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  1. Processamento de Imagens e Computação Gráfica Prof. Dr. Kamel Bensebaa Aula 4

  2. Pré-Processamento no Domínio das Freqüências • Como podemos analisar um sinal ou uma imagem no domínio espacial, podemos também analisar uma imagem no domínio de freqüências. • No domínio das freqüências as séries de Fourier e a Transformada de Fourier são ferramentas importantes para análise de sinais e imagens.

  3. Representação de sinais Onda senoidal

  4. Representação de sinais • Amplitude é uma medida escalar não negativa da magnitude de oscilação de uma onda. Dois sinais com a mesma fase, mas com amplitudes diferentes

  5. Representação de sinais • Freqüência é uma grandeza física ondulatória que indica o número de (ciclos, oscilações, etc) por unidade de tempo. • Alternativamente, podemos medir o tempo decorrido para uma oscilação. Este tempo em particular recebe o nome de período (T). • Freqüência e Período são inversamente proporcionais. • Ex: f = 2Hz  T = 0.5 s

  6. Representação de sinais Sinal com freqüência de 12 Hz Sinal com freqüência de 6 Hz

  7. Representação de sinais • Se um sinal não muda com o tempo, sua freqüência é zero. • Se um sinal muda instantaneamente, sua freqüência é infinita.

  8. Representação de sinais • A fase descreve a posição da forma de onda em relação ao tempo 0

  9. Representação de sinais Fase=0 graus Fase=90 graus Fase=180 graus Três ondas senoidais com mesmas amplitudes e freqüências, mas com fases diferentes

  10. Domínio do tempo e domínio das freqüências Onda senoidal no domínio do tempo (valor do pico: 5V, freqüência: 6Hz Onda senoidal no domínio das freqüências (valor do pico: 5V, freqüência: 6Hz Uma onda senoidal completa no domínio do tempo pode ser representada como um simples pulso no domínio da freqüência.

  11. Domínio de freqüências • O domínio de freqüência é mais compacto é útil quando se estar trabalhando com mais de um sinal senoidal. Representação de três ondas no domínio do tempo com freqüências 0, 8, 16. Representação das três ondas no domínio de freqüência. Domínio do tempo e domínio de freqüência para três ondas senoidas.

  12. Séries de Fourier • Funções periódicas • Considerando por exemplo as funções trigonométricos: seno, cosseno, tangente, etc. • Uma função seno(x) é periódica se sua forma se repete a cada período. • A figura mostra que a função seno(x) se repete a cada período 2. O valor máximo da função chamado amplitude é igual a 1.

  13. Séries de Fourier • Funções periódicas • A função cosseno é também periódica com o mesmo período e amplitude que a função seno, mas deslocada de /2 em relação a função seno.

  14. Séries de Fourier • Funções periódicas • A figura mostra uma função que é também periodica mas não é uma função cosseno nem seno. Como achar uma função matemática que descreve uma curva representada pela figura?

  15. Séries de Fourier • Fourier descobriu, no início do século 19 que qualquer função periódica, por mais complicada que seja, pode ser representada como a soma de várias funções seno e cosseno com amplitudes, fases e períodos escolhidos convenientemente. • Em outras palavras Fourier descobriu se uma função f(t) é periódica, ela pode ser expressa como uma série infinita de funções trigonométricas na forma: • onde a0, an, bn são os coeficientes de Fourier • 0=2/T freqüência angular em rad/s • n0=Harmônicos, n é número inteiro>1

  16. Séries de Fourier • A função f(t) é periódica de período fundamental T quando • f(t)=f(t+T) • T: período Fundamental • Coeficientes de Fourier:

  17. Exemplo: Características do Som • São três os parâmetros que definem um Som: A sua freqüência, ou número de vibrações produzidas por segundo, a sua intensidade, ou o quanto  forte ou quanto potente é o som, e o timbre, característica que dá identidade a um instrumento, ou seja sabemos qual instrumento está emitindo um som. • Num concerto musical, podemos observar nos momentos que antecede a apresentação musical, os músicos afinando seus instrumentos; tomando por base a nota la3 = 440 Hz, ou ciclos por segundo - e se um violino e um piano emitem a mesma nota la3, embora a freqüência seja a mesma sabemos identificar qual o som que vem do piano e qual o som que vem do violino.

  18. Exemplo: Características do Som • Por que? Porque o conteúdo harmônico desse som é diferente para um e para outro instrumento. Quando um instrumento gera um som, além da freqüência fundamental, ele gera freqüências superiores de ordem par e ordem ímpar em relação à freqüência fundamental, além do que os harminicos são diferentes também na amplitude. Portanto a forma de onda desses instrumentos são diferentes e nosso ouvido percebe muito bem isso. Por esse mesmo motivo sabemos distinguir a voz de um interlocutor se é o individuo A, B, ou C. • É claro que esta é uma análise físico-matemática do som, mas certamente que o  o músico, o maestro, o compositor, acrescentará uma outra característica fundamentalmente importante, que é a DURAÇÃO DO SOM.

  19. Descoberta de Fourier • O matemático francês J. Fourier provou matematicamente que qualquer forma de onda, independente da sua origem, é um somatório de ondas senoidais de diferentes freqüências, amplitudes e fases. • Ele mostrou que se a forma de onda se repete periodicamente, então as freqüências das componentes senoidais são restritas a valores múltiplos da freqüência de repetição da forma de onda. • Um sinal periódico qualquer é composto de (ou pode ser decomposto em) uma serie de ondas senoidais com freqüência múltiplas inteiras da freqüência  fundamental f, cada uma com uma determinada amplitude e uma determinada fase, mais uma componente continua (de freqüência zero. • As ondas senoidais múltiplas inteiras n da fundamental são chamadas harmônicos de ordem n.

  20. Séries de Fourier • A transformada de Fourier representa a soma de uma série de formas de onda senoidais com diferentes amplitudes, fase e freqüência.

  21. Séries de Fourier • A teoria de Fourier nos fornece uma maneira de expressar os sinais no domínio da freqüência. • Aumentando-se a quantidade de harmônicos para compor a forma de onda mais semelhança esta terá com sinal original. • Como é impossível projetar um sistema que suporte um número infinito de freqüências ( largura de banda infinita), uma reprodução perfeita do sinal original será impossível. • Em muitos casos eliminando alguns harmônicos não se altera o sinal significativamente.

  22. Séries de Fourier para k=1 Seja a função:

  23. Séries de Fourier para k=2

  24. Séries de Fourier para k=5

  25. Série de Fourier Complexa • Pode-se também representar a função f(t) através de uma série de Fourier complexa. • Os coeficientes Cn são números complexos caracterizados por: • Uma parte real e uma parte imaginaria • Um módulo e uma fase

  26. Série de Fourier Complexa • A escolha de representar f(t) pelas equações (1) e (2) depende da aplicação ou do contexto físico. • No estudo de sinais digitais ou processamento de imagens é preferível trabalhar com série de Fourier complexa. • Da mesma forma que uma função periódica pode ser representada como uma série real ou complexa, pode-se também representar uma função não periódica através de uma integral real ou complexa chamada também Transformada de Fourier.

  27. Motivos para estudar espectro de Fourier • Séries de Fourier são utilizadas no estudo de sinais periódicos, enquanto que Transformadas de Fourier são utilizadas no estudo de sinais não periódicos. • O espectro de um sinal é um objeto matemático apropriado para descrever, de uma forma bastante conveniente, um sinal a partir da variável que representa a freqüência angular do sinal, do que através de uma curva em função do tempo, além de informar a medida da freqüência do sinal. • Embora uma série de Fourier com coeficientes reais pode ser obtida mais facilmente do que a série de Fourier com coeficientes complexos, às vezes, usamos a série complexa que possui características matemáticas do sinal de uma forma mais sintetica, além de ser exatamente por este meio que podemos obter mais facilmente a fase e a amplitude do sinal.

  28. Transformada de Fourier contínua • A transformada de Fourier é uma importante ferramenta que permite representar no domínio de freqüência um sinal ou uma imagem a partir da sua representação no domínio do tempo. • Se f (t ) for real o teorema de Fourier estabelece que a função ou Transformada de Fourier simbolizada por é a seguinte • A função inversa simboliza a transformada inversa ou seja a obtenção de f (t) por intermédio de F ()

  29. Transformada de Fourier discreta (1D) • A transformada de Fourier discreta F (u) de uma função f(x) de uma variável x=0,1,2,,...,M-1 é dada pela equação • Define-se a correspondente transformada de Fourier inversa da seguinte forma: • O conceito do domínio de freqüência decorre da formula de Euler • Portanto

  30. Transformada de Fourier discreta (2D) • Em duas dimensões, a transformada de Fourier discreta F (u,v) de uma função f(x,y) é dada pela equação • Define-se a correspondente transformada de Fourier inversa da seguinte forma: • Segundo Euler podemos escrever ou

  31. Transformada de Fourier discreta (2D) • Magnitude ou espectro • Espectro de freqüência: conjunto de componentes de freqüência de um sinal • Ângulo de fase • O espectro de potência ou densidade espectral é definido por:

  32. Propriedade da Translação Transformada de Fourier discreta • Transformada de Fourier a duas dimensões • En geral, multiplica-se a função de entrada por (-1)x+y para « centralizar » a função transformada. (-1)x+y = (ej)x+y

  33. Propriedade da Translação Transformada de Fourier discreta • Transformada de Fourier a duas dimensões • É natural ver a origem das freqüências no centro do espectro. Isso não muda a informação contida no espectro. • Translação da origem de F(u, v) para (M/2, N/2) • Baixas freqüências no centro do espectro

  34. Representação freqüêncial da Transformada de Fourier Freqüência nula ou valor médio da imagem Baixas freqüências Freqüências intermédiarias Altas Freqüências

  35. Propriedade da Translação Transformada de Fourier discreta origem origem Transformada sem deslocamento Imagem Original Exemplo: Transformada com origem no centro da matriz

  36. Propriedade de Rotação da Transformada de Fourier discreta • Introduzindo coordenadas polares f(x,y) e F(u,v) se tornam f(r,) e F(, ) Exemplo: Imagem original Espectro Imagem rotacionada Espectro resultante

  37. Filtragem em Freqüência relações espaço × freqüência imagem transformada • Características: • bordas a ±45º • duas incrustações de óxido imagem microscópica de um circuito integrado

  38. Transformada Rápida de Fourier (FFT) • A implementação da Transformada discreta de Fourier , também conhecida como DFT (Discret Fourier Transform) , veio ser prática em 1965 quando Cooley e Turkey descreverem um algoritmo para computar a DFT de forma bem eficiente. Seu algoritmo tornou-se conhecido como a Transformada rápida de Fourier ou FFT (Fast Fourier Transform). • Usando o algoritmo da FFT, a DFT pode ser computada em milissegundos em vez de horas como era feita em décadas passadas. • A computação direta da DFT de uma função contendo N pontos, requer N2 operações; onde uma operação é definida como uma multiplicação mais uma adição. O algoritmo de Cooley e Turkey requer aproximadamente Nxlog2N operações, sendo N potência de 2.

  39. Série de Fourier e Transformada de Fourier • As representações da série de Fourier e da transforma de Fourier têm uma importante característica. Podem ser reconstruídas (recuperadas) completamente por um processo inverso sem perda de informação.

  40. Pré-Processamento no Domínio Frequencial • O processamento no domínio das freqüências costuma ser mais custoso e demorado, devido ao número maior de etapas de processamento a serem cumpridas, e pela natureza das máscaras de convolução freqüenciais, que são bem maiores do que as utilizadas no processamento espacial.

  41. Filtragem espacial – Filtragem freqüencial • Pelo teoria da convolução, se f(x,y) é a imagem da cena original e h(x,y) é a função de transferência linear, a imagem de saida é a seguinte: • Essa operação equivale no domínio de freqüência a produto da imagem de entrada e a função de transferência do sistema de imageamento. • Isso significa que dependendo do tamanho da mascara de convolução e mais vantajoso multiplicar os espectros de freqüências e depois calcular a transformada inversa de Fourier

  42. Filtragem espacial – Filtragem freqüencial • Pelo teoria da convolução, se f(x,y) é a imagem da cena original e h(x,y) é a função de transferência linear, a imagem de saida é a seguinte: • Essa operação equivale no domínio de freqüência a produto da imagem de entrada e a função de transferência do sistema de imageamento. • Isso significa que dependendo do tamanho da mascara de convolução e mais vantajoso multiplicar os espectros de freqüências e depois calcular a transformada inversa de Fourier

  43. Filtragem espacial – Filtragem Freqüencial Teorema de convolução Domínio espacial Domínio freqüencial Convolução Multiplicação

  44. Filtragem no Domínio da Freqüência procedimento × domínio do espaço H(u,v) parte real (4) (1) (3) Transformada Inversa de Fourier Transformada de Fourier f(x,y) g(x,y) (2) F(u,v) G(u,v) domínio da freqüência

  45. Filtragem no Domínio da Freqüência procedimento • Centrar a transformada multiplicando a imagem por (-1)x+y • Calcular F(u,v), a transformada discreta de Fourier da imagem • Multiplicar F(u,v) por uma função filtro H(u,v) • Calcular a transformada discreta inversa que produz a nova imagem realçada • Obter a parte real • Multiplicar o resultado por (-1)x+y • Resumindo G(u,v)=H(u,v) F(u,v)

  46. Filtragem no Domínio da Freqüência procedimento • Outra forma de explorar o teorema de convolução é o projeto de filtros no domínio de freqüência. • Sabe-se que na região de bordas e outras transições abruptas de níveis de cinza correspondem a componentes de altas freqüências, enquanto as baixas freqüências representam regiões homogêneas na imagem original. • Neste contexto, para manipular esses componentes existem três tipos de filtros • Passa-baixa • Passa-alta • Passa-faixa

  47. Filtragem no domínio da freqüência • Três tipos de filtragem • Filtros passa-baixa (suavização – borramento). • Preserve as baixas freqüências espaciais. • Suprime as altas freqüências espaciais • Filtros passa-alta (realce das bordas – aguaçamento) • Preserve as altas freqüências espaciais • Suprime as baixas freqüências espaciais • Filtros passa-faixa (restauração de imagens) • Preserve especificas freqüências espaciais • Suprime outras freqüências espaciais • Baixas freqüências: área de suavização • Altas freqüências: detalhes, como bordas e ruídos

  48. Filtragem no domínio das Freqüências • A transformada de Fourier apresenta: • Média no centro (componente DC) • As baixas freqüências – nível de cinza das superfícies suaves (smooth) • As altas freqüências - detalhes, bordas e ruído (sharp) • É possível criar filtros para a atenuação de freqüências específicas • Filtros passa-faixa, passa-baixa, passe-alta, Gaussiano, …

  49. Filtragem no domínio das Freqüências • Filtre passa-faixa • Filtres passa-baixa (lowpass-smoothing) • Ideal • Butterworth • Gaussien • Filtres passa-alta (highpass-sharpening) • Ideal • Butterworth • Gaussien

  50. Filtro passa-baixa ideal • Filtro passa-baixa ideal • Corta todas as altas freqüências depois uma distância D0 do centro • Distância do centro (M/2, N/2)