- Präsentation in der Veranstaltung Finanzmathematik (MAF – E) -

1. Die Duration als Maß für die Zinsempfindlichkeit von Anleihen - Präsentation in der Veranstaltung Finanzmathematik (MAF – E) - Präsentation Finanzmathematik Alexander Pech (Matrikel-Nummer 278645) Essen, 14. Mai 2011

2. Einleitung • Finanzmathematischer Wert einer Anleihe • Duration und relative Veränderung einer Anleihe • Macaulay-Duration • Duration als Elastizitätswert • Übungsaufgabe Inhaltsverzeichnis Präsentation Finanzmathematik 1

3. Betrachtung: Risiko festverzinslicher Wertpapiere: • Bonitätsrisiko vernachlässigbar • Restrisiko: Zinsrisiko (Änderung des Kurses bei Marktzinsschwankungen) • Marktzinserhöhung  Kurs sinkt/ Endwert steigt • Marktzinserhöhung  Kurs steigt/ Endwert sinkt • Wie stark ändert sich der Kurs festverzinslicher Wertpapiere bei Änderung des Marktzinses?  Suche nach einer Laufzeit, die die Zinseffekte überkompensiert Einleitung Präsentation Finanzmathematik 2

4. Finanzmathematischer Wert einer Anleihe • Bei einer Anleihe mit feststehenden Kuponzahlungen Zk zu den Zeitpunkten tk ergibt sich im Zeitpunkt t0 der finanzmathematische Wert (Barwert) C0 • In der letzten Zahlung sei der RücknahmekursCn enthalten • C0erhällt man durch Abzinsung der künftigen Zahlungen • Unterscheidung zwischen stetiger und diskreter Verzinsung • Stetig: • Diskret: Präsentation Finanzmathematik 3

5. Die Änderung von C0 bei einer Änderung des Marktzinses i erhält man durch die erste Ableitung C‘0(i) bzw. das Differnzial dC0=C‘0(i) * di • zunächst: Anwendung der stetigen Verzinsung Duration und relative Veränderung einer Anleihe Daraus folgt die relative Veränderung in Abhängigkeit von der Zinsänderung di: Präsentation Finanzmathematik 4

6. Zwischenergebnis (bei Anwendung der stetigen Zinsformel): 1. Die Duration einer gegebenen Zahlungsreihe Z1, Z2,…Zn beim Marktzinsniveau i ist die Zahl D mit Duration und relative Veränderung einer Anleihe 2. Die resultierende relative Änderung von C0 ist gegeben durch: Präsentation Finanzmathematik 5

7. Umgekehrt lässt sich die Duration aus der Definition definieren als: Duration und relative Veränderung einer Anleihe Präsentation Finanzmathematik 6

8. Der eigentliche Bedeutung des Wortes Duration ist Länge/Laufzeit  Daher kann die Duration auch anders erklärt werden: Duration und relative Veränderung einer Anleihe • Der geklammerte Term ist der Barwertanteil der k‘ten Zahlung. • Jeder zukünftitige Zahlungszeitpunkt wird entsprechend des Barwertanteils der zugehörigen Zahlung gewichtet • Die Duration ist der gewogene Durchschnitt aller Laufzeiten • Durchschnittliche Bindungsdauer des eingesetzten Kapitals bis Ende der Laufzeit Präsentation Finanzmathematik 7

9. Beispiel: Duration und relative Veränderung einer Anleihe Präsentation Finanzmathematik 8

10. Beispiel: Der Marktzins steigt auf 8,1% (also di=0,001) Duration und relative Veränderung einer Anleihe  C0 sinkt um 0,41982% von 106,6156 € auf 106,1680 € Präsentation Finanzmathematik 9

11. Macaulay: Einführung des Durationsbegriffs unter Verwendung der diskreten Zinsformel: Macaulay-Duration Präsentation Finanzmathematik 10

12. Relative Änderung (ergibt sich wieder aus der ersten Ableitung): Macaulay-Duration Daraus folgt die relative Veränderung in Abhängigkeit von der Zinsänderung di bei diskreter Verzinsung: Präsentation Finanzmathematik 11

13. Relative Änderung von C0 im Vergleich: Bei stetiger Verzinsung: Bei diskreter Verzinsung: Der Term wird auch als „modifizierte Duration“ MD bezeichnet  Macaulay-Duration Präsentation Finanzmathematik 12

14. Beispiel: Macaulay-Duration Präsentation Finanzmathematik 13

15. Macaulay-Duration Beispiel: Der Marktzins steigt auf 8,1% (also di=0,001)  C0 sinkt um 0,38923% von 107,9854 € auf 107,5651 € Präsentation Finanzmathematik 14

16. Frage: Wie hoch ist die relative (prozentuale) Veränderung beider Variablen? • Durch den Elastizitätsbegriff lassen sich der Veränderungen beider Variablen erklären: • Unter der Elastizität des Anleihepreises C0 in Bezug auf den Marktzinsfaktor q (=1+i) versteht man den Quotienten der relativen Veränderungen der beiden Variablen C0 und q Duration als Elastizitätswert Präsentation Finanzmathematik 15

17. Duration als Elastizitätswert Die Macaulay-Duration beschreibt die prozentuale Änderung des Anleihewertes C0 bei Änderung des Zinsfaktors um ein Prozent Präsentation Finanzmathematik 16

18. Beispiel: Die Zunahme des Marktzinses auf 8,1% stellt eine Zunahme des Zinsfaktors q in Höhe von 0,092592% dar. Aus folgt: Duration als Elastizitätswert Präsentation Finanzmathematik 17

19. Stetiger/diskreter Marktzins = 5 % 15 15 15 15 150 Übungsaufgabe 1. Berechnen Sie den Preis des Wertpapiers zum Zeitpunkt t0 unter Verwendunga) der stetigen Zinsformel b) der diskreten Zinsformel 2. Berechnen Sie die Duration und die prozentuale Veränderung von C0, wenn der Marktzins auf 5,3 % steigt, unter Anwendung der stetigen Zinsformel der diskreten Zinsformel 3. Wie hoch ist die Elastizität? Präsentation Finanzmathematik 18

20. Übungsaufgabe (Lösung) Präsentation Finanzmathematik 19