Harmonische trillingen

1. Harmonische trillingen

2. Inleiding • Verschijnselen met een periodiek karakter komen in de fysica veelvuldig voor • Basis van de studie van golfverschijnselen (zowel mechanische als elektromagnetische)

3. Voorbeelden

4. Massa aan veer • Massa losgelaten  op en neer schommelen rond haar evenwichtstoestand • = trilling

5. Besluit • Een veerkrachtig voorwerp trilt wanneer dit voorwerp uit de evenwichtsstand wordt gebracht en daarna losgelaten. • Het voorwerp voert een periodieke beweging uit. • Periodieke beweging = reeks opeenvolgende identieke bewegingen = cyclussen

6. Periode T = tijd voor één cyclus • Frequentie f = aantal cyclussen per tijdseenheid • Elektrische tandenborstel • Heinrich Hertz (1857-1894)

7. Drie soorten trillingen • De vrije ongedempte harmonische trilling • De vrije gedempte harmonische trilling • De gedwongen harmonische trilling

8. Trilling • Of oscillatie • Een periodieke beweging • Wordt vaak veroorzaakt door de verstoring van een stabiele evenwichtsituatie

9. Harmonische trilling • Stand ten opzichte van haar evenwichtsstand  sinusfunctie

10. Harmonische trillingen De vrije ongedempte harmonische trilling

11. Inleiding • Een harmonische trilling gebeurt altijd onder invloed van een kracht die evenredig is en tegengesteld aan de uitwijking

12. De vrije ongedempte harmonische trilling • Stel dat we de wrijving van de bewegende massa in de lucht verwaarlozen, dan zal de trilling onveranderd blijven voortduren • De massa m beweegt dan op en neer met een bepaalde frequentie, die niet afhangt van de amplitude van de trilling. We noemen deze frequentie de natuurlijke trillingsfrequentie van de massa aan de veer.

13. Bewegingsvergelijking • We kunnen deze trilling theoretisch beschrijven door gebruik te maken van de wet van Hooke en de tweede wet van Newton

15. Afleiding

19. Intermezzo – differentiaalvergelijkingen • Functies als oplossing! • Zijn vergelijkingen waarin één of meerdere afgeleiden van de te zoeken functie voorkomen. • Oplossingen van differentiaalvergelijkingen leveren y(t)

20. We zoeken nu een oplossing voor vergelijking (2) een functie van y(t) dat aan de tweede orde differentiaal vergelijking voldoet.

21. Oplossing van de eenvoudige harmonische oscillator

22. Uitwijking

23. Kenmerken van de harmonische trilling

24. Kenmerkende grootheden Een massa voert een harmonische trilling uit als haar uitwijking op elk ogenblik voldoet aan de vergelijking:

25. Uitwijking ifv tijd

26. A = de absolute waarde van de maximale uitwijking die de massa kan hebben • A = amplitude • (ωt + φ) = fase • ω = fasesnelheid of pulsatie • φ = beginfase = positie van de massa op het ogenblik t = 0 s • Periode T = 2π/ω en frequentie f = 1/T

27. Eigenfrequentie • f = natuurlijke of eigenfrequentie van de vrije ongedempte trilling

28. Grafische voorstelling Harmonische trilling met beginfase gelijk aan 0 rad (1) Harmonische trilling met beginfase gelijk aan π\2 rad (2)

29. Voorstelling van een harmonische trilling met fasoren

31. Uitwijking : fasorvoorstelling • Fasor : vector met lengte gelijk aan amplitude die ronddraait met hoeksnelheid gelijk aan pulsatie. • Uitwijking = projectie op de Y-as.

32. Fasoren of draaiende vectoren • Voorstelling door middel van een fasor of draaiende vector

33. Voorstelling van twee trillingen die ten opzichte van elkaar een faseverschil vertonen

34. Het faseverschil van een tweede trilling t.o.v. een eerste wordt bepaald door: • - Indien Δφ < 0 rad dan ijlt de tweede trilling na op de eerste • - Indien Δφ > 0 rad dan ijlt de tweede trilling voor op de eerste • - Indien Δφ = 0 rad dan zijn beide trillingen in fase • - Indien Δφ = π rad dan zijn beide trillingen in tegenfase

35. Snelheid - berekening • is opnieuw een trilling met amplitude Aw • is p/2 uit fase ten opzichte van y(t) • ‘loopt p/2 voor op’ y(t)

36. Snelheid - grafisch

37. Besluit: • Snelheid is maximaal bij doorgang door evenwichtstand • Snelheid is nul bij maximale uitwijking

38. Versnelling - berekening • is opnieuw een trilling met amplitude Aw². • is p uit fase ten opzichte van y(t) en p/2 uit fase ten opzichte van snelheid.

39. Versnelling - grafisch

40. Besluit: • Versnelling is maximaal als uitwijking maximaal is • Versnelling is nul bij doorgang door evenwichtspositie

41. Snelheid en versnelling

42. Fasorvoorstelling (2) • Fasor snelheid loodrecht op fasor A • Fasor versnelling hoek 180° met fasor A.

43. Kracht Kracht is recht evenredig met de uitwijking. Kracht is tegengesteld gericht aan de uitwijking.

44. Kinetische energie • Kinetische energie – definitie • Kinetische energie op tijdstip t

45. Potentiële energie • Ep bij y is arbeid verricht door resultante bij verplaatsing van y naar evenwichtstand. • Arbeid is oppervlak onder Fy, y diagram.

46. Totale energie Totale energie is recht evenredig met kwadraat van amplitude

47. Totale energie (2) E Ep Ek Waar passeert op bovenstaande grafiek de massa de evenwicht- stand ?

48. Opdrachten

49. Wiskundige slinger • Idealisatie : • Onuitrekbaar en massaloos touw • Puntmassa • Puntmassa beweegt op cirkelboog. • Elongatie : afstand Ds langs de cirkelboog.

50. Wiskundige slinger - krachtwerking • Te bewijzen : kracht die heen – en weergaan veroorzaakt voldoet aan nodige en voldoende voorwaarde. • Welke kracht is dat ? • Tangentiële component van resultante. • Spankracht : alléén maar normaal-component. • Kracht die we zoeken • Tangentiële component van zwaartekracht.