1 / 16

Blossoming u Casteljau i Oslo algoritmu

Blossoming u Casteljau i Oslo algoritmu. Blosso ming. B lossom ing ili polarna forma f ( t 1 , t 2 ,…, t n ) polinoma F ( t ) stupnja n je funkcija koja ima ova svojstva : S imetrija :

morey
Télécharger la présentation

Blossoming u Casteljau i Oslo algoritmu

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Blossoming u Casteljau i Oslo algoritmu

  2. Blossoming Blossoming ili polarna formaf(t1,t2,…,tn) polinomaF(t) stupnja n je funkcija koja ima ova svojstva: • Simetrija: f(t1,t2,…,tn) = f(tm(1),tm(2),…,tm(n)) za bilo koju permutacijum od (1,2,…,n) • Multi-afinost: • Dijagonala: f(t,t,…,t) = F(t)

  3. Blossoming Teorem: Za svaki polinom F:RR stupnja n postoji jedinstveno simetrično multi-afino (n-afino) preslikavanje f:RnRn koje zadovoljava za svaki uR.

  4. Primjeri – stupanj 2

  5. Primjeri – stupanj 3

  6. Dužina Primjer: Zbog simetričnosti i multi-afinosti u 3.argumentu, točke na dužini s vrhovima f(0,0,0) i f(0,0,1) su točke oblika f(0,0,t).

  7. Piramidalni algoritam za Bezierovu krivulju Na ovaj način dobivamo Bezierovu krivulju, ako počnemo od točaka p0, p1, p2, p3

  8. Piramidalni algoritam za Bezierovu krivulju Točka na krivulji Isto to prikazano u blossoming zapisu: Uočiti da se npr.u ovom koraku koristi simetričnost, tj. f(t,1,1)=f(1,t,1). Kontrolne točke

  9. (0,0,1) (0,t,1) (0,1,1) (0,0,t) (0,t,t) (t,t,t) (t,t,1) (t,1,1) (0,0,0) (1,1,1) Piramidalni algoritam za Bezierovu krivulju Rezultat:

  10. Piramidalni algoritam za Bezierovu krivulju - subdivizija Nove kontrolne točke za lijevu Bezierovu krivulju Nove kontrolne točke za desnu Bezierovu krivulju Stare kontrolne točke

  11. Zašto je blossom praktičan za upotrebu? • Ako imamo polinom i na intervalu [r,s] ga želimo reprezentirati sa Bezierovom krivuljom, zanima nas koje su Bezierove točke. Ako zapišemo u kao afinu kombinaciju od r i s: dobivamo:

  12. Zašto je blossom praktičan za upotrebu? Bernsteinovi polinomi Bezierove točke pri čemu je f blossom od F.

  13. deCasteljau algoritam Uz oznaku iz prethodnog računa dobivamo: odnosno deCasteljau algoritam.

  14. deCasteljau algoritam Piramidalni prikaz za n=3.

  15. Oslo algoritam Neka je F polinom n-tog stupnja i f njegov blossom. Pomoću Oslo algoritma, iz starih kontrolnih točaka cj=f(tj+1,..., tj+n) želimo izračunati nove kontrolne točke di=f(ui+1,..., ui+n). Za interval [tq,tq+1) krećemo od n+1 stare kontrolne točke f(tq-n+1,..., tq), f(tq-n+2,..., tq+1),..., f(tq+1,..., tq+n) i računamo nove kontrolne točke u n nivoa koristeći pri tome simetriju i multi-afinost blossoma. Shema je prikazana na slijedećoj slici u piramidalnom obliku:

  16. Oslo algoritam Nova kontrolna točka itd. ... ... Na ovom nivou uvodimo ui+2. ... ... Na ovom nivou uvodimo ui+1. ... Stare kontrolne točke

More Related