de circunferencia en un punto T, si no conocemos el centro del arco. 3.3.- Rectas tangentes a la circunferencia desde un punto exterior P. 5

6. R1 T4 T1 A T2 O1 M T2 A M O1 T3 R1 R2 R1+R2 R2-R1 T3 T1 B R2 O2 O2 B 3.5.- Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias. 3.6.- Rectas tangentes interiores a dos circunferencias. T4 6

7. O1 T O2 O2 P R+Ro O1 T1 O1 O T O P R R (R-Ro)? R R R+Ro T2 O 4. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A CIRCUNFERENCIAS 4.1.- Circunferencias de radio R tangentes a una circunferencia de centro O, por un punto T de la misma. 4.3.- Circunferencias de radio R, tangentes a una circunferencia de centro O que pasan por un punto exterior P 4.2.- Circunferencia tangente a otra, en un punto T y que pasa por un punto exterior P 7

8. C O1 T1 T T T D O2 T2 T4 O1 R R T R-RD T3 R+RD C R-RC D R+RC O2 4.5.- Trazar las circunferencias de radio R tangentes interiores a dos circunferencias C y D 4.4.- Representar las circunferencias de radio R tangentes exteriores a dos circunferencias C y D 8

9. O1 T1 T4 R T2 T3 R-RD O2 R+Rc C D 4.6.- Dibujar las circunferencias de radio R tangentes a dos circunferencias, exterior a una e interior a otra . 9

10. T1 O2 O2 90º O1 T2 O1 T1 R R R R p Med. T2 O1 R r R R 90 P 90º T s q 5. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A RECTAS 5.2.- Circunferencias de radio R tangentes a una recta s y que pasan por un punto P. 5.1.- Circunferencias de radio R tangentes a una recta r, por un punto T de ella. 5.3.- Circunferencias de radio R tangentes a dos rectas p y q que se cortan 10

11. Med. O2 O1 T O r 2 s T2 T1 90º 3 1 T P r P 5.5.- Circunferencias tangentes a dos rectas r y s, conocido el punto T de tangencia en una de ellas 5.4.- Circunferencia que pasa por un punto P y es tangente a una recta r en un punto T de ella. 11

12. r T1 O1 2 O1 T1 T2 O2 T2 T O2 R + RO T4 T3 O O R RO Med 1-O 1 Med 2-O r 6. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES COMUNES A UNA CIRCUNFERENCIA Y A UNA RECTA 6.1.- Representar las circunferencias de radio R, tangentes comunes a la circunferencia O y a la recta r. 6.2.- Dibujar las circunferencias tangentes comunes a la circunferencia O y a la recta r, con un punto de tangencia T sobre la recta. R + RO (R – RO)? 12

13. O2 O1 2 Tangente T2 T1 M O T 3 1 r 6.3.- Trazar las circunferencias tangentes comunes a la circunferencia O y a la recta r, con un punto de tangencia T sobre la circunferencia 13

14. T O O B R r 90 R T R 90 r 90 s s 7. ENLACES 7.2.- Enlazar dos rectas secantes mediante un arco de radio R. 7.1.- Enlazar dos rectas paralelas mediante un arco de circunferencia A 14

15. T1 P 01 O O2 M R p Q T2 R q P 7.4.- Enlazar dos rectas paralelas p y q mediante dos arcos de igual radio, conociendo los puntos de tangencia P y Q. 7.3.- Enlazar dos rectas perpendiculares mediante un arco de circunferencia 15

16. A B E O3 0 T2 O1 O1 T1 O4 C R R+R1 O2 D R R1 t 7.6.- Enlazar varios puntos A, B, C,... no alineados, mediante arcos de circunferencia, conocido el radio R de uno de ellos. 7.5.- Enlazar una recta t y un arco de circunferencia de centro O y radio R, por medio de un arco de circunferencia de radio R1 16

17. 30 30 30 135-30 R135 120 60 120 8.- APLICACIONES • Dibujar a escala natural la figura, indicando los puntos de tangencia. o1 o2 17

18. Dibujar la figura a escala natural. Resolver geométricamente las tangencias y no borrar las construcciones auxiliares. 18

19. 40 8 12 24+8 12 24+12 20 40-8 70 50 • A partir de los datos que aparecen en la figura, dibujarla a escala natural. • Resolver geométricamente todas las tangencias y dejar indicadas todas las construcciones auxiliares. 19

20. 28 28 50-20 37+20 27 37+10 50 50-10 55 50 20 R37 27 10 20 55 • Dibujar a escala natural la figura. Resolver geométricamente las tangencias y no borrar las construcciones auxiliares. 20