1. The heart of particle physics How do we predict?

2. The major phenomena we observe in particle physics are Decays and Collisions.

3. Decay衰變 Everything which is not forbidden is allowed(a principle of English Law) That which is not explicitly forbidden is guaranteed to occur. Every particle will decay if it get a chance.

4. Relativity allows particles to decay by transforming mass into energy. Heavier particles usually don’t exist in nature. They decay soon after they are produced. Decay chain will continue until it can decay no more, forbidden usually by conservation law (symmetry).

5. The only five stable particles in nature Proton Neutron Photon Neutrino Electron

6. 但中子是會衰變的！ β Decay 基本粒子是會消失而形成其他粒子的！

7. 在交互作用的交點，粒子是會消失的。

8. π子的衰變

9. Bubble Chamber picture of pions

10. 衰變是一個不確定的機率過程。 我們無法預測單一一顆中子何時衰變，只能預測衰變發生的機率。 單位時間內的衰變機率：衰變率 Γ

11. 如果是處理一大群中子，知道衰變的機率就足夠了：如果是處理一大群中子，知道衰變的機率就足夠了： 單一一顆中子的衰變機率即對應一大群中子的衰變分布。 Γ即是一個中子每秒衰變的機率! 不衰變的機率即不衰變的粒子數 隨時間以指數遞減

12. β Decay 衰變的產物可以有連續分布的可能的動量。 物理只能預測衰變為某一個動量組合的機率密度。 衰變率（機率密度）是產物粒子的能量及動量的函數。

13. 甚至衰變產物也有一個以上的可能。 不同的可能稱為 Channel 每一個 Channel 就對應一個衰變率。 總衰變率就是所有衰變率的和。 未衰變的粒子數在 t > τ後就很少了。 τ 稱為Life Time 生命期

14. π±的衰變是透過弱作用，生命期約 10-8s， π0的衰變是透過電磁作用，生命期約 10-15s， 若粒子透過強作用衰變，生命期約只有10-23s 這樣的粒子即使產生，都無法在實驗室內看到他的痕跡。

15. 這樣的粒子會以共振曲線的形式出現在其衰變產物的的散射分布上這樣的粒子會以共振曲線的形式出現在其衰變產物的的散射分布上 強作用衰變 散射率對質心能量的分布 這個過程會對以上散射率增加一個共振。 在質心能量等於共振態質量時，會被加強。 Breit-Wigner Resonance

16. 強衰變的粒子會以共振曲線出現在其衰變產物的的散射分布上強衰變的粒子會以共振曲線出現在其衰變產物的的散射分布上 共振曲線中心即粒子質量。 共振曲線寬度即衰變率。 衰變率 Γ又稱為 Decay Width

21. Collision

23. 粒子束越強，單位面積粒子數越多，反應發生的次數越多！粒子束越強，單位面積粒子數越多，反應發生的次數越多！ Event Rate 通量 LLuminosity(亮度)為單位時間通過單位面積的入射粒子數：

24. 時間內通過面積 A 的粒子數 通量 L為單位時間通過單位面積的粒子數：

25. 達到的 Luminosity 是加速器效率的度量

27. 粒子束越強，單位面積粒子數越多，反應發生的次數越多！粒子束越強，單位面積粒子數越多，反應發生的次數越多！ Event Rate 定義 dσ dσ是一個面積。稱為散射截面 Scattering Cross Section。 dσ是一個與粒子束強弱無關的量，只由該反應決定。 dσ是此反應的內在性質。 dσ一計算出來，就可以用在所有的實驗。 dσ之於 dN，就如同比熱之於熱容量。

28. 在古典散射真的是截面積 Classical Scattering Impact parameter b與散射角度 θ有一對一對應

29. 散射角在 θ與θ+dθ 間的粒子，其 b必定在對應的 b與 b+db之間 通過左方此一截面的粒子，將散射進入對應的散射角之間 故散射角為 的散射粒子數：

30. 散射截面 Scattering Cross Section L 粒子物理的粒子已不再有特定軌跡了。古典的計算已不適用。但舊稱仍沿用。 在此定義下，dσ依舊是此反應的內在性質。

34. Event recorded with the CMS detector in 2012 at a proton-proton centre-of-mass energy of 8 TeV. The event shows characteristics expected from the decay of the SM Higgs boson to a pair of Z bosons, one of which subsequently decays to a pair of electrons (green lines and green towers) and the other Z decays to a pair of muons (red lines).

35. dσ是一個垂直於射向的面積。 在沿射向的羅倫茲變換下是不變的！ Fixed Target實驗的dσ與Colliding Beam實驗一樣。

36. 生成的粒子可以觀察到軌跡

37. 因此生成的粒子可以看成波包。 Δx 粒子的動量波函數有一個分布！ 衰變率必須對動量波函數積分： Δk 假設我們對粒子位置並未太精密測量 Δp就不會太大 我們可以以 p0 的衰變率來近似！ 討論時會近似使粒子都具有一個特定動量，而忽略動量分布！

38. 先將一定會出現的 Factors從衰變率及截面中提出來。 這一些 Factors 與作用的細節無關， 只和入射粒子及產生粒子的數量與身分有關！ Phase Space Factors

39. Particle decay: 衰變後第 i 個粒子的動量在 之間的衰變率記為 dΓ py dpy dpx px 衰變率dΓ應與所產生粒子的動量所佔相空間的區間大小成正比 But this integral is not Lorentz invariant!

40. Dirac function In an integration, enforce the equation that x = a.

41. 只有在 x=±a 不為零。

42. We make it more complicated by allowing an indefinite p0 integration and then fixing it by requiring the on-shell condition: But in this form, we can be sure it is Lorentz invariant! We can perform the p0 integration to recover the 3 space form. This is Lorentz invariant.

43. 我們從衰變率再拉出這個 Factor使積分是羅倫茲不變 No matter what, the overall 4-momenta are conserved! 從衰變率再拉出一個執行動量守恆的 δfunction All the factors are Lorentz Invariant. But is M2 Lorentz invariant?

44. But M2 is not Lorentz invariant since Γ is not. For a particle, Γ transforms like 1/t1. t1 transforms like E1. 我們可以從 M2再提出一個 1/ E1 Now we can be sure M2 is Lorentz invariant. It’s called Feynman Amplitude. The Lorentz Invariance makes M2 simple.

45. Dynamic Factors由交互作用的細節決定。 Kinematic factors只和入射粒子及產生粒子的數量與身分有關！ We separate the kinematics and dynamics in such an elegant way that the still dynamic part M2 is Lorentz invariant. M2

46. Now we apply this to pion two photon decay. Choose the rest frame of pion: Total Decay Rate:

47. 式子與角度無關！

48. 若生成粒子有質量：見課本推導。 注意M2是沒有因次的。

49. Two body scattering: M2 is Lorentz invariant since dσalmost is. If we consider only Lorentz transformation along the 1-2 colliding axis, the cross section dσ is invariant! But we do want to pull out a Lorentz invariant factor that reflects the inverse luminosity that must appear in cross section:

50. Lorentz invariant factor that becomes luminosity in rest frame: In the rest frame of particle 2