Escola Politécnica de Pernambuco Departamento de Ensino Básico

1. Escola Politécnica de PernambucoDepartamento de Ensino Básico Capítulo 09 Ajuste de Curvas, Regressão e Correlação Prof. Sérgio Mário Lins Galdino http://epoli.pbworks.com/

2. Agenda • Ajuste de curvas; • Regressão; • O método dos mínimos quadrados; • A linha mínimos quadrados; • A linha mínimos quadrados em termos da variância amostral e covariância;

3. Agenda • Desvio Padrão da Estimativa; • O Coeficiente de Correlação Linear; • Coeficiente de Correlação Generalizado; • Correlação e Dependência;

4. Ajuste de curvas A determinação de equações de curvas que se ajustem a determinados conjuntos de dados observados é chamado de Ajustamento de Curvas.

5. Ajuste de curvas Pode-se fazer uma análise da seguinte forma: • coleta-se os dados de duas variáveis. Por exemplo, x e y, a altura e peso de um grupo de pessoas, , respectivamente. • traça-se um gráfico dos pontos (X1,Y1), (X2,Y2)....(Xn,Yn) em um sistema de coordenadas retangulares. O conjunto resultante é conhecido como diagrama de dispersão. Com esse diagrama pode-se visualizar uma curva aproximativa de dados ( curva de ajuste).

6. Ajuste de curvas • Relação linear entre variáveis • Relação linear não linear

7. Ajuste de curvas Não existe relação

8. Regressão Um dos objetivos do ajustamento é estimar uma das variáveis (V. D.) em função da outra (V. I.). Esse processo é conhecido como regressão (y(x) versus x) . A equação e a curva de regressão de x sobre y ocorre quando a variável x é estimado em função de y (x(y) versus y) .

9. Método dos mínimos quadrados De todas curvas que se aproximam de determinados conjuntos de pontos, a curva que atende a propriedade : d₁2 + d₂2 + ......+dn2 = mínimo Obs: o dn corresponde a diferença entre o valor e o valor ajustado pela curva

10. Método dos mínimos quadrados dn= desvio, erro ou resíduo C = melhor curva ajustadora

11. A linha de mínimos quadrados A reta de mínimos quadrados aproxima o conjunto de pontos (xi , yi), tem a equação onde a e b são determinadas pela solução das equações normais para linha de mínimos quadrados

12. A linha de mínimos quadrados Os valores de a e b são

13. A linha de mínimos quadrados O valores b pode ser reescrito como: onde

14. A linha passando pelo centróide A reta de mínimos quadrados passa pelo ponto , chamado centróide (centro de gravidade dos dados). Ou a linha de regressão de x sobre y

15. Exemplo

16. Exemplo a= 35.82 e b= 0.476 y = 35.82 + 0.476.x

17. A linha mínimos quadrados em termos da variância amostral e covariância As variâncias e covariâncias amostrais de x e y são dadas por É definido o coeficiente de correlação amostral como: Então a equação da reta de regressão de mínimos quadrados de y sobre x:

18. Desvio Padrão da Estimativa A medida da dispersão em torno de uma curva de regressão é dado por: Como verificamos que a curva de mínimos quadrados é a que apresenta o menor desvio padrão de estimativa dentre as curvas de regressão.

19. Coeficiente de correlação linear O coeficiente pode ser definido como: : variação explicada ( os desvios tendem a um padrão definido pela reta de regressão de mínimos quadrados). : variação total

20. Coeficiente de correlação linear O r é a medida de quão bem a reta de regressão de mínimos quadrados se ajusta aos dados. Assim r2=1 é definido como correlação linear perfeita. Se r2=0 a variação total é toda não explicada. Observação: ‘r’ estar entre 0 e 1.

21. Coeficiente de Correlação Generalizado O coeficiente pode ser definido como: : variação explicada : variação total Mede quão bem uma curva de regressão não-linear se ajusta aos dados = Coeficiente de Correlação Generalizado

22. Exemplo Encontre o coeficiente de determinação e o coeficiente de correlação linear do exemplo acima. Relembrando que o coeficiente de determinação é r2: O coeficiente de correlação é r:

23. Correlação e Dependência • Sempre que duas variáveis x e y tem coeficiente de correlação diferente de 0, ela são dependentes ( sentido probabilístico). • Nem sempre essa correlação representa uma interdependência causal direta. • Exemplo 1 : altura e peso→ interdependência direta • Exemplo 2: salário e criminalidade → Interdependência indireta.