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Natural beauty of the standard model I -A possible origin of a U(1) gauge degree of freedom-

Natural beauty of the standard model I -A possible origin of a U(1) gauge degree of freedom-. 西川　美幸. 歴史的背景（ディラック） P.A.M. Dirac, Proc. Roy. Soc. A133 , 60 (1931). 積分の仕方によらず. 波動関数の位相は、観測可能量 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　さえ　　　　一意ならば良い。 積分路の隣接する点で稼ぐ位相の差は決まっているが、 　　全積分区間にわたる位相は一価でなくても良いとする。

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Natural beauty of the standard model I -A possible origin of a U(1) gauge degree of freedom-

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  1. Natural beauty of the standard model I-A possible origin of a U(1) gauge degree of freedom- 西川　美幸

  2. 歴史的背景（ディラック）P.A.M. Dirac, Proc. Roy. Soc. A133, 60 (1931) 積分の仕方によらず • 波動関数の位相は、観測可能量 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　さえ　　　　一意ならば良い。 • 積分路の隣接する点で稼ぐ位相の差は決まっているが、 　　全積分区間にわたる位相は一価でなくても良いとする。 • 　　　　　　　　　　と書いたとき、位相の一価部分は打ち 消す。故に物理的意味を持つのは微分値 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　のみ。 • 非可積分部　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　が寄与。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　、ポテンシャル　　　　　　　　　。　　　　　　　

  3. ポアンカレ群に唯ひとつ複素位相が内在していることポアンカレ群に唯ひとつ複素位相が内在していること • ミンコフスキー空間における２体問題では、 　一方の座標系の局所的ローレンツ変換に帰着できない自由度が（複素）１次元だけ存在する。 • （理由）ローレンツ変換の一般形 Λ＝ＲＬＲ’ 　　Ｒ、Ｒ’ ：空間回転　Ｌ：１軸方向のブースト 　　回転は２回必要！

  4. 3 1 ωX X 2 A general position of a pair of coordinates 3 ωY Y 1 2 (step 1) Rotate the 1st axis of X to be parallel to XY. (step 2) Rotate the 1st axis of Y to be parallel to XY. (step 3) Rotate the 2nd axis of Y to be parallel to that of X.

  5. The standard position of the two coordinates 3 3 ωY 1 1 X Y ωX 2 2 (step 4) Boost along XY. (step 5) Superpose X and Y by a parallel motion along XY.

  6. Decomposition of angular momentums C VX －Vr ωY ωX r ωY r r :=XY X VY Y Vr (step 6) Neglect VX and VY orthogonal to XY. (step 7) Only ωXand ωY are internal, and origin of the spins.

  7. ≅ X Y General relativity ⇒ Spin synthesis X Y X Y ≅ α α spinningrotating static α ≅ ≅ ｰ β ｰα ｰα ｰ β X Y rotating spinning spinning β X Y X Y SX⊥ SX⊥ SＹ⊥ SX⊥ SＹ⊥ Only this inner product ≅ SＹ⊥ ⇒ Y X X Y SX1 SＹ1 SX1 ｰSＹ1 general spins spinningis important!

  8. この複素位相から重力場や電磁場などが定義できることこの複素位相から重力場や電磁場などが定義できること Θ（ｘμ）＝Θ０＋∇μΘ ｄｘμ＋∇μ∇νΘｄｘμｄｘν ＋… ＝Θ０＋∇μΘ ｄｘμ＋（iG+F）μνｄｘμｄｘν ＋… U(1)⇒G μνはエルミート、Fμνは反エルミート。 重力場　　　　　　　　電磁場　　とみなす。

  9. 話は飛躍、とある大学院試問題 ２次元空間における関数ψは半径 の円の外部で有界で、２次元のラプラス方程式 を満たし、円周上の極座標　　　　 で表される点では という値をとる。Ψを決定せよ。 には、解が無限個ある（図を参照）。 多価性がポイント y ｘ 円上で値が一致、負の ｘ 軸上に cut

  10. 物理学におけるマーフィーの法則 • （TA経験から）εーδ論法は一長一短。 　厳密な分、勘違いし易い（木を見て森を見ず） 　使わないと大雑把な理解はし易いが、 log の多価性に注意しない傾向がある。 • 試験問題を読み間違える人もいる。 　試験というのは学生が 　一定の理解をしていることの証明にはなる が、 解けなかったからといって 理解していないことの証明にはならない。

  11. 結論 • 多価性は、とても重要。 　特に物理学で偏微分方程式の境界条件は 　測定可能量と限らないので、注意深く扱うべき。 　ポアンカレ群に内在する内部自由度が 　電磁場の量子論に本質的な位相の起源？ 　 （∵　運動量と位置は非可換！期待値のみ） ⇒博士論文（継続審査中）に乞う、ご期待

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