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MATLAB and Linear Algebra ( Application of Matlab in Linear Algebra)

MATLAB and Linear Algebra ( Application of Matlab in Linear Algebra). 王正盛 WANG Zhengsheng wangzhengsheng@nuaa.edu.cn 025-52075617 （ O ） ; 13952091572 Department of Mathematics NUAA. 课程的性质、目的和任务.

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MATLAB and Linear Algebra ( Application of Matlab in Linear Algebra)

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  1. MATLAB and Linear Algebra(Application of Matlab in Linear Algebra) 王正盛 WANG Zhengsheng wangzhengsheng@nuaa.edu.cn 025-52075617（O）; 13952091572 Department of Mathematics NUAA Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  2. 课程的性质、目的和任务 • Matlab 是被广泛地应用在科学与工程计算领域里。它具有功能强大、使用简单等特点，内容包括：数值计算、符号计算、数据拟合、图形图像处理、系统模拟和仿真分析等功能。此外，用Matlab还可以进行动画设计、有限元分析等。 • 本课程的目的是使学生能够运用Matlab进行一般的工程计算，掌握Matlab的基本技术（基本运算、矩阵计算、符号运算、图形可视化技术和Matlab程序设计等），为将来从事工程技术方面的产品开发、科学研究、工程计算和管理打下一定的基础。 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  3. 教学基本要求 1.了解Matlab语言特点、熟悉Matlab视窗环境、掌握Matlab帮助功能的基本使用方法。 2.掌握Matlab中变量和函数的有关概念、以及矩阵和多项式的构造方法。掌握数组运算和矩阵运算，并能够使用常用的几种常用的函数进行简单问题的求解。 3.搞清符号变量和符号表达式的定义，并能用符号运算解决一般的微积分和方程求解问题。掌握Matlab程序设计的几种基本控制转移语句，学会使用简单M文件的编程。 4.掌握二维平面图形和三维立体图形的绘制方法，进行数据可视化处理 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  4. Outline of my Lectures 1、Introduciton to Matlab 2、Matlab数值运算 3、Matlab图形与可视化 4、Matlab符号运算 5、Matlab程序设计 6、Linear Algebra with MATLAB Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  5. Lecture1 Introduction to MATLAB I、Matlab简介 II、Matlab的工作环境 III、Matlab帮助系统 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  6. I Matlab简介 • MATLAB语言是一种广泛应用于工程计算及数值分析领域的新型高级语言，自1984年由美国 MathWorks 公司推向市场以来，历经十多年的发展与竞争，现已成为国际公认的最优秀的工程应用开发环境。MATLAB功能强大、简单易学、编程效率高，深受广大科技工作者的欢迎。 • 在欧美各高等院校，MATLAB已经成为线性代数、自动控制理论、数字信号处理、时间序列分析、动态系统仿真、图像处理等课程的基本教学工具，成为大学生、硕士生以及博士生必须掌握的基本技能。 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  7. I Matlab简介 1、MATLAB 的起源与发展 • MATLAB 是“ 矩阵实验室”（ MATrix LABoratory）的缩写，最初版本是由 Cleve Moler 博士用 FORTRAN 语言开发的矩阵分析软件。 • 80 年代初期，由 Cleve Moler 和 John Little采用 C 语言改写了 MATLAB 的内核。成立了 Mathworks 软件开发公司，并于1984 年将 MATLAB 正式推向市场。 • 1992 年初推出了应用于 Windows 操作系统的 MATLAB 4.x 版本。 • 1997 年推出 5.1 版本。 • 1998 年推出 5.2 版本。 • 1999 年推出 MATLAB 5.3 版本，MATLAB 5.3对应于 Release 11 。 • 2000 年又推出了更为简便易学的 MATLAB 6.0 版本，MATLAB 6.0 对应于 Release 12。 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  8. 2、MATLAB 的主要特点 • （1）数值计算和符号计算功能 • MATLAB 的基本单位为矩阵. • MATLAB的数值计算功能包括：矩阵运算、多项式和有理分式运算、数据统计分析、数值积分、优化处理等。符号计算将得到问题的解析解。 （2）.MATLAB语言 MATLAB除了命令行的交互式操作以外，还可以程序方式工作。使用MATLAB可以很容易地实现C或FORTRAN语言的几乎全部功能，包括Windows图形用户界面的设计。 （3）图形功能 • MATLAB提供了两个层次的图形命令：一种是对图形句柄进行的低级图形命令，另一种是建立在低级图形命令之上的高级图形命令。利用MATLAB的高级图形命令可以轻而易举地绘制二维、三维乃至四维图形，并可进行图形和坐标的标识、视角和光照设计、色彩精细控制等等。 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  9. （4 ）应用工具箱 基本部分和各种可选的工具箱。 基本部分中有数百个内部函数。 • 其工具箱分为两大类：功能性工具箱和学科性工具箱。功能性工具箱主要用来扩充其符号计算功能、可视建模仿真功能及文字处理功能等。学科性工具箱专业性比较强，如控制系统工具箱、信号处理工具箱、神经网络工具箱、最优化工具箱、金融工具箱等，用户可以直接利用这些工具箱进行相关领域的科学研究。 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  10. 3、MATLAB 的运行环境 • 硬件： 一般要求486以上的处理器、16MB以上内存、足够的的硬盘可用空间(随安装组件的多少而定)、CD-ROM驱动器、鼠标等。 • 下载: ftp.nuaa.edu.cn • 软件： Windows 9x ,2000,xp,NT … • Note that: Vista 需要安装高版本的MATLAB Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  11. II Matlab工作环境界面 1. MATLAB 的启动 桌面快捷方式启动 开始菜单方式启动 2. MATLAB和退出 Matlab菜单命令/关闭按钮 在Matlab命令窗口输入exit或quit Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  12. II Matlab工作环境界面 1、MATLAB菜单项 File（ 文件）菜单 Edit（ 编辑）菜单 View（ 视图）菜单 Window（ 窗口）菜单 Web（ 连网信息） Help（ 帮助）菜单 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  13. II Matlab工作环境界面 例 1-1 绘制函数 y=2sin(1+x)的图像，并计算当 x=0.5 时的函数值。 x=(1:0.1:10); %给出自变量 x 的定义域 y=2*sin(1+x); %写出函数形式 plot(x，y) %绘出函数图形 y=2*sin(1+0.5) %求当 x=0.5 时的 y 值，其后不加分号，直接在窗口中给出结果 y =1.9950 %输出 y 的计算结果 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  14. II Matlab工作环境界面 MATLAB 通用命令 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  15. III Matlab帮助系统 Matlab常用的窗口帮助命令 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  16. III Matlab帮助系统 help 命令 • 直接输入 help，MATLAB 将列出所有的帮助主题，每个帮助主题对应于 MATLAB搜索路径中的一个目录； • help 后加帮助主题，可获得指定帮助主题的帮助信息； • help 后加函数名； • help 后加命令名，将得到指定命令的用法； Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  17. 上机练习 （ 1）以两种方式打开 MATLAB 工作窗口，进入MATLAB 6.0 的工作环境，并尝试用不同的方式退出。 （ 2）尝试、熟悉 MATLAB 6.0 的各栏菜单以及各个工具栏的功能。 （ 3）重新启动 MATLAB 6.0，进入 MATLAB 工作窗口，用 who 命令查看当前工作空间内有无变量及其值。 （ 4）绘制函数y=cos(5x+2)/sin(3x+1) 的图像，并求解当 x=2 时的函数值。 （ 5）此时再次用 who 命令查看工作空间内的变量名及其值，与（ 3）比较，同时用whos 命令查看变量，比较与 who 命令的不同。 （ 6）熟练掌握 MATLAB 的通用命令。 （ 7）练习并熟练掌握 MATLAB 的帮助命令，学会利用 MATLAB的帮助信息。 （8）用 lookfor 命令查找函数 cos 的信息，并与 help 命令查找的结果相比较，注意采用两种命令之间的差别。 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  18. Lecture 2 MATLAB数值运算 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  19. Lecture 2 MATLAB数值运算 基本要求： (1) 了解Matlab的各种数据类型； (2) 掌握Matlab的运算符与操作符的含义和用法； (3) 掌握Matlab基本表达式并了解其常用函数； Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  20. Lecture 2 MATLAB数值运算 • 1、 Matlab数据类型 • 变量和常量 • 数字变量的格式 • 矩阵、向量 • 多项式 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  21. Lecture 2 MATLAB数值运算 a) 变量和常量 变量(包括函数)的命名规则：由英文字母、数字和下划线混合组成，不得包含空格和标点 ；第一个字符必须是英文字母，最多包括31个字符； 对字母的大小写敏感。 局部变量和全局变量 永久变量（常量） 只能在某一函数体内使用，而不能从其他函数和 Matlab工作空间访问的变量，就是局部变量。 在几个函数及M atlab函数中都能使用的变量就是全局变量。 （全局变量名应尽可能大写，并由global声明） Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  22. Lecture 2 MATLAB数值运算 Matlab永久变量 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  23. Lecture 2 MATLAB数值运算 • b) 数字变量 • Matlab内部的每一个数据元素都是用双精度数（double）来表示和存储的。 • 变量输出时用户可以用format命令设置或改变输出格式。 • 短格式(Short)：1.3333 0.0000 • 短格式e方式(Short e)：1.3333e+00 1.2345e-06 • 短格式g方式(Short g)：1.3333 0.0 • 长格式(Long)：1.33333333333333 0.00000123450000 • 长格式e方式(Long e)：1.33333333333333e+00 1.2345000000000e-06 • 长格式g方式(Long g)：1.33333333333333 0.0000012345 • 银行格式(Bank)：1.33 0.00 • 十六进制格式(Hex)：3ff555555555 3eb46231abfd71 • +格式(+)：++ • 有理数（Rational）：1/3 2469/2000000000 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  24. Lecture2 MATLAB数值运算 c) 矩阵、向量 Matlab是以矩阵为基本运算单元的，数组作为独立的计算单元实体是不存在的，它的建立、存储完全等同于矩阵，只是计算时在符号上做了不同的约定。 向量是组成矩阵的基本元素之一。可以把行向量看成1n 阶矩阵，把列向量看成n1阶矩阵。向量的基本运算采用数组运算法则。 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  25. Lecture2 MATLAB数值运算 d) 多项式 多项式是以向量的形式表达的。可以是列向量也可以是行向量。 >> p=[1,2,3] >> poly2sym(p) ans = x^2+2*x+3 >> m=[3;4;5] >> poly2sym(m) ans = 3*x^2+4*x+5 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  26. Lecture2 MATLAB数值运算 2、运算符与操作符 数学运算符 操作符 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  27. Lecture2 MATLAB数值运算 • 冒号“ ：” • 可以用来产生向量； • 用作矩阵的下标，部分地选择矩阵元素； • 进行行循环操作。 • 续号“ …” 表示一行未完，而在下一行继续； • 分号“ ；” • 在方括号中，表示矩阵中行的结尾； • 用在每行的结尾，则不显示该行运算的结果。 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  28. Lecture2 MATLAB数值运算 关于逻辑真假的规定： • 在所有的关系表达式和逻辑表达式中，输入的任何非 0 数都被看作是“ 逻辑真”，而只有 0 才被认为是“ 逻辑假”； • 所有关系表达式和逻辑表达式的计算结果是一个由 0 和 1 组成的“ 逻辑矩阵（ Logical Array）”。矩阵中的 1 表示“ 真”，0 表示“ 假”； Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  29. Lecture2 MATLAB数值运算 关系操作符 逻辑操作符 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  30. Lecture2 MATLAB数值运算 关系运算举例 >> NE=(A~=B) NE = 1 0 1 1 1 1 0 1 0 >> A0=(A>5) A0 = 0 0 1 1 0 0 0 0 1 >> B0=(B<=6) B0 = 1 1 1 0 0 1 1 1 0 >> A=[3,4,8;9,0,2;5,3,7] A = 3 4 8 9 0 2 5 3 7 >> B=[4,4,1;7,8,4;5,1,7] B = 4 4 1 7 8 4 5 1 7 >> E=(A>B) E = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  31. Lecture2 MATLAB数值运算 逻辑运算举例 >> A=[3,4,8;9,0,2;5,3,7] A = 3 4 8 9 0 2 5 3 7 >> B=[4,4,1;7,8,4;5,1,7] B = 4 4 1 7 8 4 5 1 7 >> AB=A&B AB = 1 1 1 1 0 1 1 1 1 >> A_B=A|B A_B = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 >> C=~A C = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 >> cc=(A>3)&(B<6) cc = 0 1 1 0 0 0 1 0 0 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  32. Lecture2 MATLAB数值运算 3、表达式及函数 Matlab采用的是表达式语言，用户输入的语句由 Matlab系统解释运行。用户可以在 Matlab的命令窗口中键入命令，也可以在编辑器内编写应用程序。 Matlab语句由表达式和变量组成，有两种最常见的语句形式： 表达式 变量＝表达式 >> t=6 t = 6 >> sin(5*t+6) ans = -0.9918 >> y=sin(5*t+6) y = -0.9918 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  33. Leture2 MATLAB数值运算 • 表达式由变量名、运算符、数字和函数名组成。 • 表达式将按常规的优先纽从左至右执行运算； • 优先级的规定是指数运算级别最高，乘除运算次之； • 括号可以改变运算顺序； • 书写表达式时，赋值符“＝”和运算符两侧允许有空格，以增加可读性。但在复数或符号表达式中要尽量避免空格，以防出错； • 表达式的末尾加 “；” 时，Matlab系统只把数值赋给变量， 不显示计算结果；不加“；”时， Matlab 系统将会在该条语句的下面直接显示运算结果。 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  34. Leture2 MATLAB数值运算 • Matlab 有十分丰富的函数资源，总共分为24类。 • 常用有一下几类： • 一般函数命令(GENERAL); • 操作符与操作(OPERATOR); • 数据类型和结构(DATETYPE); • 基本矩阵和矩阵操作（ELMAT); • 基本数学函数（ELFUN); • 二维图(PLOTXY); • 图形句柄(GENGRAPH); • 三维图(3DGRAPH); • 语言和程序设计(LANGUAGE); • 文件输入输出函数(IOFUN); • 符号工具箱(SYNBOLIC)。 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  35. MATLAB矩阵运算 • 矩阵是MATLAB最基本的数据对象，MATLAB的大部分运算或命令都是在矩阵运算的意义下执行的。在MATLAB中，不需对矩阵的维数和类型进行说明，MATLAB会根据用户所输入的内容自动进行配置。 • １．建立矩阵 • 建立矩阵可以用：直接输入法、利用函数建立矩阵和利用M文件建立矩阵。 • 直接输入法：将矩阵的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序输入各元素，同一行的各元素之间用空格或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分隔。(也可以用回车键代替分号) • 例如，键入命令: A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] • 输出结果是： A = 1 2 3 • 4 5 6 • 7 8 9 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  36. １．建立矩阵 • 利用函数建立数值矩阵：MATLAB提供了许多生成和操作矩阵的函数，可以利用它们去建立矩阵。 • 例如: reshape函数和diag函数等。 • reshape函数用于建立数值矩阵。 • diag函数用于产生对角阵。 • 利用M文件建立矩阵：对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门建立一个M文件。其步骤为： • 第一步：使用编辑程序输入文件内容。 • 第二步：把输入的内容以纯文本方式存盘(设文件名为 mymatrix.m)。 • 第三步：在MATLAB命令窗口中输入mymatrix，就会自动建立一个名为AM的矩阵，可供以后显示和调用。 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  37. １．建立矩阵 • 利用M文件建立矩阵： 对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门建立一个M文件。其步骤为： • 第一步：使用编辑程序输入文件内容。 • 第二步：把输入的内容以纯文本方式存盘(设文件名为mymatrix.m)。 • 第三步：在MATLAB命令窗口中输入mymatrix，就会自动建立一个名为AM的矩阵，可供以后显示和调用。 • 子矩阵操作 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  38. 2．矩阵的基本运算 • （１）矩阵转置 • （２）矩阵加和减 • （３）矩阵乘法 • （４）矩阵除法 A\b=inv(A)*b • （５）矩阵的乘方 a^2 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  39. 3．矩阵的函数 • >> help matfun • Matrix functions - numerical linear algebra. • Matrix analysis. • norm - Matrix or vector norm. • normest - Estimate the matrix 2-norm. • rank - Matrix rank. • det - Determinant. • trace - Sum of diagonal elements. • null - Null space. • orth - Orthogonalization. • rref - Reduced row echelon form. • subspace - Angle between two subspaces. Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  40. 3．矩阵的函数 • Linear equations. • \ and / - Linear equation solution; use "help slash". • inv - Matrix inverse. • rcond - LAPACK reciprocal condition estimator • cond - Condition number with respect to inversion. • condest - 1-norm condition number estimate. • normest1 - 1-norm estimate. • chol - Cholesky factorization. • cholinc - Incomplete Cholesky factorization. • lu - LU factorization. • luinc - Incomplete LU factorization. • qr - Orthogonal-triangular decomposition. • lsqnonneg - Linear least squares with nonnegativity constraints. • pinv - Pseudoinverse. • lscov - Least squares with known covariance. Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  41. 3．矩阵的函数 • Eigenvalues and singular values. • eig - Eigenvalues and eigenvectors. • svd - Singular value decomposition. • gsvd - Generalized singular value decomposition. • eigs - A few eigenvalues. • svds - A few singular values. • poly - Characteristic polynomial. • polyeig - Polynomial eigenvalue problem. • condeig - Condition number with respect to eigenvalues. • hess - Hessenberg form. • qz - QZ factorization for generalized eigenvalues. • schur - Schur decomposition. Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  42. 3．矩阵的函数 • Matrix functions. • expm - Matrix exponential. • logm - Matrix logarithm. • sqrtm - Matrix square root. • funm - Evaluate general matrix function. • Factorization utilities • qrdelete - Delete a column or row from QR factorization. • qrinsert - Insert a column or row into QR factorization. • rsf2csf - Real block diagonal form to complex diagonal form. • cdf2rdf - Complex diagonal form to real block diagonal form. • balance - Diagonal scaling to improve eigenvalue accuracy. • planerot - Givens plane rotation. • cholupdate - rank 1 update to Cholesky factorization. • qrupdate - rank 1 update to QR factorization. Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  43. 4．建立矩阵的函数 • 常用函数有： • eye(size(A)) 产生与A矩阵同阶的单位矩阵 • zeros(m,n) 产生0矩阵 • ones(m,n) 产生幺矩阵 • rand (m,n) 产生随机元素的矩阵 • Size(a) 返回包含两个元素的向量。 • Length(a) 返回向量的长度。 • 5．数组运算 • （1） 数组的加和减 • （2） 数组的乘和除 • （3） 数组的乘方 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  44. 6 应用举例 • 1、行列式计算； • 2、求解线性方程组； • 2、解特征值问题 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  45. Lecture 3 MATLAB图形与可视化（Graphic） Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  46. Lecture 3 Matlab图形可视化 基本要求 （1）掌握图形窗口的创建与控制，以及图形窗口的基本操作； （2）熟练掌握二维和三维绘图基本的命令、线型控制； （3）初步掌握用特殊的图形来表现特殊数据的性质，如面积图、直方 图、饼图等。 （4）掌握坐标轴的控制和图形标注命令及其用法。 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  47. Lecture 3 Matlab图形可视化 • A、二维平面图形与坐标系 • 1. 几个基本的绘图命令 • a. 线性坐标曲线plot • 函数命令plot 是MATLAB 二维曲线绘图中最简单、最重要、使用最广泛的一个线性绘图函数。它可以生成线段、曲线和参数方程曲线的函数图形。 • 命令格式: • plot(X,Y) • plot(x1,y1,x2,y2,…)：综合调用方式 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  48. Lecture 3 Matlab图形可视化 用命令 plot(x,y)绘制函数y=cos(x)在两个周期内的图形。 x=0:0.01:2*pi; y=cos(x); plot(x,y) 在同一图形窗口中用命令 plot(x,y)绘出正弦余弦函数的图形。 x=0:0.01:2*pi; y=[sin(x);cos(x)]; plot(x,y) Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  49. Lecture 3 Matlab图形可视化 • 二维函数曲线专用命令 fplot 用plot绘图在确定自变量的取值间隔时，一般采用平均间隔，有时会因某处 间距太大，而不能反映出函数的变化情况。fplot是绘制函数 y=f(x)图形的专用命令,它的数据点是自适应产生的，对那些导数变化较大的函数，用 fplot 函数绘出的曲线比等分取点所画出的曲线更加接近真实。 • fplot函数命令的调用格式为： • [X,Y]=fplot(‘fun’,lims） • fun：函数名字符串； • lims：定义 x 的取值区间，lims=[xmin,xmax]； • 二维函数曲线专用命令ezplot Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

  50. Lecture 3 Matlab图形可视化 2.线型和颜色 plot 函数可以设置曲线的线段类型、定点标记和线段颜色。 常用的线段、颜色与定点标记参数 Dr WangZhengsheng - Lecture Notes

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