第六节 傅里叶 ( Fourier ) 级数

1. 第六节 傅里叶(Fourier)级数 第六模块 无穷级数 一、谐波分析 三角函数系的正交性 二、傅里叶级数 三、奇函数与偶函数的傅里叶级数 四、函数f(x)在[0 , ] 上展开为正 弦级数与余弦级数

2. 一、谐波分析 三角函数系的正交性 由 　　三角函数系的正交性是指 : 组成的函数序列叫做三角函数系， 　如果从三角函数系中任取两个不同的函数相乘， 　其值都为零 . 在区间 [, ] 上的定积分， 这实际上只需证明以下五个等式成立 :

3. 以上结果，这里就不证明了 .

4. 假定 二、傅里叶级数 如下形式的函数项级数 称为三角级数 . 且可逐项积分 ，

5. 于是有 注 意到三角函数系的正交性， 即有

6. 所以 为了求出系数 an， 我们用 cos kx 乘级数 ， 然后在逐项积分

7. 因此 由三角函数的正交性可知，等式右端各项中， 有 当 k = n 时， 其余各项均为零 .

8. 可得到 用类似的方法， 注意到在求系数an的公式中，令n = 0 就得到a0 的表达式， 因此求系数 an , bn的公式可以 归并为

9. 由傅里叶系数 组成的 三角级数称为傅里叶级数. an , bn称为傅里叶系数.

10. 收敛定理(狄利克雷 (Dirichlet) 定理 ) 如果它满 足条件 : 设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函数 ， 在一个周期内连续或只有有限个第一类 间断点， 则f(x) 的 傅里叶级数收敛， 并且至多只有有限个极值点， 并且

11. 级数收敛于f(x) ; (1) 当 x 是 f(x) 的连续点时， (2) 当 x是 f(x) 的间断点时， 级数收敛于 其中 f(x0) 表示 f(x) 在 x处的左极限， f(x+0) 表示 f(x) 在 x处的右极限 .

12. 解 函数 f(x) 的图形如图所示 ， f(x)    2 O x 例 2 设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函 它在 [ , ) 上的表达式为 数 ， 试将函数 f(x) 展开成傅里叶级数 .

13. 这是一个矩形波， 它显然满足收敛定理的条件 ， 由式 (12.6.4)

14. 因为在计算 又

15. 　　　　　　　　　　　　当 x k (k = 0 , 1 , 2 ，···) 时， 根据收敛定理可知， 傅里叶级数收敛于 f(x) ， 即

16. f(x) 2    2 O x 级数收敛于 当 x = k ( k = 0 , 1 , 2 ，) 时， 所求傅里叶级数和函数的图形如图所示 . 图形在 x = k (k=0 , 1 , 2 ，) 各点处与例 2 不同.

17. ≤ ≤ f(x)    2 O x   　　例3设函数 f(x) 是周期为 2 的周期函数 ， 它在 [ , ) 上的表达式为 试将其展开成傅里叶级数.

18. 解　计算傅里叶系数

20. 即 所求的傅里叶级数在连续点处收敛于 f(x) ，

21. 级数收敛 于  f(x)    2 O x   当 x = 2k (k = 0 , 1 , 2 , ···) 时， 当 x = (2k + 1) (k = 0 , 1 , 2 ，) 时， 级数收敛于 0 . 图中给出了它的和函数的图形.

22. 即 三、奇函数与偶函数的傅里叶级数 称为 正弦函数， 展开式中只含有正弦函数的傅里叶级数， 只含有余弦函数包括常数项的称为余弦 级数. 在 [ , ]内 是奇函数， 假设以 2 为周期的周期函数 f(x) 那么傅里叶级数一定是正弦级数. 此时傅氏系数

23. 于是在区间 (  ) 内 f(x)cosnx为奇函数 ， 所以 而奇函数在对称区间上的积分为零 ， 又因 f(x)sinnx 在区间 () 内是偶函数 ，

24. 故有 即 同理可以推出，当函数f(x) 是偶函数时， 其展开式为余弦级数， 此时傅里叶系数为

25. 设周期函数 f (x) 在其一个周期上的表达式 例 4 ≤ ≤ f(x)   O x 试将其展开成傅里叶级数 . 解 函数 f (x) 的图形如图所示 ，

26. 因此我们应 根据(12.6.6) 式计算傅里叶系数. 由图形的对称性可知 f(x) 是偶函数，

27. 故所求的傅里叶级数收敛 于 f(x)， 又因为 f(x) 处处连续 ， 即

28. 四、函数f(x)在[0 , ] 上展开 为正弦级数与余弦级数 我们设想有一 个函数 (x)， 设函数 f(x) 定义在 [0 , ] 上， 它是定义在 (  ) 上 且以 2 为 周期的函数， 如果 (x) 满足收敛定理的条件，  (x) = f(x). 而在 [0 , ] 上， 那么 (x) 在 (  ) 上就可展开为傅里叶级数， 取其 [0 , ] 上一段，  (x) 称为f(x) 的周期延拓函数. 即为 f(x) 在 [0 , ] 上的傅里叶级数，

29. y 2  3 2  x O 　周期奇延拓 在理论上或实际工作中， 下面的周期延拓是 最为常用: 使延拓后 的函数成为奇函数 ， 将 f(x) 先延拓到 ( , 0) ， 然后再延拓为以 2 为周期 的函数 . 这种延拓称为周期奇延拓;

30. y   3 2 2 x O 周期偶延拓 将 f(x) 先延拓到( , 0)， 使延拓后的函数为偶函数， 这种延拓称为周期偶延拓. 然后再延拓为以 2 为周期的函数，

31. 显然，周期奇延拓的结果为正弦级数， 其傅 里叶系数按公式 (12.6.5) 计算. 即 (因在 [0 , ] 上，(x) = f(x) ). 其傅里叶系 数公式为 周期偶延拓的结果为余弦级数，

32. 例5　试将 解　按式 (12.6.8) 计算傅里叶级数，

33. 且延拓的函数在 x = 0， 处连续， 因此 (0≤ x ≤) .

34. 0≤ x ≤ 例6试将函数 ≤ 展开成正弦级数 . 解　按公式(12.6.7)

36. y  2 o  x 所以 当 x =  时，收敛于 0.