Logica Matematica Seconda lezione
Teoria Formale AssiomaticaL Linguaggio formale per il calcolo proposizionale.
1 È dato un insieme al più numerabile di simboli. In L i simboli sono: • connettivi primitivi, negazione, implicazione • parentesi (,) • lettere enunciative A1, A2,...An. Una sequenza finita di simboli si chiama Espressione.
2 Le formule ben formate sono particolari espressioni individuate dalla definizione seguente: • (a) Le lettere enunciative sono f.b.f. • (b) Se A e B sono f.b.f. lo sono anche (A) e (AB). A: negazione di A; AB: A implica B.
3 Si privilegia un insieme di f.b.f. da chiamare Assiomi. La teoria si dice assiomatica se esiste un procedimento che permette di decidere effettivamente se una fbf è un assioma. Nel nostro caso gli assiomi (o, più precisamente, schemi di assiomi) sono:
Schemi di Assiomi di L A1 (A (BA)) DaA segue ( B implica A). A2 ((A(BC)) ((AB)(AC)) ) Se da A segue (B implica C), da (A implica B) segue (A implica C). A3 ((BA) (( BA)B)). Se da (non B) segue (non A), da ((non B) implica A) segue B. RITORNO
4 Regole di inferenza Esiste un insieme finito di relazioni tra fbf dette regole di inferenza. In L abbiamo una sola regola di inferenza, il Modus Ponens (M P): - Date le fbf. A e AB, - B risulta conseguenza diretta di A e AB.
Dimostrazione Sequenza di formule ben formate i cui elementi sono assiomi o conseguenze dirette di fbf precedenti per mezzo di una delle regole di inferenza (M P).
Teorema Una fbf A con la proprietà che esiste una dimostrazione la cui ultima fbf è A.
Decidibilità La teoria si dice decidibile quando esiste un procedimento meccanico che permette di stabilire se una qualsiasi fbf è un teorema oppure no.
Conseguenza Una fbf A si dice conseguenza di un insieme • di fbf. se A è l’ultima fbf di una sequenza che contiene assiomi, conseguenze dirette e fbf. di . Si ha, in tal caso, una deduzione di A da . Si usa scrivere: |A. Quando è l’insieme vuoto, si scrive |A. In quest’ultimo caso, A è un teorema.
Esempio di teorema in L • Lemma 1.7|AA. 1) ( (A ((AA)A) ) ( (A(AA)) (AA) ) ) (A2) 2) (A ((AA)A)) (A1) 3) ( (A(AA)) (AA) ) 2), 1), MP 4) ( (A(AA)) (A1) 5) (AA) 4), 3), MP Nelle applicazioni degli schemi di assiomi si sostituisce B con (A A) Schemi di assiomi
Principio d’induzione finita Data una proposizione Pn, si supponga che siano soddisfatte le seguenti condizioni: 1) P1 è vera; 2) Supposta vera Pn, si riesce a dimostrare che è vera anche Pn+1. ___________________ Si può, allora, affermare che Pn è vera per ogni n.
Principio d’induzione finita:esempio La somma dei primi n numeri dispari è n2. L’affermazione è vera per n=1. Supposto, per ipotesi induttiva, che l’affermazione sia vera per n numeri dispari (cioè che 1+3+...+2n-1= n2), bisogna far vedere che essa risulta vera anche per n+1.
Principio d’induzione finita:esempio Infatti, l’(n+1)esimo numero dispari si scrive 2(n+1)-1 = 2n+1 e, sommandolo a n2, si ottiene n2+2n+1=(n+1)2
Teorema di deduzione Se,A | Ballora|AB. (Se B è una conseguenza delle ipotesi e A, allora AB è una conseguenza di ). In particolare, nel caso in cui è l’insieme vuoto, si ha che: seA |B allora |AB. (Se B è una conseguenza di A, allora AB è un teorema).
Dimostrazione Sia B1,B2,...Bn=B una deduzione di B da ,A. Il teorema è vero per n=1: - Se B1è un assioma o B1, poiché anche (B1 (AB1)) è un assioma , per MP si ottiene |AB1. - Se B1 è A, per il lemma precedente si ha che |AA e, a maggior ragione, | AA. SCHEMI DI ASSIOMI
Per ipotesi induttiva, sia il teorema vero per ogni k<i: |ABk. Bisogna far vedere che: |ABi. Se Bi è un assioma, Bi, Bi è A, si procede come nel caso i=1.
Se Bi è ottenuto per MP da due elementi precedenti della sequenza, essi dovranno assumere la forma Bj e (BjBi) e, per ipotesi induttiva, si avrà : • |ABj e |A(BjBi). Ma ((A (BjBi) ) ( (ABj) (ABi) )) è un assioma e, per MP applicato due volte, si otterrà, finalmente, |ABi.
Proposizione 1.11 • Ogni teorema di L è una tautologia. Infatti, gli assiomi sono tautologie e l’MP fa passare da tautologie a tautologie.
Corollario 1.9a) AB, BC|AC Dimostrazione 1) AB ip 2) BC ip. 3) A ip. 4) B 1, 3, MP 5) C 2, 4, MP _________________ AB, BC , A |C Per il teorema di deduzione AB, BC|AC RITORNO
Corollario 1.9b) A (BC), B |AC Dimostrazione 1) A (BC) ip 2) A ip. 3) B ip. 4) BC 1, 2, MP 5) C 3, 4, MP _________________ A (BC), B, A |C Per il teorema di deduzione A(BC), B |AC RITORNO
Lemma 1.10 a)|BB. 1) (BB)((BB) B) A3 2) ( BB) lemma 1.7 3) ( BB) B 1, 2, cor. 1.9b 4) B (BB ) A1 5) BB3, 4, cor.1.9a Corollario 1.9a) Corollario 1.9b) Assiomi
Lemma 1.10 b) |BB. 1) (BB)((BB) B) A3 2) (BB) Lemma1.10a 3) ( BB) B 1, 2, MP 4) B (BB ) A1 5) BB3,4,cor. 1.9a ASSIOMI RITORNO
C) |A (AB). 1) A ip. 2) A ip. 3) A (BA) A1 4) A(BA) A1 5) BA 2, 3, MP 6) BA 1, 4 MP 7) (BA) ((BA)B) A3 8) (BA) B 6, 7, MP 9) B 5, 8, MP ________________________________________ Perciò A, A|B e, per il teorema di deduzione, |A(AB). RITORNO
d) | (BA) (AB) 1) BA ip. 2) A ip. 3) (BA ) (BA)B A3 4) A(BA) A1 5) (BA)B 1, 3, MP 6) AB 4, 5, cor. 1.9a 7) B 2, 6, MP Perciò (BA), A |B) e, con due successive applicazioni del teorema di deduzione | (BA) (AB)
e)| (AB)(BA) 1)AB ip. 2)AA parte a) 3)AB 1, 2, cor.1.9a) 4)BB parte b) 5)AB 3, 4, cor.1.9a) 6)(AB) (BA) parte d) 7)(BA) 5, 6. MP _____________________________________ Perciò AB |BA e, per il teorema di deduzione | (AB) (BA).
f) |A(B(AB) 1) A ip. 2) AB ip. 3) B 1, 2, MP Perciò A, AB|B e, per il teorema di deduzione, |A((AB)B). 4)A((AB)B) 5)((AB)B).(B(AB)) Lemma 1.10 e) 6)A(B(AB) 4, 5, cor.1.9a RITORNO
g) | (AB)((AB)B) 1) (AB) ip. 2) AB ip. 3) (AB) (BA) parte e) 4) BA 1, 3, MP 5) (AB) (BA) parte e) 6) BA 2, 5, MP 7) (BA)(BA)B A3 8) (BA)B 6, 7, MP 9) B 4, 8, MP Perciò AB, AB|A e, per il t. di deduzione | (AB)((AB)B). RITORNO
Lemma 1.12 Sia A una fbf e B1,..., Bk le lettere enunciative che occorrono in A. Per una data assegnazione di valori di verità a B1,..., Bk, siano B’1,..., B’k tali che B’i sia Bi se Bi assume il valore di verità V, B’i sia Bi se Bi assume il valore F. In maniera analoga A’ sarà A se quest’ultima assume il valore V, A’ sarà A se A assume il valore F. Allora B’1,..., B’k |A’.
Esempio di applicazione del lemma 1.12
Dimostrazione del lemma 1.12 Se n=0 allora A è una lettera enunciative B1 e il lemma si riduce a B1| B1 e B1|B1. Supponiamo che il lemma valga per tutte le fbf con un numero di connettivi primitivi j < n:
1) A è B. B ha meno occorrenze di A . a) B ha il valore V e A ha il valore F. B’ è B e A’ è A.Per ipotesi induttiva B’1,..., B’k |B e, poiché BB** si ha, per MP, B’1,..., B’k|B, cioè B’1,..., B’k|A’ ** lemma 1.10b LEMMA 1.10
b) B ha il valore F e A il valore V. B’ è B e A’ è A. Per ipotesi induttiva B’1,..., B’k|B, cioè B’1,..., B’k|A’
2) A è (BC). Poiché B e C hanno meno occorrenze di A per ipotesi induttiva si avrà B’1,..., B’k|B’e B’1,..., B’k|C’. a) B ha il valore F e A il valore V. B’1,..., B’k|B e B’1,..., B’k | (BC)***. Ma (BC) è A’, per cui B’1,..., B’k |A’ *** Lemma 1.10c)
b)C ha il valore V e, quindi, A il valore V. B’1,..., B’kC e, per lo schema d’assiomi A1 e MP, B’1,..., B’kBC. Quindi, B’1,..., B’kA’.
c) C ha il valore F e B il valore V, quindi A ha il valore F. B’1,..., B’k|C, quindi, B’1,..., B’k|(BC)****. Poiché (BC) è A’, si ha la tesi. **** Lemma 1.10f)
Teorema di completezza Se una formula ben formata è una tautologia, allora essa è un teorema di L.
Dimostrazione : essendo A una tautologia, essa ha sempre il valore V. Il lemma 1.12 dà le due relazioni di deduzione: B’1,...,B’k-1, Bk |A B’1,...,B’k-1,Bk|A. Per il teorema di deduzione si ha B’1,...,B’k-1 | Bk A B’1,...,B’k-1 |BkA. Si ha, quindi, B’1,...,B’k-1 |A.***** Applicando k volte questo procedimento si ottiene |A. ***** Lemma 1.10g)
Corollario 1.15 Il sistema L è consistente, cioè non esiste alcuna fbf. A tale che tanto A quanto A siano teoremi di L. Dimostrazione. Ogni teorema di L è una tautologia e, dato che la negazione di una tautologia non può essere, a sua volta, una tautologia, si ottiene la tesi.
Si osservi che L è consistente se e solo se non tutte le sue fbf sono teoremi. Infatti, se L è consistente , le negazioni dei teoremi sono fbf che non sono teoremi. .
Viceversa, se L è inconsistente (cioè, se ammette come teoremi una fbf e la sua negazione), allora, 1) A ip. 2) A ip. 3) A (AB) lemma 1.10c 4) A B 1, 3, MP 5) B 2, 4, MP
Perciò, se L è inconsistente, qualsiasi formula ben formata B è un teorema di L. Una teoria nella quale non tutte le fbf sono teoremi è detta assolutamente consistente..
Indipendenza di assiomi Proposizione 1.16. Ogni schema di assiomi A1-A3 è indipendente. Dimostrazione. Indipendenza di A1. Si considerino le seguenti tavole:
“Negazione” A A 0 1 1 1 2 0
“Condizionale”
Se una formula ben formata A assume sempre il valore 0, diciamo che Aè unascelta. • L’MP fa passare da fbf scelte a fbf scelte. Gli schemi di assiomi A2 e A3 sono scelti, mentre A1 non è scelto. Con tecniche analoghe si fa vedere l’indipendenza degli altri schemi di assiomi.
