Geometria nel primo ciclo: ricerche in didattica della matematica

1. Progetto di Formazione e Ricerca “Oggetti, Forme, Misure” Geometria nel primo ciclo: ricerche in didattica della matematica Samuele Antonini, Mirko Maracci Dipartimento di Matematica Università di Pavia Fermo, 28 febbraio 2014

2. Struttura del seminario • 3 parti: • Le ombre del sole • Visualizzazione in geometria: il caso dei poliedri • La geometria del piano attraverso un Ambiente di Geometria Dinamica

3. PARTE I Le ombre del sole Ricerca e sperimentazione hanno coinvolto, a partire dagli anni 70, decine di ricercatori (guidati da Paolo Boero, gruppo di ricerca dell’Università di Genova) e insegnanti (in particolare Ezio Scali e Rossella Garuti), migliaia di alunni provenienti dall’Italia, Spagna, Ungheria, Romania, Eritrea.

4. Ombre del Sole Caratteristiche salienti Insegnamento «contestualizzato» della matematica (dal «contesto» al lavoro sui concetti e sulle tecniche costruite, che da «strumenti risolutivi di problemi» diventano «oggetti di studio») Sviluppo integrato e coordinato di abilità in ambiti diversi (matematico, scientifico-tecnologico, linguistico) Centralità del compito dell’insegnante come «mediatore culturale» Collaborazione ricercatori-insegnanti Con «matematica» non si intende soltanto i contenuti matematici (il sapere) ma anche «le attività basate (in modo più o meno esplicito e consapevole a seconda di chi le svolge e delle circostanze in cui sono svolte) su elementi del sapere matematico: quindi, per noi la matematica comprende non solo i concetti e gli algoritmi matematici, ma anche le attività di matematizzazione, di problem solving, di produzione e di dimostrazione di congetture, ecc. da chiunque effettuate.» (Boero et al., 1995)

5. Ombre del Sole Caratteristiche salienti Ruolo del contesto: motivare, costruire e applicare conoscenze matematiche Insegnamento «contestualizzato» della matematica (dal «contesto» al lavoro sui concetti e sulle tecniche costruite, che da «strumenti risolutivi di problemi» diventano «oggetti di studio») Attuare processi di modellizzazione (descrizione, spiegazione, previsione di fenomeni con strumenti matematici) Sviluppo integrato e coordinato di abilità in ambiti diversi (matematico, scientifico-tecnologico, linguistico) Lavoro prolungato e continuo. Il contesto non è occasionale né limitato nel tempo Centralità del compito dell’insegnante come «mediatore culturale» Collaborazione ricercatori-insegnanti Con «matematica» non si intende soltanto i contenuti matematici (il sapere) ma anche «le attività basate (in modo più o meno esplicito e consapevole a seconda di chi le svolge e delle circostanze in cui sono svolte) su elementi del sapere matematico: quindi, per noi la matematica comprende non solo i concetti e gli algoritmi matematici, ma anche le attività di matematizzazione, di problem solving, di produzione e di dimostrazione di congetture, ecc. da chiunque effettuate.» (Boero et al., 1995)

6. Quanto a […] (rapporto tra la matematica come strumento per agire nei contesti reali extrascolastici e la matematica come scienza autonoma), riteniamo che ci sia continuità tra talune abilità e taluni concetti che possono essere costruiti nel lavoro nei contesti reali e utilizzati nel lavoro interno alla matematica ma che ci siano anche rotture tra il pensare comune e il pensare con la matematica, e tra il pensare comune e il pensare in matematica. Pensiamo che di tutto ciò ("continuità" e "rotture") debba farsi carico l'insegnamento della matematica. (Boero et. al. 1995)

7. Contesti - contesti reali che nella vita extrascolastica si presentano oggi già fortemente matematizzati (come il contesto delle misure di lunghezza, di tempo e di peso, o il contesto degli scambi economici e dell'uso del denaro) (Boero et al., 1995) il lavoro dell'insegnante può appoggiarsi all'esperienza extrascolastica per sviluppare concetti e procedure matematiche e per costruire livelli più alti di consapevolezza e di esplicitazione circa gli strumenti e i processi matematici coinvolti - contesti reali per i quali l'attività di modellizzazione matematica svolta in classe può entrare in conflitto con rappresentazioni mentali e concezioni radicate nel senso comune, o comunque non può basarsi su sufficienti livelli di matematizzazione già presenti nella cultura extrascolastica. (Boero et al., 1995) mentre nel secondo caso ciò non accade e anzi occorre che a volte l'insegnante operi contro concezioni contrastanti con la modellizzazione matematica. (Boero et al., 1995)

8. Attività base per l’approccio alla geometria: «rappresentazione dello spazio fisico» Rappresentare verbalmente, con un lessico via via più preciso, posizioni, relazioni e situazioni dello spazio fisico Rappresentazione verbale Rappresentazione grafica Rappresentare sul foglio bidimensionale oggetti e situazioni dello spazio fisico tridimensionale Figure geometriche, relazioni e proprietà oggetto di studio della geometria entrano in gioco nella rappresentazione dello spazio fisico Rappresentazione dello spazio e geometria Interpretazione scientifica dei fenomeni naturali

9. Fenomeno: ombre del sole Attività: osservazione, descrizione (grafica e verbale), misurazione, previsione sul fenomeno ombre del sole Rappresentazioni spontanee degli alunni

10. Fenomeno: ombre del sole Attività: osservazione, descrizione (grafica e verbale), misurazione, previsione sul fenomeno ombre del sole Progettazione. In particolare la scoperta che l’angolazione, oltre alla lunghezza, del chiodo influiscono sulla lunghezza dell’ombra. Scelta del chiodo «dritto». Come verificare che è «dritto»? Strumento per l’osservazione: tavoletta con un chiodo (di diverse lunghezze) piantato perpendicolarmente. Un foglio di carta viene di volta in volta fissato per le rilevazioni. Osservazione e misurazione in diverse ore del giorno («ventaglio delle ombre»), periodi dell’anno, posizioni della tavoletta.

11. Problema: riduzione in scala Proporzionalità Concetto di angolo Osservazione e misurazione in diverse ore del giorno («ventaglio delle ombre»), periodi dell’anno, posizioni della tavoletta.

12. Studio delle relazioni tra «altezza del sole» e lunghezza dell’ombra, tra altezza degli oggetti e lunghezza della loro ombra Presenza di concezioni che possono guidare ma anche ostacolare la modellizzazione matematica del fenomeno Sembra che «un precoce o malaccorto intervento sulle concezioni e sui principi degli alunni possa minare le radici del loro pensiero e in particolare limitare lo sviluppo delle loro capacità di ideazione e di argomentazione.» (Boero et al., 1995) Messa in atto di situazioni per far emergere le concezioni Tipica concezione: "sole più alto, sole più forte- ombra più lunga"

13. Importanza dei sistemi di segni al fine di realizzare il passaggio ad una concezione scientifica dei fenomeni

14. Sviluppo di competenze linguistiche nella descrizione delle attività, nella formulazione di congetture, nella produzione (orale e scritta) di argomentazioni la mattina il sole è basso e le ombre sono lunghe La mattina le ombre sono lunghe perché il sole è basso (causale) Se il sole è basso le ombre sono lunghe (condizionale)

15. Ombre alla stessa ora in luoghi diversi

16. Controargomentazione all’enunciato: se cambia la posizione del sole nel disegno cambia anche la lunghezza dell’ombra La richiesta di produrre un disegno può essere utilizzata efficacemente per favorire la presa di coscienza del processo di modellizzazione che ha come obiettivo la costruzione di concetti geometrici (Mariotti, 2005, p. 91) Verso l’indipendenza dell’inclinazione dalla posizione del sole lungo il raggio MODELLO GEOMETRICO «mediatore» di un modo di pensare il fenomeno delle ombre focalizzato alla relazione tra inclinazione del raggio e lunghezza dell’ombra

17. Angolo, parallelismo Problema della (misurazione della) altezza del sole Verso l’indipendenza dell’inclinazione dalla posizione del sole lungo il raggio MODELLO GEOMETRICO «mediatore» di un modo di pensare il fenomeno delle ombre focalizzato alla relazione tra inclinazione del raggio e lunghezza dell’ombra

18. Enunciato Argomentazione (Dimostrazione)

19. Un esempio

20. Beatrice (III media) Formulazione della congettura Dimostrazione

21. Sara (III media) Formulazione della congettura Dimostrazione

22. Alcune conclusioni In presenza di […] dati di natura storica e di […] importanti indagini in campo epistemologico e cognitivo appare legittimo un insegnamento della geometria nella scuola elementare che apertamente ricorre ad oggetti concreti, a metafore fisiche, a relazioni di natura geometrica esperite con il corpo:

23. Alcune conclusioni non si tratta di un punto di partenza da abbandonare al più presto (appena i bambini dimostrano di saper ragionare in termini di «rette» e non di «raggi di luce»), ma di un «luogo», di un «ambiente di apprendimento» in cui i bambini esperiscono per anni le attività fondamentali della geometria (costruire concetti con una molteplicità di situazioni di riferimento che ne «fissano» il senso e ne garantiscono l’applicabilità, individuare relazioni geometriche, individuare possibili ragioni per cui una certa proprietà geometrica è vera).

24. Alcune conclusioni Il passaggio (a livello lessicale e anche in termini di «astrazione») a segmenti, rette, cerchi, angoli, ecc. deve essere favorito gradualmente dall’insegnante attraverso la mediazione dei termini tecnici della geometria e attraverso la molteplicità delle situazioni problematiche esperite in classe. (Boero, 1998/1999)

25. Dalle Indicazioni Nazionali SCUOLA DI INFANZIA Acquisire competenze significa giocare, muoversi, manipolare, curiosare, domandare, imparare a riflettere sull’esperienza attraverso l’esplorazione, l’osservazione e il confronto tra proprietà, quantità, caratteristiche, fatti: significa ascoltare, e comprendere, narrazioni e discorsi, raccontare e rievocare azioni ed esperienze e tradurle in tracce personali e condivise; essere in grado di descrivere, rappresentare e immaginare, «ripetere», con simulazioni e giochi di ruolo, situazioni ed eventi con linguaggi diversi. (p. 16)

26. La scuola del I ciclo. Ambiente di apprendimento. Principi metodologici Favorire l’esplorazione e la scoperta, al fine di promuovere il gusto per la ricerca di nuove conoscenze. In questa prospettiva, la problematizzazione svolge una funzione insostituibile: sollecita gli alunni a individuare problemi, a sollevare domande, a mettere in discussione le conoscenze già elaborate, a trovare appropriate piste d’indagine, a cercare soluzioni originali (p. 27) […]

27. Realizzare attività didattiche in forma di laboratorio, per favorire l’operatività e allo stesso tempo il dialogo e la riflessione su quello che si fa. Il laboratorio, se ben organizzato, è la modalità di lavoro che meglio incoraggia la ricerca e la progettualità, coinvolge gli alunni nel pensare, realizzare, valutare attività vissute in modo condiviso e partecipato con altri, e può essere attivata sia nei diversi spazi e occasioni interni alla scuola sia valorizzando il territorio come risorsa per l’apprendimento. (p. 27) Matematica In matematica, come nelle altre discipline scientifiche, è elemento fondamentale il laboratorio, inteso sia come luogo fisico sia come momento in cui l’alunno è attivo, formula le proprie ipotesi e ne controlla le conseguenze, progetta e sperimenta, discute e argomenta le proprie scelte, impara a raccogliere dati, negozia e costruisce significati, porta a conclusioni temporanee e a nuove aperture la costruzione delle conoscenze personali e collettive. […] (p. 49)

28. Le conoscenze matematiche contribuiscono alla formazione culturale delle persone e delle comunità, sviluppando le capacità di mettere in stretto rapporto il «pensare» e il «fare» e offrendo strumenti adatti a percepire, interpretare e collegare tra loro fenomeni naturali, concetti e artefatti costruiti dall’uomo, eventi quotidiani. In particolare, la matematica dà strumenti per la descrizione scientifica del mondo e per affrontare problemi utili nella vita quotidiana; contribuisce a sviluppare la capacità di comunicare e discutere, di argomentare in modo corretto, di comprendere i punti di vista e le argomentazioni degli altri. (p. 49)

29. Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione di problemi, che devono essere intesi come questioni autentiche e significative, legate alla vita quotidiana, e non solo esercizi a carattere ripetitivo o quesiti ai quali si risponde semplicemente ricordando una definizione o una regola. (p. 49)

30. Nella scuola secondaria di primo grado si svilupperà un’attività più propriamente di matematizzazione, formalizzazione, generalizzazione. L’alunno analizza le situazioni per tradurle in termini matematici, riconosce schemi ricorrenti, stabilisce analogie con modelli noti, sceglie le azioni da compiere […] e le concatena in modo efficace al fine di produrre una risoluzione del problema. Un’attenzione particolare andrà dedicata allo sviluppo della capacità di esporre e di discutere con i compagni le soluzioni e i procedimenti seguiti […] (p. 49)

31. Di estrema importanza è lo sviluppo di un’adeguata visione della matematica, non ridotta a un insieme di regole da memorizzare e applicare, ma riconosciuta e apprezzata come contesto per affrontare e porsi problemi significativi e per esplorare e percepire relazioni e struttura che si ritrovano e ricorrono in natura e nelle creazioni dell’uomo. (p. 49)

32. PARTE II Visualizzazione in geometria: il caso dei poliedri

33. Dalle indicazioni 2012: i traguardi • Riconosce e rappresenta forme del piano e dello spazio, relazioni e strutture che si trovano in natura o che sono state create dall’uomo. • Descrive, denomina e classifica figure in base a caratteristiche geometriche, ne determina misure, progetta e costruisce modelli concreti di vario tipo. • Riconosce e utilizza rappresentazioni diverse di oggetti matematici. • Riconosce e denomina le forme del piano e dello spazio, le loro rappresentazioni e ne coglie le relazioni tra gli elementi. • Riconosce e risolve problemi in contesti diversi valutando le informazioni e la loro coerenza • Produce argomentazioni in base alle conoscenze teoriche acquisite

34. Dalle indicazioni 2012: i traguardi Raggiungimento di questi traguardi • Riconosce e rappresenta forme del piano e dello spazio, relazioni e strutture che si trovano in natura o che sono state create dall’uomo. • Descrive, denomina e classifica figure in base a caratteristiche geometriche, ne determina misure, progetta e costruisce modelli concreti di vario tipo. • Riconosce e utilizza rappresentazioni diverse di oggetti matematici. • Riconosce e denomina le forme del piano e dello spazio, le loro rappresentazioni e ne coglie le relazioni tra gli elementi. • Riconosce e risolve problemi in contesti diversi valutando le informazioni e la loro coerenza • Produce argomentazioni in base alle conoscenze teoriche acquisite Cosa si intende per visualizzazione? È innata? È educabile? Sviluppo di abilità di visualizzazione geometrica

35. Cosa si intende per visualizzazione? • Da un punto di vista cognitivo, i concetti geometrici sono entità mentali che partecipano di una componente concettuale e di una componente figurale che deriva dal loro legame originale con la realtà, e caratterizza il loro essere concetti spaziali. Visualizzazione: Processo cognitivo di produzione ed elaborazione di rappresentazioni mentali di oggetti e relazioni geometriche caratterizzato dall'interazione tra componente figurale e componente concettuale.

36. Educare alla visualizzazione: spunti • Costruire una scatola chiusa usando i triangoli equilateri (usandone il minor numero possibile). • Disegnate il tetraedro come lo vedete • Contate quante facce, quanti spigoli, quanti vertici ha. Costruzione di un polidero (es. tetraedro). A piccoli gruppi. 6/7 (di più?) triangoli equilateri di cartoncino tutti uguali.

37. Costruire poliedri Supporto per una definizione di faccia, spigolo e vertice Costruire (a partire da un modello?) poliedri usando: • Diversi poligoni di cartoncino, • Geomag, • Stuzzicadenti e plastilina,cannucce ... Quali poliedri si possono costruire? Quali no? Es: un poliedro che ha come facce esagoni regolari?

38. Costruire poliedri Costruire poliedri usando: • … A piccoli gruppi. Cartoncini di diverse forme: triangoli equilateri e quadrati con i lati della stessa misura (o diversi elementi del geomag). Un bambino ha costruito un solido usando quadrati e triangoli equilateri, non si sa quanti, ma si sa che questa figura ha 5 facce, 5 vertici e 8 spigoli. Che solido può essere? Oppure Un bambino ha costruito un solido usando quadrati e triangoli equilateri, non si sa quanti, ma si sa che questa figura ha 5 facce. Che solido può essere? Cosa chiederesti al bambino per sapere quale solido ha costruito Costruzione di poliedri Analisi di poliedri

39. Contare gli elementi di un poliedro: facce, spigoli e vertici • Mancanza di organizzazione del conteggio. • La possibilità di manipolazione diretta fornisce una ricchezza di informazioni. • Ostacola l'intervento di un'organizzazione concettuale del processo mentale Con un modello concreto Senza un modello concreto Il processo di conteggio organizzato mentalmente. Organizzazione dell'immagine mentale in modo che aspetto figurale e aspetto concettuale interagiscono. Conteggio: Episodico? o Sistematico?

40. Contare gli elementi di un poliedro Contiamo facce spigoli e vertici di una piramide

41. Contare gli elementi di un poliedro Contiamo facce spigoli e vertici di una piramide

42. Contare gli elementi di un poliedro Contiamo facce spigoli e vertici di una piramide

43. Contare gli elementi di un poliedro Contiamo facce spigoli e vertici di una piramide Contiamo facce spigoli e vertici di un prisma

44. Contare gli elementi di un poliedro Contiamo facce spigoli e vertici di una piramide Contiamo facce spigoli e vertici di un prisma

45. Contare gli elementi di un poliedro Contiamo facce spigoli e vertici di una piramide Contiamo facce spigoli e vertici di un prisma N° Spigoli = N° Vertici + N° Facce - 2

46. Rappresentare un poliedro nel piano Riprendiamo l'esempio iniziale: Disegnare il tetraedro (o un cubo): • come lo si vede. • in modo “canonico”. • in modo da evidenziarne le proprietà geometriche. • Un altro tipo di rappresentazione piana: lo sviluppo. • Immaginate di togliere lo scotch da alcuni spigoli e di aprire il tetraedro lasciando ogni faccia unita ad una o più altre. Cosa ottenete? Immaginare o realizzare?

47. Lo sviluppo piano di un poliedro Disegna lo sviluppo di un polidero (tetraedro, cubo, prisma,...) Confronta lo sviluppo con un modello concreto del poliedro (senza aprirlo) Ne sapresti trovare altri?

48. Lo sviluppo piano di un poliedro Quali tra quelli dati è lo sviluppo di un cubo? Immagina di ricostruire un cubo a partire da un suo sviluppo dato (disegnato su un foglio), colora con colori uguali i lati che devono essere incollati insieme. Pierino vuole costruire un cubo. Ha già attaccato 5 quadratini e ha ottenuto questa figura. Dove deve attaccare il sesto quadratino?

49. Lo sviluppo piano di un poliedro Da uno studio di Mariotti (2005)

50. Lo sviluppo piano di un poliedro Da uno studio di Mariotti (2005)