Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

1. Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma Nándori Péter (V.) Témavezető: Dr. Szász Domokos (BME MI)

2. Definíció (Sinai, 1981) Legyen E véges (megszámlálható) halmaz. A ξn, H-n értelmezett Markov láncot belső állapotú bolyongásnak nevezzük, ha: Ekkor nyilvánvaló módon (ε0,ε1,…) is Markov lánc. Továbbiakban RWwIS (a Random Walk with Internal States kifejezés rövidítéséből). Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

3. Alap feltevések • (ε0,ε1,…) irreducibilis, aperiodikus M.L. (μ stacionáris mértékkel) • Triviális aritmetika • Egy lépés várható értéke 0, ha ε ~ μ • A (σl,m)l,m=1…d mátrix pozitív definit, ahol: Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

4. A meglátogatott pontok száma Célunk: aszimptotikus becslést adni Ed(n)-re, és Vd(n)-re. Egyszerű szimmetrikus véletlen bolyongásra (továbbiakban SSRW) ismertek ilyen becslések (Dvoretzky-Erdős, 1951). Lorentz folyamatra E2(n)-re ismert becslés (Péne, 2007). Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

5. 1. példa: 3 dimenziós RWwIS Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

6. 2. példa: 2 dimenziós RWwIS Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

7. Tétel Ed(n)-ről (d>2) • SSRW (Dvoretzky-Erdős) • Az alap feltevéseknek eleget tevő RWwIS-re tetszőleges eloszlású ε0 esetén Megfelelő, a RWwIS-től függő γd és βd konstansokkal: Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

8. SSRW RWwIS Tétel Vd(n)-ről (d>2) Az eredeti bizonyításban szereplő egy szimmetria érvelés RWwIS esetén nem érvényes, innen adódik, hogy gyengébb becslést kapunk, mint SSRW esetén. A becslések nem optimálisak, de… Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

9. Következmények Nagy számok gyenge törvénye: Bizonyítás: Vd(n)=o(n2) miatt a Csebisev egyenlőtlenségből következik. Nagy számok erős törvénye: Bizonyítás: nehezebb, Vd(n)=O(n2-ε)-t használja. Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

10. A lokális tételről 1. A d=2 eset egyik nehézségét adja. Tétel (Krámli-Szász,1984): ahol gσ a 0 várható értékű, σ kovariancia mátrixú normális eloszlás sűrűsége. Speciálisan: d=2-re a hibatag nem összegezhető! Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

11. A lokális tételről 2. Lokális határeloszlás-tétel hibataggal: Feltéve, hogy a bolyongás csak véges sok helyre léphet, 1 dimenzióban igaz: A levont kifejezés ugyanaz, mint a Petrov tételben független valószínűségi változók esetén. Magasabb dimenzióban: 2 dimenzióban összegezhető a hibatag! Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

12. A lokális tételről 3. Bizonyítás gondolata: operátor értékű Fourier transzformált. α(0)=Q, az (ε0,ε1,ε2,…) Markov lánc átmenet mátrixa. Q legnagyobb abszolútértékű sajátértéke 1, ezt fejtjük sorba a nulla körül, a megfelelő perturbációelméleti tételre hivatkozva. A klasszikus esetben (Krámli-Szász) a 2. tagig tekintjük a sorfejtést, jelen esetben a 3. tagig. Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

13. Szimulációk két dimenzióban 1. Dvoretzky-Erdős tétele SSRW-ra: Ez alapján sejthető, hogy RWwIS-re is ugyanez az aszimptotika, csak más konstanssal. Szimulációk: Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

14. Szimulációk két dimenzióban 2. RWwIS-re E2(n)-et c*n/log(n) – nek feltételezve c-re adott becslések Számítógépes szimulációk (10k hosszú trajektóriából 107-k db-ot generálva) alapján: Tanulság: Az aszimptotikus viselkedés megsejthető, a konstans nem (cI=). Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

15. Tétel E2(n)-ről és V2(n)-ről a feltételeknek eleget tevő RWwIS-re, tetszőleges eloszlású ε0 esetén. • SSRW – hoz képest E2(n) főtagja csak konstans szorzóban tér el. • Következmény: nagy számok gyenge törvénye (ugyanúgy, mint magas dimenzióban). • Nagy számok erős törvénye: SSRW esetén is nehéz, és megoldatlan RWwIS esetén! Belső állapotú bolyongások által meglátogatott pontok száma

16. Köszönöm a figyelmet!