240 likes | 507 Vues
BAB 4 MASALAH NILAI EIGEN. TEOREM GERSCHGORIN KAEDAH KUASA KAEDAH KUASA BESERTA ANJAKAN ASALAN. PENGENALAN. Dlm SPL terdpt 2 kaedah lelaran. Lelaran blh menumpu kerana wujudnya sifat dominan pepenjuru tegas di dalam matriks A
E N D
BAB 4MASALAH NILAI EIGEN TEOREM GERSCHGORIN KAEDAH KUASA KAEDAH KUASA BESERTA ANJAKAN ASALAN
PENGENALAN • Dlm SPL terdpt 2 kaedah lelaran. • Lelaran blh menumpu kerana wujudnya sifat dominan pepenjuru tegas di dalam matriks A • Sifat dominan pepenjuru tegas blh dikaitkan dgn suatu nilai tersirat pd matriks tersebut => nilai ini dikenali sbg nilai eigen • Kepentingan nilai eigen bg kaedah berlelaran: • Blh menentukan samaada lelaran blh menumpu/tidak. • Jika magnitud < 1 bg semua nilai eigen => lelaran akan menumpu dan sebaliknya
Pertimbangkan SPL berikut: Av = v dimana adalah pemalar. • Jika wujud pemalar dan v sebagai vektor tak sifar yg memenuhi persamaan di atas maka: • adalah nilai eigen bg A • v sbg vektor eigen yg sepadan • Apabila SPL bg btk Av = v ditulis dgn menggunakan matriks identiti maka ia bertukar btk seperti berikut => Av = Iv dgn I adlh matriks identiti. • Maka ia juga blh ditulis spt berikut => v(A-I)=0
Jika matriks A : dan B adalah - é ù 3 2 1 - é ù 3 2 ê ú • Cth: = = - A B 1 3 1 maka : ê ú ê ú - 1 5 ë û ê ú - - 1 2 4 ë û - - l - é ù é ù é ù 3 2 1 0 3 2 - l = - l = A I ê ú ê ú ê ú - - - l 1 5 0 1 1 5 ë û ë û ë û - - l - é ù é ù é ù 3 2 1 1 0 0 3 2 1 ê ú ê ú ê ú - l = - - l = - - l dan B I 1 3 1 0 1 0 1 3 1 ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú - - - - - l 1 2 4 0 0 1 1 2 4 ë û ë û ë û
Selesaikan |A- I| = 0 dan |B – I| = 0 P1() = 2-8 +13 P2() = -3 + 2 2 +16 -25
Bilangan nilai eigen bergantung kpd saiz sesuatu matriks: • matriks 2x2 => ada 2 nilai aigen • matriks 3x3 => ada 3 nilai aigen • matriks nxn => ada n nilai aigen • Ada beberapa kaedah yg sesuai utk mendptkan . • Teorem berikut perlu diketahui yg blh membantu memudahkan kiraan utk matriks A bersaiz nxn dgn nilai eigen i dimana i=1,2,3,….,n
Teorem 1 Hasil tambah nilai eigen = hasil tambah unsur pepenjuru • Teorem 2 Hasil darab nilai eigen = nilai penentu A
TEOREM GERCHGORIN • Digunakan utk menganggarkan nilai • Caranya: • Menentukan pusat bulatan dan jejari bulatan • Bg matriks A: • pusat bulatan => unsur pepenjuru aii • jejari bulatan => jumalah unsur lain (dlm nilai mutlak) pd baris yg sama • Dgn itu bulatan yg dihasilkan menjadi anggaran kpd yg dicari • Bulatan terbesar dihasilkan yg mencakupi semua bulatan ini menjadi anggaran kasar kesemua nilai eigen yg ada
contoh é ù 3 -2 1 ê ú -1 3 1 ê ú ê ú 1 -2 -4 ë û • Baris pertama • Pusat 3 jejari |-2|+|1| = 3 • Baris kedua • Pusat 3 jejari |-1| + |1| = 2 • Baris ketiga • Pusat –4 jejari |1| + |-2| = 3 -7 0 3 6 Anggaran nilai eigen (-7, 6)
KAEDAH KUASA • Digunakan utk mengira nilai eigen dominan dan vektor eigen • Nilai eigen dominan => nilai eigen yg mempunyai modulus terbesar • max(|1|, |2|, |3|,….., |n|) • Rumus Kaedah Kuasa :
Langkah-langkah penyelesaian Kaedah Kuasa: • Dapatkan iaitu permulaan pada k = 0 dengan diberi nilai awal bg vektor eigen, • Kenalpasti nilai eigen dominan drpd • Nilai eigen dominan di notasikan sbg • Dapatkan nilai berdasarkan kepada nilai yang diperolehi berdasarkan kepada rumus Kaedah Kuasa • Semak penumpuan berdasarkan kepada syarat jika tidak memenuhi syarat teruskan lelaran • Nilai eigen yg di cari adlh berdasarkan kpd nilai apabila lelaran sudah menumpu. • Utk menyemak sama ada nilai eigen yg diperolehi BENAR atau TIDAK pastikan nilai eigen tersebut memenuhi persamaan berikut AV= V = 1/ k V
contoh contoh é ù 1 2 -1 ê ú 1 0 1 ê ú ê ú 4 -4 5 ë û • Vektor permulaan v0 = [0, 0, 1]T m0 = 0 • v = Av(0) = é ù é 0 ù é -1 ù 1 2 -1 ê ú ê ú ê ú = m1 = 5 0 1 1 0 1 ê ú ê ú ê ú 1 5 ê ú ê ú ê ú 4 -4 5 ë û ë û ë û é -0.2 ù |v1 – v0|> teruskan • v(1) = v/m1 ê ú 0.2 ê ú 1.0 ê ú ë û
Samb. contoh v = Av(1) = é ù é -0.2 ù é -0.8 ù 1 2 -1 ê ú ê ú ê ú = m2 = 3.4 0.2 0.8 1 0 1 ê ú ê ú ê ú 1.0 3.4 ê ú ê ú ê ú 4 -4 5 ë û ë û ë û é -0.235 ù |v2 – v1|> teruskan • v(2) = v/m2 ê ú 0.235 ê ú 1.0 ê ú ë û
Samb. contoh mk+1 k v(k) Av(k) 0 1 2 3 4 5 6 7 0 -0.2 -0.235 -0.245 -0.248 -0.249 -0.250 -0.250 5 3.4 3.12 3.04 3.016 3.008 3.000 5 3.4 3.12 3.04 3.016 3.008 3.000 0 0.2 0.235 0.245 0.248 0.249 0.250 0.250 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -0.8 -0.765 -0.755 -0.752 -0.751 -0.750 1 0.8 0.765 0.755 0.752 0.751 0.750 |v7 – v6| < , maka 1 m7 = 3.000 dan v 1 v7 = (-0.250, 0.250, 1.000)
Kaedah kuasa berserta anjakan asalan • Kaedah kuasa boleh digunakan utk mencari nilai eigen yg lain • A – pI, p faktor anjakan • Jika p adalah nilai eigen dominan bg A, maka matriks A-pI akan memberikan nilai eigen dominan yg baru, *. • Nilai eigen terkecil bg A boleh diperolehi spt berikut • k = p + *
Kaedah kuasa berserta anjakan asalan Teorem: Jika adalah nilai eigen bg A maka -p adalah nilai eigen bagi A-pI sepadan dgn vektor eigen v yg sama Oleh itu, jika {1 , 2 ,…N } adalah nilai eigen bg A bersaiz NxN dgn | 1 | | 2 | … | k | dan p= 1 (nilai eigen dominan bg A), nilai eigen bg A- 1 I adalah {1- 1 , 2 - 1 ,… N - 1 } dgn keadaan 0 | 2 - 1 | …<| N - 1 |. N - 1 menjadi eigen domain bg A- 1 I Katalah *= N - 1 Maka N = * + 1 eigen terkecil
contoh é ù 1 2 -1 ê ú A= 1 0 1 ê ú ê ú 4 -4 5 ë û • Dpd contoh sebelum, diperolehi nilai eigen dominan bg matriks A , 1= 3.0 v1 = [-0.25,0.25,1.00] • Dapatkan nilai eigen terkecil. • Penyelesaian: • Kira B = A- 1 I dgn 1= 3.0 é ù -2 2 -1 é ù é ù 1 2 -1 1 0 0 ê ú ê ú ê ú - 3 = 1 -3 1 1 0 1 0 1 0 ê ú ê ú ê ú ê ú 4 -4 2 ê ú ê ú ë û 4 -4 5 0 0 1 ë û ë û
Samb. contoh v = Bv(0) dgn v (0) = [0, 1, 0] dan = 0.001 é ù é 0 ù é 2 ù 1 2 -1 ê ú ê ú ê ú = m1 = -4 1 -3 1 0 1 ê ú ê ú ê ú 1 -4 ê ú ê ú ê ú 4 -4 5 ë û ë û ë û é -0.5 ù |v1 – v0|> teruskan • v(1) = v/m1 ê ú 0.75 ê ú 1.0 ê ú ë û
Samb. contoh mk+1 k v(k) Av(k) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -4 -3 -2.332 -2.144 -2.068 -2.032 -2.016 -2.008 -2.004 -2.000 -4 -3 -2.332 -2.144 -2.068 -2.032 -2.016 -2.008 -2.004 -2.000 1 0.75 0.583 0.536 0.517 0.508 0.504 0.502 0.501 0.5 0.5 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1.5 1.166 1.072 1.034 1.016 1.008 1.004 1.002 1.000 -3 -1.75 -1.249 -1.108 -1.051 -1.024 -1.012 -1.006 -1.003 -1.000 |v7 – v6| < , maka * m10 = -2.00 dan v* v10 = (-0.5, 0.5, 1.0) Maka nilai eigen terkecil 3 = *+1 = -2.0 + 3.0 = 1.0
Samb. contoh Oleh kerana matirks A bersaiz 3 x 3, maka 2boleh ditentukan dari rumus n n å å a l = ii i = = 1 1 i i 1+ 2+ 3 = a11+ a22 + a33 = 1+0+5 = 6 2 = 6-1.0-3.0 = 2.0