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Erwartungstreuer, konsistenter Schätzer

Erwartungstreuer, konsistenter Schätzer. Universität Potsdam Sommersemester 2011 Seminar: Ausgewählte Kapitel der Wahrscheinlichkeitstheorie Seminarleiterin: Frau S. Roelly Referentin: Sophie Newiger Datum: 26. Mai 2011. Gliederung. 1 Einstieg in die Thematik (Motivation)

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Erwartungstreuer, konsistenter Schätzer

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Presentation Transcript

  1. Erwartungstreuer, konsistenter Schätzer Universität Potsdam Sommersemester 2011 Seminar: Ausgewählte Kapitel der Wahrscheinlichkeitstheorie Seminarleiterin: Frau S. Roelly Referentin: Sophie Newiger Datum: 26. Mai 2011

  2. Gliederung 1 Einstieg in die Thematik (Motivation) 2 Reißzweckenwurf (Binomialverteilung) 2.1 Definition: Schätzfunktion und Schätzer (Wiederholung) 2.2 Beispiele für Schätzer 2.3 Definition: Erwartungstreue und Konsistenz 2.4 Qualität der Schätzer überprüfen 3 Sammelbilderproblem (Diskrete Gleichverteilung) 3.1 Beispiele für Schätzer 3.2 Qualität der Schätzer überprüfen 4 Verkehrszählung (Poissonverteilung) 4.1 Beispiel eines Schätzers 4.2 Qualität des Schätzers überprüfen 5 Zusammenfassung 6 Quellen

  3. 1 Einstieg in die Thematik (Motivation) • schließende bzw. beurteilende Statistik • Beispiele: Bestandskontrollen ,Qualitätskontrollen, Prognose des Wahlverhaltens einer Bevölkerung, … • unvollständige Kenntnis über die zu untersuchenden Daten Notwendigkeit des Schätzens! • parametrische Statistik: Aussagen über einen unbekannten Parameter p machen • p bestimmt Verteilung der Stichprobe von Stichprobe auf Grundgesamtheit schließen

  4. 1 Einstieg in die Thematik (Motivation) • Wahl eines guten Schätzers hängt von Qualitätsmerkmalen ab z.B. Erwartungstreue und Konsistenz • Betrachtung diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen

  5. 2 Reißzweckenwurf • n-facherReißzweckenwurf • Notation Wahrscheinlichkeitsmaß, welches vom Parameter p abhängt, unabhängig voneinander und identisch verteilte Zufallsvariablen Realisierungen der Zufallsvariablen n Anzahl der Würfe k Anzahl der Treffer („Reißzwecke fällt auf den Kopf“) Zufallsvariable ist bernoulliverteilt zum Parameter p „Reißzwecke fällt auf den Kopf“ „Reißzwecke fällt schräg auf die Spitze“

  6. 2 Reißzweckenwurf • Definition 1: Schätzfunktion Eine Schätzfunktion für den Parameter p ist eine Funktion d.h. • Definition 2: Schätzer Die Zufallsvariable heißt Schätzer für den Parameter p.

  7. 2 Reißzweckenwurf • Beispiele für Schätzer

  8. 2 Reißzweckenwurf • Definition 3: Erwartungstreue Ein Schätzer für den Parameter p heißt erwartungstreu, wenn für alle . • Definition 4: Konsistenz Ein Schätzer heißt konsistent, wenn für alle gilt: , , d.h. für alle

  9. 2 Reißzweckenwurf • Qualität der Schätzer überprüfen nicht erwartungstreu nicht konsistent erwartungstreu konsistent erwartungstreu nicht konsistent nicht erwartungstreu konsistent

  10. 3 Sammelbilderproblem • Wie viel verschiedene Bilder gehören zu einer Serie? • Notation MAnzahl der verschiedenen Bilder einer Serie: {1,…,M} n Anzahl der gekauften Duplo: {1,...,n} unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen Realisierungen der Zufallsvariablen Zufallsvariable ist gleichverteilt zum Parameter M

  11. 3 Sammelbilderproblem • Beispiele für Schätzer {nächste ganze Zahl zu }

  12. 3 Sammelbilderproblem • Qualität der Schätzer überprüfen nicht erwartungstreu konsistent nicht erwartungstreu nicht konsistent {nächste ganze Zahl zu }ungefähr erwartungstreu konsistent

  13. 4 Zählung von Autounfällen (poissonverteilung) • In dieser Zählung werden Autounfälle in einem bestimmten Zeitintervall (pro Tag) erfasst. • Notation n Anzahl der Tage: {1,…n} entspricht der mittleren Unfallanzahl pro Tag Anzahl der Autounfälle am i-ten Tag (unabhängig, identisch verteilte Zufallsvariable) Realisierungen der Zufallsvariablen Zufallsvariable ist poissonverteilt zum Parameter

  14. 4 Verkehrszählung (poissonverteilung) • Beispiel eines Schätzers erwartungstreu konsistent

  15. 5 Zusammenfassung • Ziel der Statistik: Aussagen über einen unbekannten Parameter treffen dazu erforderlich: Schätzer • Gute Qualität der Schätzer!? Gütekriterien nutzen, wie z.B. • Erwartungstreue: für alle • Konsistenz: für alle

  16. 6 Quellen • Knöpfel, H. & Löwe, M. (2007). Stochastik – Struktur im Zufall. München: Oldenburg-Verlag • Georgii, H.-O. (2009). Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. De Gruyter-Verlag. • Bourier, G. (2011). Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik: Praxisorientierte Einführung mit Aufgaben und Lösungen. Wiesbaden: Gabler-Verlag. • Kunze, S. (2010). Das Sammelbilderproblem. Mathematische Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie. Online abrufbar unter http://opus.kobv.de/ubp/volltexte/2011/5164/pdf/Preprint_2010_12.pdf

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