TEMA 2 CARACTERIZACIÓN FRECUENCIAL DE SEÑALES Y SISTEMAS

1. TEMA 2 CARACTERIZACIÓN FRECUENCIAL DE SEÑALES Y SISTEMAS

2. Series de Fourier

3. jnt x(t) = Cn e   T/2 n = –   -jnt Cn= — x(t) e dt 1 -T/2 T Toda señal x(t) periódica, puede representarse mediante un desarrollo en series de exponenciales complejas:

4. DESARROLLO EN SERIES DE FOURIER • La serie converge hacia la señal en el sentido de que el error cuadrático medio integral tiende a cero al aumentar N.

5. x t 4,15ms 8,3ms xn t

6. x f [Hz] 440 1320 2200 Espectro

7. DESARROLLO EN SERIES DE FOURIER • Propiedades: • Líneas espectrales equiespaciadas. • C0 es el valor medio de la señal. • Si x(t) es real , entonces: C -n = C*n • Si x(t) es par => Cn es real; arg [Cn] = 0, ±π

8. DESARROLLO EN SERIES DE FOURIER • Si x(t) es impar => Cn es imaginario; arg[Cn] = ± π/2 • Para señales reales: • Teorema de Parseval:

9.   jn 0t p(t) = Cn e n = –  /2  1 -/2 T0 Ejemplo p(t) 1 t -/2 /2 -2T -T T 2T  -jn 0t Sinc(n/T0) Cn= — e dt = — T0

10. p(t) 1 t -/2 /2 -2T0 -T0 T0 2T0 Cn /T0 n -2 -1 1 2 -4T0/ -2T0/ 2T0/ 4T0/

11. p(t) 1 t -/2 /2 -2T -T T 2T Si se reduce el ancho de los pulsos de muestreo, el espectro se aplana. Cn /T n -2 -1 1 2 -4T/ -2T/ 2T/ 4T/

12. p(t) 1 t -/2 /2 -2T -T T 2T Cn /T n -2 -1 1 2 -4T/ -2T/ 2T/ 4T/

13. p(t) 1 t -/2 /2 -2T -T T 2T Cn /T n -2 -1 1 2 -2T/ 2T/

15. Transformada de Fourier

16. La mayoría de las señales no son periódicas, sino que varían en forma aleatoria. Este carácter aleatorio es en realidad lo que permite conferir mayor cantidad de información. Es posible extender el concepto de serie de Fourier al caso de señalesno periódicas.

17. Para ello consideremos una onda no periódica x(t), de la cual seleccionamos una porción de duración T

18. x t

19. x t

20. x t

21. x t

22. x Ahora procederemos a extender esa porción en forma periódica con período T t

23. x t

24. T 2 - — T 2 — x t

25. T 2 - — T 2 — x t

26. T 2 - — T 2 — x t Dado que esta nueva onda es periódica, puede obtenerse su espectro...

27. T 2 - — T 2 — x t

28. T 2 - — T 2 — x t Xn t 1/T

29. El espectro obtenido representa solamente a la pequeña porción de señal que hemos seleccionado.

30. Podemos intentar representar una porción más larga, es decir de duración T´ > T.

31. x t

32. x t

33. x t

34. x t

35. x t

36. T´ 2 - — T´ 2 — x t

37. T´ 2 - — T´ 2 — x t Xn T T´ t 1/T´

38. Observamos tres cosas: 1. El espectro se volvió más detallado 2. La frecuencia fundamental se redujo (f´ < f ). 3. La amplitud de las líneas espectrales en general se redujo

39. Si deseamos que el espectro represente a toda la señal, podríamos hacer tender T a infinito...

40. ... pero nos encontraremos con el inconveniente de que tanto la frecuencia fundamental como los coeficientes de Fourier tienden a 0.

41. En otras palabras, los “armónicos” se vuelven infinitamente próximos e infinitamente pequeños.

42. Se tiende, entonces, a un espectro continuo.

43. x f

44. x f Espectro continuo

45. TRANSFORMADA DE FOURIER Para señales x(t) de cuadrado integrable: • El dominio de la frecuencia se define por la Transformada de Fourier: Transformada inversa de Fourier:

46. TRANSFORMADA DE FOURIER • La Transformada de Fourier es un caso límite de las series de Fourier:

47. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER