PROBLEMA DI SAINT-VENANT

1. PROBLEMA DI SAINT-VENANT

2. Il problema particolare di equilibrio elastico di notevole interesse applicativo è quello di un solido elastico, omogeneo, isotropo di forma cilindrica, ossia un solido che possiamo chiamare, almeno per la sua forma, trave. Il problema è stato impostato e risolto da Adhémar Jean-Claude Barré, conte di Saint-Venant, nella famosa memoria “De la torsion des prismes” presentata all’Accademia delle Scienze di Parigi nel 1853. trave sezione trasversale Il metodo proposto dal Saint-Venant, professore all’Ècole des ponts et Chaussées, per risolvere il problema unisce al rigore matematico l’intuizione fisica del problema. Inizia uno dei capitoli più suggestivi della Scienza delle Costruzioni, proponendo una soluzione fondamentale per la portata pratica e stimolante per la congettura (postulato) fatta per giustificare il procedimento proposto. Tale congettura, ha rappresentato una vera sfida per tutti coloro che ne hanno tentato una rigorosa dimostrazione. Il modello, può apparire piuttosto lontano dalla realtà; esso invece, proprio grazie all’accennata congettura di Saint-Venant, è in grado di descrivere il comportamento di molte travi reali.

3. Ipotesi Generali Il probema di Saint-Venant si basa sulle seguenti ipotesi: 1) ipotesi di tipo geometrico: si considera una trave prismatica (asse rettilineo e sezione retta costante). Nella sezione la dimensione minima e massima non sono troppo differenti l’una dall’altra; la lunghezza della trave è molto più grande delle dimensioni della sezione retta. Assumeremo un riferimento cartesiano ortogonale con l’asse z coincidente con l’asse della trave e origine nel baricentro G della sezione . 2) ipotesi sul materiale: si considera il materiale elastico, lineare, omogeneo, isotropo. 3) ipotesi sui carichi: si considerano le forze di massa nulle e le forze di superficie agenti solo sulle basi e la superficie laterale della trave risulta scarica mentre le forze di superficie costituiscono da sole un sistema equilibrato.

4. 4) ipotesi sui vincoli: si considera il solido non vincolato coerentemente con l’ipotesi di sistema di forze equilibrato. Tuttavia, per fissare la posizione del solido nello spazio, impedendo qualunque moto rigido, supporremo che: x z Assi principali d’inerzia y x y

5. 5) ipotesi sulle tensioni: si considera che segue che, ossia il tensore degli sforzi è del tipo che descrive uno stato di tensione bi-assiale. Il piano del vettore tensione è quello contenente i vettori e esso è perciò parallelo all’asse del cilindro. Come si vede il modello di Saint-Venant, nel caso più generale, comporta quindi la riduzione da 6 a 3 del numero delle incognite di tensione. → → →

6. Occorre naturalmente rendersi conto che questa “ipotesi sulle tensioni” è una previsione sulla soluzione. Equazioni costitutive Le equazioni costitutive del solido elastico, lineare, isotropo scritte con riferimento alle due costanti elastiche E, modulo di elasticità normale, e , coefficiente di contrazione trasversale, si riducono a

7. I quattro casi fondamentali di sollecitazione 1) Forza Normale Semplice 2) Flessione Semplice 3) Torsione

8. 4) Flessione Composta Il principio di Saint-Venant Ciò che si conosce delle azioni superficiali applicate sulle travi sono semplicemente dei sistemi di forze staticamente equivalenti, in genere ridotti ad una risultante R e ad un momento risultante M. Su questo punto Saint-Venant, con riferimento al suo modello di trave, propose un principio: se una distribuzione di forze superficiali agenti su una porzione della superficie di un corpo è sostituita da un’altra agente sulla stessa porzione di superficie, gli effetti prodotti dalle due distribuzioni in punti sufficientemente distanti dalla zona di applicazione della forza sono gli stessi purché le due distribuzioni di forze siano staticamente equivalenti, ossia abbiamo la stessa risultante e lo stesso momento risultante.

10. se una distribuzione di forze superficiali agenti su una porzione della superficie di un corpo è sostituita da un’altra agente sulla stessa porzione di superficie, gli effetti prodotti dalle due distribuzioni in punti sufficientemente distanti dalla zona di applicazione della forza sono gli stessi purché le due distribuzioni di forze siano staticamente equivalenti, ossia abbiamo la stessa risultante e lo stesso momento risultante.

11. analisi numeriche agli elementi finiti che evidenziano il campo tensionale in elementi sollecitati da forze normali, e forze di taglio; ciascuna sollecitazione è ottenuta con una diversa distribuzione delle forze che tuttavia hanno la stessa risultante.

12. Forza Normale Semplice o Azione Assiale z y In questo caso in ogni sezione della trave avremo la sola presenza di forza normale. Assumiamo, sulla base dell’intuizione fisica, che in ogni tensione le tensioni siano . Le condizioni al contorno sulle basi sono:

13. Il tensore delle tensioni si riduce a: e lo stato di tensione risulta essere monoassiale.

14. Stato di deformazione Dalle equazioni costitutive si ottiene immediatamente, per il tensore delle deformazioni la seguente espressione : Facendo riferimento alle espressioni generali già considerate in precedenza si ottiene la variazione di lunghezza: Si vede quindi che ad una forza di trazione (N > 0) corrisponde un aumento della lunghezza della trave; l’opposto si verifica nel caso di compressione (N < 0).

15. Caratteristica di deformazione assiale Le sezioni della trave, nel caso della sollecitazione a forza normale restano piane e compiono una semplice traslazione nella direzione dell’asse . Questo risultato consente di descrivere il movimento della generica sezione retta attraverso la caratteristica di deformazione assiale, che si indica con ε, che è definita come lo spostamento relativo tra due sezioni poste a distanza unitaria, ossia :

16. Flessione Semplice (Pura) Si ha flessione semplice attorno all’asse x quando : Cioè si ha solo un vettore momento parallelo all’asse x.

18. L’esperienza fisica mostra che le deformazioni cambiano segno fra l’intradosso e l’estradosso della trave. Si ha quindi sulla sezione un asse lungo il quale le deformazioni sono nulle (asse neutro). Indicando con y la distanza del generico punto dall’asse neutro (baricentrico), è naturale assumere che le deformazioni ezz siano: zz Anche per le tensioni, essendo lineari con le deformazioni avremo: Per determinare k basta considerare l’equilibrio:

19. da cui allora: che prende il nome di formula di Navier. Si noti che Mx è la coppia attiva nel piano di flessione (y,z). Ponendo il tensore degli sforzi e quello della deformazione sono:

20. Il luogo dei punti in cui si ha tensione è nulla dalla formula di Navier: si ottiene quando y = 0 (sull’asse x) retta baricentrica. Viene detto asse neutro della flessione. Nel caso di un vettore momento non parallelo all’asse x (Figura) è possibile considerare le componenti Mx e My: Mx x Lo stato di tensione di determina con una sovrapposizione degli effetti di due flessioni semplici attorno ai due assi principali d’inerzia: My y

21. Il luogo dei punti in cui si ha tensione nulla è definito dalla equazione : equazione di una retta baricentrica, detta asse neutro della flessione.

22. Consideriamo una flessione attorno all’asse x e un tronco di trave lungo dz generico. Mx Mx La rotazione relativa fra due sezioni rette poste a distanza dz, può essere espressa direttamente in termini di componenti del tensore delle deformazioni. Tenendo presente che le sezioni restano piane, ruotando intorno all’asse neutro x, dall’esame della figura seguente si vede facilmente che : dφx Dove –εz(1)dz è l’accorciamento del lembo superiore mentre εz(2)dzè l’allungameneto del lembo inferiore.

23. Per calcolare le tensioni massime e minime basta considerare nella formula di Navier la distanze dal bordo inferiore e superiore: in cui sono stati introdotti i moduli di resistenza relativi all’asse x : x I moduli di resistenza della sezione rettangolare di lati b e h sono uguali a parte il segno a: x y

25. Nel caso della flessione le sezioni rette della trave restano piane, compiendo una semplice rotazione intorno all’asse x. Di conseguenza si può introdurre la caratteristica di deformazione flessionale , definendola come la rotazione relativa tra due sezioni poste a distanza unitaria, ossia, se si indica con φxla rotazione della generica sezione, si può porre : Dove, per coerenza con la convenzione sui segni già adottata per Mx, si assumerà quando porta y su z. Tenendo presente che la componente εz risulta [Mxy/(EJx)], pertanto la caratteristica della deformazione flessionale è data da :

26. Equazione della linea elastica Nel caso delle travi inflesse è molto utilizzata, per la sua semplicità, l’equazione differenziale della linea elastica. Tale ricerca si basa sulla relazione momento flettente - curvatura: = - dove 1/r è la curvatura della linea elastica, EJ è la rigidezza flessionale della trave. Se la linea elastica è rappresentata dalla funzione: v = v(z), v = v(z)

27. nell’ipotesi che le rotazioni della sezione trasversali siano piccole rispetto all’unità si ha che: Quindi: + M = 0 . EJ Si nota che, con le usuali convenzioni sui segni, la curvatura (1/R) ed il momento flettente M hanno sempre segno opposto: M < 0 M > 0 > 0 < 0

28. L'integrazione dell’equazione differenziale presuppone la conoscenza di M e delle condizioni al contorno che possono riguardare v e v' . Si tratta cioè di condizioni geometriche. v = 0 v = 0 v = 0, v’= 0. v’ = 0 v = 0.

29. Forza normale eccentrica Quando le azioni applicate sulla base della trave di Saint-Venant sono equivalenti staticamente ad una forza , parallela all’asse z, passante per un punto X, denominato centro di sollecitazione, distinto dal baricentro G, la trave si dice soggetta a sforzo normale eccentrico. Considerando quindi la generica sezione in cui X indica il punto di applicazione della forza N (supposta di trazione e quindi positiva), nella sezione generica della trave, avremo una forza normale ed un momento flettente dati da : in cui e è l’eccentricità ovvero la distanza di X dal baricentro G:

30. e My x Mx ex ey y Il principio di sovrapposizione degli effetti ci consente di esprimere le tensioni come somma di 2 contributi: il primo dovuto all’azione assiale N ed il secondo dovuto alla flessione. Ricordando le relazioni scritte si ha:

31. l’equazione dell'asse neutro della sollecitazione composta si ottiene ponendo σzz = 0. In particolare si vede che tale asse non è baricentrico.

32. Sezione rettangolare Nel caso di trave a sezione rettangolare con centro di sollecitazione X appartenente ad una mediana, gli assi principali di inerzia sono x e y e siano b, h le dimensioni della sezione. Inoltre N sia di compressione (pilastro). P Una forza P a distanza e dal baricentro è staticamente equivalente ad una forza P baricentrica ed a un momento Mx = Pe. Lo stato di tensione si determina quindi con la relazione: P e h x y b h

33. P Somma di una parte costante ed una lineare. Volendo calcolare le tensioni massime e minime, si osserva che i moduli di resistenza risultano: ─ + ─ Quindi i valori estremi delle σzz sono: Se (6e/h) ≤ 1, la sezione risulta tutta compressa e l’asse neutro non taglia la sezione. Viceversa, se (6e/h) ≥ 1 la sezione è parte tesa e compressa e l’asse neutro taglia la sezione.

34. P In questa seconda situazione è interessante il caso di solidi non reagenti a trazione per i quali si pone il problema di valutare la profondità “a” della zona compressa e la massima tensione σmax. R ─ σmax Se R è la risultante delle tensioni di compressione si ha: a Per l’equilibrio alla traslazione deve essere: Per l’equilibrio alla rotazione R e P devono avere la stessa retta di azione (stessa distanza dalla superficie esterna):

35. Dall’ultima relazione si può ricavare l’incognita a: Dall’equilibrio alla traslazione si può ricavare la massima tensione: Con le quale è possibile eseguire verifiche di resistenza. Si può osservare che al crescere di e aumenta la smax che tende a infinito quando e→(h/2).

36. Torsione Nel caso della torsione, le azioni sulla base si riducono a : per cui l’unica caratteristica di sollecitazione diversa da zero, in ogni sezione della trave è un momento torcente costante.

37. Sezione circolare Vediamo di studiare la torsione nel caso di sezione circolare, che è uno dei più semplici poiché presenta la maggiore simmetria possibile. Con riferimento alla sezione circolare piena di raggio R soggetta ad un momento torcente Mz, si osserva che la generica sezione ruota attorno al baricentro di un angolo θproporzionale alla distanza z dalla base fissa: θ =βz. R G x r θ P P’ y β rappresenta la rotazione relativa fra due sezioni a distanza unitaria (z=1). Un generico punto P, che si muove in P’ e distante r dal centro G, descrive così un arco di circonferenza di lunghezza ds. Se θ è l’angolo sotteso all’arco PP’ si ha: ds = r θ .

38. Se la rotazione è infinitesima, l’arco ds può essere approssimato dalla tangente all’arco PP’ in P e le componenti di spostamento in direzione x ed y risultano: x x G Dove α è l’angolo fra il segmento GP e l’asse x. Sapendo che ds = r θ, si ha: α y r P P” Se il punto P ha coordinate x e y si ha: y

39. Quindi: Tenendo conto che θ =βz si può scrivere: Riguardo allo stato di deformazione, le componenti della matrice Esono:

40. Le tensioni si deducono immediatamente dalle equazioni costitutive: Per determinare β è necessario imporre l’equilibrio fra le tensioni ed il momento torcente applicato. Se dA è una porzione infinitesima di area della sezione trasversale A su cui si hanno le tensioni tangenziali txz e tyz , il contributo al momento attorno all’asse z risulta: x txz dA tyz y

41. Come sempre, txz dA e tyz dA rappresentano le forze elementari che vanno moltiplicate per i rispettivi bracci y ed x per ottenere i momenti. Per l’intera sezione occorre sommare: Il modulo di elasticità G e l’angolo di torsione per unità di lunghezza β sono costanti nell’integrazione quindi: Avendo indicato con J0 il momento d’inerzia polare rispetto al baricentro. Si ricava così l’angolo di torsione per unità di lunghezza:

42. L’andamento delle tensioni lungo un diametro qualunque, è rappresentato in figura. Lungo l’asse x (y=0) si hanno solo tensioni tangenziali tyz , date dalla: x Lungo l’asse y (x=0) si hanno solo tensioni tangenziali txz cherisultano: y Lungo un generico raggio la tensione tangenziale risultante è:

43. Ricordando che per la sezione circolare di raggio R è : la tensione tangenziale massima risulta: Nel baricentro G lo stato di tensione è nullo. Per una generica sezione a distanza z dalla base fissa, la rotazione risulta:

44. Sezione rettangolare Si consideri una sezione rettangolare di lati h e b con h ≥ b. Il problema torsione è assai più complesso causa ingobbamento delle sezioni che non rimangono piane se soggette a momento torcente Mz. Il problema non ammette soluzione in forma chiusa, ma è possibile tuttavia determinarla mediante uno sviluppo in serie di Fourier. x Mz y Si utilizzano così relazioni approssimate per valutare la tensione tangenziale massima.

45. Andamento qualitativo delle txz lungo il lato Una relazione approssimata applicabile è: tyz Andamento qualitativo delle tyz lungo il lato Dove il coefficiente a dipende dal rapporto fra i lati. txz Si può vedere che a partire da un certo punto in poi il valore di a tende al valore di 1/3. Per quelle sezioni per cui è h/b > 10 si può assumere

46. Sezioni aperte in parete sottile composte con più rettangoli Molte sezioni usate nelle costruzioni hanno una forma ottenuta mediante composizione di rettangoli. Sono un classico esempio di ciò le seguenti sezioni: Conoscendo quale parte di momento torcente compete al rettangolo in cui si può pensare scissa la sezione, si possono applicare ad esso i risultati ottenuti per ogni rettangolo allungato.

47. In generale non si conosce . Come è noto, per una sezione rettangolare allungata: Questa relazione può essere scritta anche: da cui si deduce che il momento di inerzia per le sezioni rettangolari allungate è semplicemente :

48. Se Mzi è la quota di momento che compete al rettangolo i-esimo, per l’equilibrio dovrà risultare : per individuare la quota di momento che compete al rettangolo i-esimo di lati ai e bi (con ai>> bi) si può pensare che possa dipendere dal suo momento d’inerzia Jti: Per l’intera sezione, il momento di inerzia ridotto è dato dalla somma dei momenti di inerzia ridotti delle singole parti componenti la sezione. quindi:

49. Con riferimento alla figura sotto b1 1 a1 2 a3 a2 3 b3 b2 Si può pensare di suddividerla in 3 parti (1, 2, 3).

50. è allora possibile calcolare la tensione tangenziale massima relativa ad ogni rettangolo e la tensione tangenziale massima assoluta: