ESKİ AKDENİZ MATEMATİKÇİLERİ

1. ESKİ AKDENİZ MATEMATİKÇİLERİ Prof. Dr. Hatice Kandamar

3. Ahmes (Rhind) Papirüsü • İ.Ö.1700-1600 yıllar arasında, Mısırlı Ahmes tarafından, önceden yazılan bilgilerin kopyası olarak yazıldığı söylenir. • Bilgilerin kaynağı İ.Ö.3400 lere kadar gider. • 1858 yılında İskoç antikacı A.H. Rhind satın aldığı için adına Rhind papirüsü de denir. • Sağdan sola hiyeratik karakterlerle yazılmıştır. • 85 problemi içerir. • Birim kesirler, doğrusal denklemler ve çözümleri, üçgen, dörtgen, yamuk, paralelkenarın alanları, trigonometriye ilk adım, dairenin alanı, benzer üçgenler.

4. Rhind Papirüsü (Hiyeratik-Hiyerolif)

5. Moskova Matematik Papirüsü • Yirminci hanedanlık döneminde yazıldığı sanılıyor (İ.Ö. 1890 larda) • 1893 yılında V.S. Golonischev tarafından alınmıştır. • 5 metre uzunluğunda, 8 cm eninde • 25 problem içeriyor • Ahmes papirüsünden farklı • Kesik pramidin hacmi hesaplanmıştır

7. Eski Mısırda Aritmetik Eski mısırda aritmetik 10 lu sayı sistemine dayanır. 10 ve 10 nun katları için özel simgeler kullanılır. Yazım sağdan sola veya soldan sağa doğru

8. Çarpma ardışık toplamalar yoluyla ele ediliyor. Bir sayının 13 ile çarpması • 11 ile 13 sayısının çarpımı • Önce sayı yazılır (11) • Sonra sayının iki katı yazılır(22) • Elde edilen sayının iki katı bulunur (44) • Bir kez daha iki kat alınır (88) • Birinci üçüncü ve dördüncü sayılar toplanır (143)

9. Birim KesirlerÖrnek

10. KESİRLER Mısırda birim kesirlere örnekler

11. Bazı problemlerin teorik yanları ağır basıyor • Bilinmeyenleri göstermek için hau veya aha denilen bir hiyerolif kullanıyorlar. • Problemler, değişik bira çeşitlerinin sertlik dereceleri, hayvanların beslenmesi, tahılın depolanması, ekmek ve yiyeceklerle ilgili.

12. Örnekler • 100 somun ekmeği 5 kişi arsında, her birine düşen pay aritmetik olarak artacak ve en büyük üç payın toplamının yedide biri en küçük iki payın toplamına eşit olacak şekilde bölüştürülmesi problemi • 7 evin her birinin 7 kedisi, her kedinin kovaladığı 7 fare….problemi geometrik olarak artan bir serinin toplamını bildiklerini gösterir.

13. Eski Mısırda Geometri • Üçgenin alanı: A = a x h /2 • Dairenin Alanı: • Küp, paralelyüz, silindir ve kare pramitin, kesik kare pramitin hacmi biliniyor. • Pi sayısının değeri olarak 256 / 81 = 3,16.. • 3 + 4 + 5 = 12 düğüm bulunan iple dik üçgen oluşturuyorlar.

14. Ahmes Papirüsünde Dairenin Alanı • d dairenin çapı • d kenarlı karenin her kenarı üç eşit parçaya bölünüyor. • Dört köşede bulunan taralı alanlar atılıyor. • Geriye kalan alan d çaplı dairenin alanı oluyor.

15. Eski Mısırda Astronomi • 1 yıl, 365 gün • 1 yıl, 12 ay • 1 ay 30 gün • 5 tane bayram günleri • İ.Ö. 4212 yında takvimin hesaplanmasında, büyük köpek yıldızına ait devre denen yöntemi kullanarak takvim oluşturduklarına dair öykü vardır.

16. Eski Mısırda Pramitler • Pramitlerin yapımına, İ.Ö.4500 de başlanmış ve yapılmasına 2700 yıl devam edilmiştir. • Önce küçük bir pramit yapılıyor, onun çevresine gittikçe daha büyük taşlardan kılıflar ekliyorlardı. • Firavun mezarları olarak yapıldığı tahmin ediliyor. • En bilinenleri Keops, Kefren, Mikerinos’tur. • Günümüze 80 tanesi gelebilmiştir.

17. Mısır yazıları ve nehir aracı

19. Mezopotamya Matematiği

20. Geç Sümer Dönemine Ait Metinlerde İ.Ö 2100 • 10 lu sayı sistemi üzerine 60 lı sistemin eklendiği çarpım tabloları var. • 1, 10, 20,30,40,50 sayılarını gösteren çiviyazısı simgeler bulunur. • 1 1 sayısı 61 anlamına gelir. • 5 6 3 ün karşılığı 5x3600+6x60+3=1863 tür. • Pers dönemine kadar sıfır özel bir simgeyle gösterilmedi.

21. Sümerler Zamanında • 1 saat 60 dakikaya bölünmüş, • 1 dakika 60 saniyeye bölünmüş • Daire 360 dereceye • Her derece 60 dakikaya • Her dakika 60 saniyeye bölünmüş

22. I. Babil Hanedanlığı Dönemine (İ.Ö. 1950) ait çivi yazısı metinlerde • Birinci dereceden denklemlerle çözülen problemler • İkinci hatta üçüncü derece denklemlerle çözülen problemler • Bazı katsayılı dördüncü dereceden denklemlerin çözümü • Basit düz çizgili geometrik şekillerin alan ve hacimleri

23. İki karenin alanlarının toplamından oluşan A alanı 1000 birim karedir. Karelerden birinin kenarı, diğerinin kenarının 2/3 ünden 10 birim kısa olduğuna göre karelerin kenarlarının uzunluğu nedir? 10 un karesini al, 100 elde edilir. 1000 den 100 ü çıkart 900 elde edilir… 1000 =16x60+40 900=15x60 Devam ediliyor Sonuç 30 Örnek problem

24. Yeni Babil, Pers ve Selevkoslar Döneminde İ.Ö.600-İ.S.300 Değişik astronomik takvimler Günümüzde bile çözülmesi sayısal yeteneğe dayanan zor denklemlerin çözümü 60 lı tabana göre 17 basamağa kadar uzanan sayılarla işlemler yapıldı. Çarpım tabloları,sayıların terslerini, kareköklerini, küpköklerini gösteren listeler Özellikle şeklinde yazılabilen sayıların listesi

25. Geometri problemi ve Karekök Hesabı • A sayısının karekökünü İle hesaplıyorlar, • 2 nin kare kökü yerine 17/12 sayısını kullanıyorlardı. • Faiz problemleri çözüyorlardı

26. İki Bilinmeyenli Denklem Çözümü

28. ESKİ YUNAN • Akdeniz bölgesinde İkinci Binin son yüzyıllarında büyük iktisadi ve siyasi değişiklikler oldu. • Girit’teki Minos Uygarlığı ve Hitit İmparatorluğu yok oldu. • Mısır ve Babil’in gücü azaldı. • Museviler, Asurlular, Fenikeliler, Yunanlılar. • İki büyük buluş; Eski Doğu yazısı yerini öğrenilmesi kolay olan alfabeye bıraktı ve madeni para ortaya çıktı. • Anadolu ve Yunanistan kıyılarında yeni kentler kuruldu. • Tüccar sınıfı üstünlüğü ele geçirdi. • Uzun süre Milet öndeydi, sonra Korint, Atina, Kroton, Tarentum, Siracusa Mileti izledi.

29. ESKİ YUNAN 1. Syracuse 2. Crotona 3. Elea 4.Rome 5. Tarentum 6. Cyrene 7. Elis 8. Athens 9. Stagira 10.Abdera 11.Byzantium 12.Chalcedon 13.Nicaea 14.Cyzicus 15.Pergamum 16.Chios 17.Samos 18.Smyrna 19.Miletus 20. Cnidus 21.Rhodes 22.Perga 23.Chalcis 24. Gerasa 25.Alexandrea 26.Syene

30. Eski Yunan Matematiği • VI. Yüzyılın ilk yarısında Tales ile başlar. • Eski Yunan matematiğinin temel amacı, insanın evrendeki yerini akılcı bir biçimde açıklamaktır. • Açının üçe bölünmesi • Küpün iki katına çıkarılması • Dairenin kareleştirilmesi

31. TALES İ.Ö.640-548 Miletli Tales, bilgin, bilge, tüccar, politikacı ve iyi bir matematikçi. Milet’te okul kurdu ve Anaximander, Anaximedes, Mamercus gibi birçok öğrenci yetiştirmiştir. Mıknatısın çekim özelliğini ilk görenlerden biridir. Yunan şehirlerini bir konfederasyon haline getirmeyi istemiştir. İ.Ö. 585 yılın mayıs ayının 28. günü güneşin tutulacağını önceden tahmin etmiştir. Batı felsefesinin kurucusu sayılır. Ana maddenin su olduğunu söylemiştir.

32. İkiz kenar üçgenin taban açıları bir birine eşittir. • Ters açılar eşittir. • Bir kenarı ve o kenara bitişik açıları verilen üçgen çizilebilir. • Çapı gören çevre açı 90 derecedir. • Benzer üçgenlerde, eşit açılar karşısında bulunan kenarlar orantılıdır. • Tales’in bu teoremi ile yanına varılamayan uzaklıkların hesabı yapılabilmiştir.

35. Pisagor İ.Ö.580-495 • Sisam Adasında doğmuştur. • Filozof, politikacı, matematikçi, fizikçi, mistik bir kişilik. • Mısır ve Babil’e gitmiştir. • Politik baskılardan kaçarak Kroton’a (İtalya) gitmiş ve orada felsefe okulunu kurmuştur. • Gizli bir tarikatın başkanıdır.

36. Sayılar kuramını disiplinli bir biçimde ortaya koymuş ve özelliklerini belirlemiştir. • Yunanistan’da tümdengelimli aksiyomatik düşünceyi matematiğe Thales ve Pisagor sokmuştur. • “Evrenin hakimi sayıdır. Sayılar evreni yönetiyor.” demiştir. • Dünyanın Güneş etrafında döndüğünü söylemiştir. • “Doğadaki her şey matematiksel olarak açıklanabilir” demiştir.

37. Pisagor Teoremi • Dik kenarlar üzerine kurulan karelerin alanlarının toplamı hipotenüs üzerine kurulan üçgenin alanına eşittir. • İlk yazılı ispat Euclides’e aittir.

40. ZENON İ.Ö. 495-435 • Elea (İtalya) kentinde doğmuştur. • Yunan düşünürü ve matematikçisidir. • Atina’ya da gitmiştir. • Paradoksları ile ünlüdür. • Her türlü hareket olanaksızdır.

41. HİPPOCRATES İ.Ö. 470-377 • Chioslu Hippokrates Geometrinin Elemanları isimli kitabını, Euclides’ten yüzyıl önce yazmıştır. • Dairenin kareselleştirilmesi problemini aycıklarla karelemeye çalışmış, özel halde kareleme olmuş fakat genelini yapamamıştır. • Okulunda okuttuğu ilk geometri kitabında geometrik şekilleri harflerle isimlendirmiştir. • Çemberi ve daireyi en ince noktalarına kadar Hippocrates incelemiştir. Bununla ilgili çok sayıda önerme ve teorem ispatlamıştır.

42. Hippocrates’in dairenin bir parçasını karelemesi • AD yarıçaplı bir çember ile BD yarıçaplı çember arasında kalan aycığın alanı ile ABCD karesinin alanı birbirine eşittir.

43. ARCHYTAS İ.Ö. 428-348 • Tarentum’da (İtalya) doğmuş ünlü bir Pisagorcudur. Geometri değil yalnız aritmetik derdi. • Elements kitabını yazdı. • Küpün iki katına çıkartılması probleminin çözümünde, koni ile silindiri kesiştirerek elde ettiği şekli kullanmıştır. • Oranları müziğe uyguladı,yeni ses perdelerini ayırt eden aralıklar buldu.

44. Archytas’ın Oransızlar (İrrasyonel) Sayıları • Doğal sayıların kareköklerini öğrencisi Theodorus ile birlikte pergel ve cetvelle ilk çizen Archytas’tır. • Dik kenarları 1 birim olan dik üçgenin hipotenüsü 2 sayısının karekökünü verir. Dik kenarlardan biri hipotenüs diğeri 1 birim olan dik üçgenin hipotenüsü 3 sayısının kareköküdür.

45. Makaraları ilk kez bulan ve mekanizmasını inceleyen Archytas’tır. • Kuşların nasıl uçtuklarının mekanizmasını çizmiş, çocuk oyuncakları yapmıştır. • Müzik, aritmetik, astronomi, varlık, bilgelik, ruh, duyu, yasa, adalet, ahlak, mekanik, tarım, eğitim ve flütler gibi konularda 60 kadar kitap yazdı.

46. EUDOXUS İ.Ö.408?-355 • Knidos’lu bir düşünür, astronom ve matematikçidir. • Atina okulunda Archytas’ın yanında öğrenim gördü. • Matematik dışında tıp öğrenimi yapmış ve doktor olmuştur. • Tutarlı ve ciddi astronomi çalışmaları yapmıştır.

47. Eudoxus, alan, hacim ve bazı cisimlerin yüzölçümleri üzerinde çalışmış ve bunlar hakkında birçok teorem ispatlamıştır. • Güneş saatini bulan, yılın 365,25 gün olduğunu saptayan ilk matematikçidir. • Euclides, orantı kuramını Pisagorculardan değil, Eudoxus’tan almıştır. • Alan ve hacim hesaplarında tüketme yöntemini ilk uygulayan yine Eudoxus olmuştur. • Altın oranlar da onun tarafından incelenmiştir.

48. ALTIN ORAN • Birim kare çizilir. • Karenin alt kenarının orta noktası merkez, merkezden karşı köşeye olan uzaklık yarıçap olmak üzere bir çember çizilir. • Çemberin alt kenarının uzantısını kestiği nokta işaretlenir. • Alt kenar uzunluğu • Şekil dikdörtgene tamamlanır. Elde edilen dik dörtgene altın dikdörtgen denir.

49. Eudoxus’un evreni Evren, sabit olarak kabul edilen yere (Dünya) göre sıralanan yedi gezegenden oluşuyordu. Bunlar sırasıyla Ay, Merkür, Venüs, Güneş, Mars, Jüpiter ve Satürn idi.

50. Euclides İ.Ö.330-260 • Mısırın İskenderiye kentinde doğmuştur. • I. Ptolemaios döneminde İskenderiye’de bir okul kurarak öğretmenlik yapmıştır. • Elements adlı kitabını yazmıştır.