Exploring Planar Graph Theory: Properties and Theorems

1. Aula 10 Grafos Planares

2. Planaridade GÁS LUZ ÁGUA • É possível levar gás, luz e água às três residências sem cruzamento de tubulações? • Grafo planar: um grafo G é planar se existir uma representação gráfica de G no plano sem cruzamento de arestas. K4 é planar?

3. Planaridade • Grafos de Kuratowski: K5 e K3,3 K5: grafo não planar com o menor número de vértices K3,3: grafo não planar com o menor número de arestas

4. Planaridade Propriedades em comum entre K5 e K3,3: 1. Ambos são regulares 2. Ambos são não planares 3. A remoção de uma aresta ou um vértice torna o grafo planar 4. K5 é o grafo não-planar com o menor número de vértices e o K3,3 com o menor número de arestas

5. Planaridade • TEOREMA: Qualquer grafo planar simples pode ter sua representação planar utilizando apenas linhas retas • Região (ou face): uma representação gráfica planar de um grafo divide o plano em regiões ou faces. Cada região é caracterizada pelas arestas que a contornam. • Região infinita: é a porção infinita do plano que não é contornada por arestas

6. Planaridade • TEOREMA (Fórmula de Euler): Seja G um grafo conexo planar com n vértices e e arestas. O número de faces do grafo é • COLORÁRIO: Em um grafo simples, conexo e planar com n vértices, e arestas e f faces, tem-se que: Condição necessária, mas não suficiente para um grafo ser planar

7. Homeomorfismo • Dizemos que um grafo H é homeomorfo a G se H puder ser obtido de G pela inserção de vértices de grau 2 em pontos intermediários de suas arestas

8. Detecção de Planaridade • Um grafo é planar sss nenhum de seus subgrafos puder ser contraído em K5 ou em K3,3 (WAGNER) • Exemplo: Grafo de Petersen pode ser contraído em K5. • Um grafo é planar sss nenhum de seus subgrafos for homeomorfo a K5 ou em K3,3 (KURATOWSKI) • Exemplo: Grafo de Peterson

9. Complemento vs. Planaridade • Seja G um grafo não dirigido com n vértices e C(G) o seu complemento. • Se n < 8, então G ou C(G) é planar • Se n > 8, então G ou C(G) é não planar • Se n = 8, nada pode ser dito • K4,4: Não-planar com Complemento Planar • K3,3 + {x,y}: Não-planar com Complemento Não-planar

10. Planar e Hamiltoniano • Todo grafo planar 4-conexo é hamiltoniano (Tutte) • Exemplo: icosaedro • Grafo Planar Maximal: todas as faces são triângulares • Triângulo separador: triângulo de arestas no grafo que não constitui uma face • Todo grafo planar maximal que não possui triângulo separador é hamiltoniano (Whitney)

11. Grafos Periplanares • Um grafo é periplanar (opg) se todos os seus vértices estiverem na fronteira de uma mesma face • Um grafo é um periplanar sss não possuir subgrafo homeomorfo a K4 ou a K2,3. • Todo gpp 2-conexo é hamiltoniano • MOP: todas as faces internas são triangulares: leque, serpentina, coroa • K(mop) = 2