Metode Simpleks Dengan Tabel Tabelsimpleksbentukumum
Pendahuluan • Bentuk program linier yang adabukanhanyabentukstandar. • Bentuk program linier yang mungkindapatberupa: • Fungsitujuandiminimalkan • Fungsikendaladenganbentuk ≥ atau = • Variable dapatbernilainegatif • Konstanta RHS dapatbernilainegatif • Padapembahasaniniakandibahas: • Bagaimanamenyelesaikan program linier bentukumumdenganmenggunakanmetodesimpleks
Fungsitujuandiminimalkan • Adaduacarauntukmenyelesaikanfungsitujuan yang diminimalkan: • Fungsitujuan yang diminimalkantersebutdikalikandengan-1, danakanmenghasilkanfungsitujuan yang dimaksimalkan. • Sebagaicontoh: • Dikonversimenjadi: • Cara yang keduaadalahfungsitujuantetapdalambentuk minimal, tetapiaturandalamprosesmanipulasimetodesimpleksdiubah, seperti: • Ujioptimalisasi, keadaan optimal dicapaijikasemuanilaidibarisfungsitujuantidakada yang positif. • Pemilihanentering basic variable, pilihlahkoefisien yang paling positifdibarisfungsitujuan.
Fungsikendaladalambentukpersamaan (1) • Misalkansebuah program linier denganbentuk: Fungsikendaladalambentukpersamaan
Fungsikendaladalambentukpersamaan (2) • Denganbentuk program linier diatas, makatitik origin (0,0) tidaklagiberadadidalamfeasible region • Fungsikendalaketigahanyadipengaruhioleh x1dan x2 • Pemberiannilai-nilai x1dan x2tersebutsulitdilakukanuntukmemenuhibentukpersamaan
Fungsikendaladalambentukpersamaan (3) • Jikaterdapatfungsikendaladalambentukpersamaan, makaperluditambahkan variable non-negative yang disebutdenganartificial variable. • Jadi, program linier yang telahdikonversimenjadi: • Dengan a1merupakanartificial variable
Fungsikendaladalambentukpersamaan (4) • Artificial variabletidaksamadenganslack variable. • Jika a1merupakanslack variable, makakitadapatmenggunakantitik origin (x1,x2,s1,s2,a1)=(0,0,2,3,4) sebagaifeasible cornerpointawaliterasi. • Tetapiharusdiperhatikan, bahwanilai a1tidakbolehnonzero (harusNOL) supayafungsikendalaketigadalamkeadaanbenar. • Dengandemikian, metodesimpleksakan “memaksa” semuaartificial variable untukbernilaiNOL.
Fasepertamametodesimpleks (1) • Penyelesaian program linier bentukumumakanterdapatduafungsitujuan, • Fungsitujuanfasepertamauntukmenentukanfeasible cornerpoint solutionsebagaiawalprosesiterasidan • Fungsitujuan program linier itusendiri • Fasepertamabertujuanmeminimalkannilai-nilaiartificial variable yang adapada program linier, dalamhalini a1. • Jikasemuanilaiartificial variabledapatdiubahmenjadi NOL, makafeasible cornerpoint solutionuntukmemulaiiterasididapatkan. • Kemudianiterasimetodesimpleksdijalankanberawaldarifeasible conerpointterebut.
Fungsitujuanfasepertama (1) • Fungsitujuanfasepertamaadalahuntukmeminimalkanjumlahdarisemuaartificial variable yang ada. • Secaraumumdapatdituliskansebagai: • Karenabentukfungsitujuandiatasadalahminimalisasi, makadilakukankonversidengancaramengalikan -1 kefungsitujuantersebut, makadiperoleh:
Fungsitujuanfasepertama (2) • Dalammembuattabelsimpleks, fungsitujuanfasekedua (fungsitujuan program linier) jugadiikutsertakan, • Fungsitujuanfasepertamadigunakanselamafasepertama, tetapijugameng-update nilai-nilaifungsitujuanfasekeduapadasaat yang bersamaan. • Setelahfasepertamaselesai, fungsitujuanfasepertamatersebutdiabaikan (tidakdigunakanlagi), • Semuaartificial variabletidakdigunakanlagi. • Catatan: fungsitujuanfasepertamabelumdalambentukproper table, halinidisebabkanartificial variable akanmunculdua kali, yaitu: • Sekalipadafungsikendala, dansekalipadafungistujuan • Artificial variableharusmunculsekali, yaitupadabarisfungsikendala
Teblesimpleksbentukumum (1) • Table diatasmerupakantabeldari model program linier sebagaiberikut:
Teblesimpleksbentukumum (2) • Tabeldiatasmemilikiduabuahfungsitujuan: • Fungsitujuan W untukfasepertama, yang bertujuanuntukmeminimalkanjumlahdariseluruhartificial variable yang ada (dalamkasusinihanyaada a1). • Fungsitujuan Z untukfasekedua, merupakanfungsitujuandari program linier yang dibahas. • Denganmemperhatikankolom a1, dapatdisimpulanbahwatabelbelumdalambentukproper table. • Koefisien a1padafungsitujuanfasepertama, W, perludieliminasi . • Eliminasidilakukandenganmengurangibarisfungsitujuan W denganbaris yang terdapaartificial variable a1.
Teblesimpleksbentukumum (3) • Tabelsimplekssetalahdilakukaneliminasiterhadapfungsitujuan W adalahsebagaiberikut: • Selamafasepertamaini, fungsitujuan yang digunakanadalahfungsitujuan W. • Dalammeng-update table, fungsitujuanfasekedua, Z, jugadi-update
Iterasifasepertama (1) • Denganmemperhatikankolom x1dan x2padafungsitujuan W, diperoleh x1dan x2 yang memilikikoefisien yang sama (-1) untukmenjadientering basic variable. • Entering basic variabledipilihsecaraacak, misal yang dipilihaadalah x2. Perhitungan table ditunjukkanpada table berikutini, dengan s2sebagaileaving basic variable.
Iterasifasepertama (2) • Setelahentering basic variable danleaving basic variableditentukan, maka table di-update danmenghasilkan table berikutini: • Dari table diatas, jumlahdarifungsitujuanfasepertama, W, telahberkurangmenjadi -1. • Fasepertamabelumselesai, karenamasihterdapakoefisien yang negatifpadabarisfungsitujuan W. • Catatan: fungsitujuanfasekedua, Z, jugatelahdi-update bersamaandenganprosess update fungsitujuan W.
Iterasifasepertama (3) • Dari table diatasdiperoleh: • Entering basic variable x1 • Leaving basic variable a1 • Table di-update dandiperolehhasilsebagaiberikut: • Dari table diatasdapatdilihatbahwafungsitujuan W telahbernilai NOL dantidakadakoefisien variable yang negaif. • Fasepertamatelahselesai, dansekarangberadadifeasible cornerpoint solutionuntukmemulaifasekedua
Iterasifasekedua (1) • Sekarang, fungsitujuanfasepertama, W, dikeluarkandari table simpleksdemikianjugadengansemuaartificial variable. • Fungsitujuanfasekedua, Z, yang telahdiikutsertakandalamperhitungan, di-update dantelahberadadalambentukproper table, dansiapuntukdiiterasi. • Dan karenamasihterdapatkoefisien yang negatifpadabarisfungsitujuan, makakeadaanbelum optimal daniterasiharusdilanjutkan.
Iterasifasekedua (2) • Table diatasadalahhasil update daritabelsebelumnya • Padabarisfungsitujuansudahtidakterdapatkoefisien variable yang negatifdengandemikianiterasitelahselesaidankeadaan optimal tercapai: • Di titik (x1,x2,s1,s2) = (2,2,0,1) • Dengannilai Z sebesar 50
Ilustrasi
Program linier yang infeasible • Program linier yang infeasibledapatdenganmudahdikenalidengancara: • Jikafasepertamametodesimplekstelahselesai, denganhasiltidakadanilaikoefiesien variable yang negatif, tetapinilai W masihpositif, maka: • Tidaksemuafungsikendala (denganartificial variable) telahdieliminasi. • Hal iniberartibahwa program linier bersifatinfeasibel (tidakmemilikihimpunanpenyelesaian)
Fungsikendaladenganbentuklebihdariatausamadengan (≥) • Fungsikendaladenganbentuklebihdariatausamadengan (≥) merupakanbentuk yang tidakbolehpada program linier bentukstandar. • Untukkonversibentukpertidaksamaaniniperluditambahandengansebuahsurplus variable yang berisfatsamasepertislack variable, • Tetapisurplus variablediletakkandibagian RHS persamaan. • Contoh: 3x1 + 5x2 ≥ 20 ⇒ 3x1 + 5x2 − s1 = 20 • Surplus variabletidakdapatdigunakansebagai basic variable karenabernilai -1, sedangkan yang dibutuhkanadalah variable dengankoefisien +1. • Dari contohdiatas, sekarangpertidaksamaantelahdiubahmenjadibentukpersamaan, dengandemikianperlakuan yang samauntukbentukpersamaanberlaku: • Tambahkanartificial variabledanjalankanproseduriterasifasepertama
RHS bernilainegatif • Penyelesaianuntukmasalahiniadalahkalikandengan -1 danhasilnyadikenakanaturanuntukbentuk-bentuk ≤, ≥, atau =
Berapabanyak variable? • Reformulasipenyelesaian program linier denganmenggunakanmetodesimpleksakanmenambahjumlah variable. • Misalkansebuah program linier memiliki: • nbuah variable asal • lbuahfungsikendaladenganbentuk ≤ • g buahfungsikendaladenganbentuk ≥ • Dan e fungsikendaladenganbentukpersamaan (=) • Makajumlah variable setelahprosesreformulasi program linier adalah: • nbuah variable asal • l buahslack variable • g buahsurplus variable • g + ebuahartificial variable • Catatan: seluruhg + ebuahartificial variableakandieliminasiselamaprosesfasepertamametodesimpleks.
