Unidade 2 Modelizar a incerteza 2009/10

1. Unidade 2 Modelizar a incerteza2009/10 Analise risco credito- Modelizar a incertza

2. . Em que medida a incerteza influencia as decisões? . Como se formaliza a incerteza? . Qual a atitude do investidor face ao risco? Unidade 2 Modelizar a incerteza Analise risco credito- Modelizar a incertza

3. Motivação : • Problema: • Os agentes económicos quase nunca têm acesso a toda a informação sobre o ambiente em que interagem • O objectivo pretendido pode não ser obtido pela acção tomada • Solução • Construir uma teoria de decisão Analise risco credito- Modelizar a incertza

4. Decisão em incerteza • A escolha entre acções ou planos dados dois elementos depende: • Probabilidade de sucesso ou do falhanço • Consequência do sucesso ou do falhanço. Analise risco credito- Modelizar a incertza

5. CONCEITOS DA INCERTEZA • A INCERTEZA PODE SER DEFINIDA COMO UMA SITUAÇÃO EM QUE O AGENTE ECONÓMICO VÊ AS CONSEQUÊNCIAS DAS SUAS DECISÕES DEPENDER DE FACTORES EXÓGENOS CUJOS ESTADOS DA NATUREZA NÃO PODEM SER PREVISTOS COM CERTEZA • Encontra-se em situação de risco. • O risco pode ser quantificado. Associa-se ao risco uma distribuição de probabilidades. • Probabilidade objectiva ou subjectiva? Analise risco credito- Modelizar a incertza

6. activos contingentes Analise risco credito- Modelizar a incertza

7. Activos financeiros e a incerteza Analise risco credito- Modelizar a incertza

8. Activos financeiros e a incerteza • V1= 1 / (1+rf) • Cfa1 = p . Cfa1b + (1-p). Cfa1m • Ra = (cfa1-a) / a • a = cfa1 / (1+ra) Analise risco credito- Modelizar a incertza

9. Decisão Teoriadadecisão = teoria de probabilidades(relativoàshipóteses)+ teoria de utilidade(relativoaosresultados) • Ideia fundamental: • Máximautilidadeesperada • Ponderaçãodecadaresultadoobtidopelaprobabilidade de ocorrência. Analise risco credito- Modelizar a incertza

10. REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO: • As preferências de um indivíduo têm uma representação da utilidade esperada se existir uma função u tal que um consumo aleatório x é preferível a um consumo aleatório y se e só se : • E [u(x) ≥ E [u(y)] • Onde E[.] é a expectativa de acordo com a probabilidade subjectiva de cada indivíduo. Analise risco credito- Modelizar a incertza

11. REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO • Quais as condições necessárias e suficientes para que as preferências de um indivíduo possam ter uma representação na utilidade esperada? • Quais as condições necessárias e suficientes para que as preferências de um indivíduo apresentem aversão ao risco tendo como pressuposto a existência de uma utilidade esperada? Analise risco credito- Modelizar a incertza

12. REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO • Probabilidade objectiva (Von Neumann-Morgenstern (1953) e probabilidade subjectiva (Savage (1972): diferentes aproximações á representação das preferência através de uma função de utilidade esperada. • Uma relação de preferência é uma relação binária que é transitiva e completa Analise risco credito- Modelizar a incertza

13. Princípio básico • Um agente tem de selecionar uma acção • Considere Ac = {A1, A2,…Ai} um conjunto de acções • Considere Res = {res1, res2,…} um conjunto de possíveis resultados • Ex possiveis acções: plano 1 e 2. Analise risco credito- Modelizar a incertza

14. Princípio básico • P(resj| Ai) = Probabilidade de obtenção do resultado resj, dada a acção Ai: • U(resj) = utilidade associada a cada resultado. • Utilidade • Captura o desejo de realização de resj • Um agente ec preferirá um estado que lhe possa dar maior utilidade. • U(resj) > U(resi)  resj é preferível a resi Analise risco credito- Modelizar a incertza

15. Princípio básico • Dada P(res1| Ai), utilidade U(res1), P(res2| Ai), utilidade U(res2)… • A utilidade esperada (EU) de uma acção Aii:EU(Ai) = S U(resj)*P(resj|Ai) • Escolher Ai tal que maximize EUMEU = argmax SU(resj)*P(resj|Ai)Ai Ac resj  OUT res-j  res Analise risco credito- Modelizar a incertza

16. Exemplo Success Reward: $100 0.80 EU(Plan1): 100*0.8 –1000*0.2 = -120 Plan1 Failure Reward: -$1000 0.20 Success Reward: $50 0.70 EU(Plan2): $50*0.7 -10*0.3 = 32 Plan2 Failure Reward: -$10 0.30 Decision node: You play Chance node: Nature plays Analise risco credito- Modelizar a incertza

17. 0.80 0.80 Plan1 Plan1 0.20 0.20 0.70 0.70 Plan2 Plan2 0.30 0.30 0.70 0.70 Plan3 Plan3 0.30 0.30 Bigger Trees Possible Dec node Analise risco credito- Modelizar a incertza

18. REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO • Conceitos: • - Os modelos de incerteza partem de uma situação simples de dois momentos (t0 e t1) • A incerteza em economia é modelizada pela consideração de diversos estados da natureza “incertos” a serem realizados em t1 • Um estado da natureza é a descrição completa de uma situação de incerteza a ocorrer entre t0 e t1. • Um plano de consumo é a especificação do número de unidades de consumo de um bem em diversos estados da natureza • Relação de preferência do indivíduo face a diversos planos de consumo: mecanismo que permite um indivíduo comparar diferentes planos de consumo • Função de utilidade permite concretizar a relação de preferência do indivíduo X é preferível a x´ se e só se U(x) ≥ U(x´) ou Em termos de utilidade esperada: E[u(x)] ≥ E[u(x´)] Analise risco credito- Modelizar a incertza

19. Formalização do risco • A decisão do investidor é subjectiva • Existem linhas de acção a tomar • O resultado futuro é função dos estados de natureza considerados no momento da decisão. • Os estados da natureza deverão ser mutuamente exclusivos e exaustivos • Os estados da natureza encontram-se fora do controle do decisor. • Para cada linha de acção existe uma consequência • Existe uma matriz de resultados (payoff matrix) Analise risco credito- Modelizar a incertza

20. Payoff matrix Analise risco credito- Modelizar a incertza

21. Payoff matrixExemplo • Um vendedor de jornais vende ao preço de 5 euros uma revista que ele adquire ao preço de 3 euros. A sua experiência permite-lhe considerar que as vendas deste tipo de revista se situa em 2,3 ou 4 exemplares, sendo raro 1 ou 5. Tem a certeza de que vende pelo menos um exemplar. Analise risco credito- Modelizar a incertza

22. Payoff matrixExemplo Analise risco credito- Modelizar a incertza

23. Payoff matrix ExemploQual a melhor decisão? • Critério Laplace : Não há razão q um estado da natureza seja melhor que o outro – Média aritmética de cada linha e tomar a que der média mais elevada. • Critério Wald – Tomar em cada linha de acção a situação mais desfavorável e decidir pela menos desfavorável • Critério Hurwicz – Cada linha é ponderada pela situação mais favorável e menos favorável e faz-se a media aritmética (ponderada). O factor de ponderação é efectuado pelo decisor. • Critério de regressão – Procede a um regressão entre o valor previsto e o valor obtido à posteriori. Os parâmetros obtidos pela regressão irão afectar as decisões futuras. Analise risco credito- Modelizar a incertza

24. Activos financeiros e a incerteza Analise risco credito- Modelizar a incertza

25. O valor da empresa é independente do seu endividamento (Modigliani e Miller) • Val = -I + C1.v1 • Val = -I + C1b .v1b + C1m. V1m • Valor da empresa = I + val = C1b .v1b + C1m. V1m • Valor da empresa endividada = A + D = C1b.v1b + C1m.v1m= valor da empresa não endividada (hipotese 1) Valor da empresa endividada = A+D =(F.v1b+C1m.v1m ) + ((c1b-F).v1b) = C1b.v1b + C1m.v1m= valor da empresa não endividada (hipotese 2) Analise risco credito- Modelizar a incertza

26. Decisão de investimento e mercado completo Analise risco credito- Modelizar a incertza

27. Aversãoaorisco, exemplo… • Suponha que a um agente económico é dada a escolha de uma das seguintes hipóteses: • Escollha 1: obter certo $1,000,000 • Esolha 2: Mandar uma moeda ao ar • Se sair cara, ganhar $3,000,000 • Se sair coroa, não ganhar nada • Cálculo da utilidade esperada: • EU(escolha1) = $1,000,000 • EU(escolha2) = 0.5 * $0 + 0.5 * $3,000,000 = $1,500,000 • Porque muita gente prefere a escolha 1? Analise risco credito- Modelizar a incertza

28. Aversão ao risco • Porque a maior parte das pessoas são “avessas ao risco” • As funções de utilidade poderão ser : • Para o primeiro milhão U($1M) = 10 • Para o segundo milhão U($2M) = 15 (Não 20) • Para o terceiro milhão U($3M) = 18 (Não 30) • …. Analise risco credito- Modelizar a incertza

29. Aversão ao risco • If we plot amount of money on the x-axis and utility on the y-axis, we get a concave curve • EU(choice1) = U($1M) = 10 • EU(choice2) = 0.5*U(0) + 0.5*U($3M =18) = 9 • That is why we prefer the sure $1M Analise risco credito- Modelizar a incertza

30. Atitude face ao risco • Indiferença (neutro ao risco) • Aversão ao risco • Propensão ao risco Nota: Há uma função de utilidade associada Analise risco credito- Modelizar a incertza

31. Indiferença ao risco • Utilidade (U) Analise risco credito- Modelizar a incertza

32. propensão ao risco • Utilidade • Riqueza Analise risco credito- Modelizar a incertza

33. Aversão ao risco • Utilidade • Riqueza Analise risco credito- Modelizar a incertza

34. Risk Averse, Risk NeutralRisk Seeking RISK SEEKER RISK AVERSE RISK NEUTRAL EU(Choice1)=10 EU(Choice2)=25 EU(Choice1) = 10 EU(Choice2) = 9 EU(Choice1) =10 EU(Choice2) =15 Analise risco credito- Modelizar a incertza

35. conclusão • Os activos financeiros são activos de risco. O crédito é uma operação que envolve risco. • Há todavia activos de maior ou menor risco e activos sem risco. Haverá crédito sem risco? • Os indivíduos têm um grau de maior ou menor aversão ao risco traduzido pela utilidade esperada do ganho obtido. • Os pagamentos são incertos o que envolve que as escolhas sejam designadas de lotarias mas o princípio de maximização da utilidade esperada é uma decisão racional. Analise risco credito- Modelizar a incertza

36. Anexo – about uncertainty measure Analise risco credito- Modelizar a incertza

37. Economist’s jargon • Economists call a lottery a situation which involves uncertain payoffs: • Cultivating apples is a lottery • Cultivating pears is another lottery • Playing with a fair die is another one • Monthly consumption • Each lottery will result in a prize Analise risco credito- Modelizar a incertza

38. Drawing an indifference curve X2 Line of lotteries without risk Convex Indifference curvesImportant to understand that: EU1 < EU2 < EU3 EU3 EU2 EU1 X1 Analise risco credito- Modelizar a incertza

39. Indifference curve and risk aversion Line of lotteries without risk We had said that if the individual was risk averse, he will prefer Lottery A to Lottery B. These indifference curves belong to a risk averse individual as the Lottery A is on an indifference curve that is to the right of the indifference curve on which Lottery B lies. Lot A and Lot B have the same expected value but the individual prefers A because he is risk averse and A does not involve risk X2 3125/0.25 Lot. A 3125 Lot. B 500 X1 4000 3125 3125/0.75 Analise risco credito- Modelizar a incertza

40. What shape is the utility function of a risk averse individual? U(x) X=money • U’(x)>0, increasing • U’’(x)<0, concave Analise risco credito- Modelizar a incertza

41. Indifference curves and risk aversion • We have just seen that if the indifference curves are convex then the individual is risk averse • Could a risk averse individual have concave indifference curves? No…. Analise risco credito- Modelizar a incertza

42. Does risk aversion imply anything about the sign of U’’(x) Convexity means that the second derivative is positive In order for this second derivative to be positive, we need that U’’(x)<0 A risk averse individual has utility function with U’’(x)<0 Analise risco credito- Modelizar a incertza

43. Geometric property • A risk-averse utility function Uis concave • Such a function satisfies: • U[(1 - p) x+ p y] ≥ (1 - p) U(x)+ p U(y) • For each x, y, and p [0,1] • (Not just p = ½, which is where we started) • Geometrically, the curve lies on or above a line through any two of its points Analise risco credito- Modelizar a incertza

44. Measuring Risk Aversion • The most commonly used risk aversion measure was developed by Pratt • For risk averse individuals, U”(X) < 0 • r(X) will be positive for risk averse individuals Analise risco credito- Modelizar a incertza

45. Now take wealth into account • The coefficient a(x) helps measure what a person would pay to avoid a gamble: • That payment is approximatelya(x) times ½ the variance of the gamble • What fraction of wealth would the person pay to avoid a gamble? • Where wealth is given by x > 0 Analise risco credito- Modelizar a incertza

46. The Arrow-Pratt Measures of Risk Aversion • Absolute risk aversion • - U΄΄(W)/U΄(W) = RA(W) • Relative risk aversion • -WU΄΄(W)/U΄(W) = RR(W) • Risk aversion means U΄(W) > 0 and U΄΄(W)  0 • The inverse of these measures gives a measure of risk tolerance Analise risco credito- Modelizar a incertza

47. Risk Aversion • If utility is logarithmic in consumption U(X) = ln (X ) where X> 0 • Pratt’s risk aversion measure is • Risk aversion decreases as wealth increases Analise risco credito- Modelizar a incertza

48. Risk Aversion • If utility is exponential U(X) = -e-aX = -exp (-aX) where a is a positive constant • Pratt’s risk aversion measure is • Risk aversion is constant as wealth increases Analise risco credito- Modelizar a incertza

49. Willingness to Pay for Insurance • Consider a person with a current wealth of £100,000 who faces a 25% chance of losing his automobile worth £20,000 • Suppose also that the utility function is U(X) = ln (x) Analise risco credito- Modelizar a incertza

50. Willingness to Pay for Insurance • The person’s expected utility will be E(U) = 0.75U(100,000) + 0.25U(80,000) E(U) = 0.75 ln(100,000) + 0.25 ln(80,000) E(U) = 11.45714 • In this situation, a fair insurance premium would be £5,000 (25% of £20,000=expected loss) Analise risco credito- Modelizar a incertza