Download
nilai dan vektor eigen n.
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Nilai dan Vektor Eigen PowerPoint Presentation
Download Presentation
Nilai dan Vektor Eigen

Nilai dan Vektor Eigen

390 Views Download Presentation
Download Presentation

Nilai dan Vektor Eigen

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. Nilai dan Vektor Eigen Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  2. Mengingat kembali: perkalian matriks • Diberikan matriks A2x2 dan vektor-vektor u, v, dan w • Hitunglah Au, Aw, Av. Manakah dari hasil kali tersebut yang hasilnya adalah vektor yang sejajar dengan vektor semula Jawab: v dan Av sejajar w dan Aw sejajar u dan Au TIDAK sejajar Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  3. Mengingat kembali: SPL homogen dan determinan • A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian trivial saja. Apa kesimpulanm tentang A? 2. A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian TIDAK trivial. Apa kesimpulanmu tentang A dan det(A)? Jawaban: A mempunyai inverse. Det(A) ≠ 0 Jawaban: A tidak mempunyai inverse. Det(A) = 0 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  4. Perkalian vektor dengan matriks A x = λ x Ax x x Ax x dan Ax sejajar Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  5. = 2 = k = 1 10 1 5 2 0 24 4 8 4 4 Perkalian vektor dengan matriks Au = 2u Av = v Aw≠ kw y y y x x x Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  6. Definisi: Nilai dan Vektor Eigen Definisi: Diberikan matriks Anxn, vektor tak nol v diRn disebut vektor eigen dari A jika terdapat skalar sedemikian hingga Av = λv. λ disebut nilai eigen, x adalah vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan λ . Syarat perlu: v ≠ 0 (3) -1 ≤ λ ≤ 0 (1) λ≥ 1 (2) 0 ≤ λ ≤ 1 • (4) λ ≤ - 1 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  7. Masalah Vektor Eigen Diberikan matriks persegi A, A sejajar x x A = λ x x Temukan semua vektor tidak nol x sedemikian hingga Ax adalah kelipatan skalar x (Ax sejajar dengan x). atau Temukan semua vektor tak nol x sedemikian hinggaAx = λx untuk suatu skalar λ Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  8. Masalah Nilai Eigen Diberikan matriks persegi A. A x = λ x x vektor tak nol Temukan semua skalar λ sedemikian hinggaAx = λx untuk suatu vektor tak nolx. atau Temukan semua vektorskalar λ sedemikian hingga persamaan Ax = λx mempunyai penyelesaian tak nol Ax = λx Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  9. Pernyataan-pernyataan ekuivalen Jika A matriks persegi nxn, maka kalimat-kalimat berikut ekuivalen •  nilai eigen A 2. terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = x • SPL (A – I)x = 0 mempuyai solusi tidak nol (non-trivial) 4.  adalah penyelesaian persamaan det(A – I) = 0 Mencari nilai eigen A sama saja mencari penyelesaian persamaan det(I-A) = 0 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  10. Persamaan Karakteristik Jika diuraikan, det((A - λI) merupakan suku banyak berderajat n dalam λ, p(λ ) = λⁿ +cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+c1λ+ c0suku banyak karakteristik Persamaan det((A - λI) = λⁿ +cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+c1λ+ c0 = 0 disebut persamaan karakteristik A λI A-λI - = • persamaan karakteristik A-λI det = λⁿ +cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+c1λ+ c0 = 0 Persamaan dengan derajat n mempunyai paling banyak n penyelesaian, jadi matriks nxn paling banyak mempunyai n nilai eigen. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  11. Contoh Mencari semua nilai eigen A= 2 - λ 0 Mencari semua penyelesaian persamaan 4 1 - λ ( )( ) = 0 2 - λ 1 - λ Mencari penyelesaian persamaan karakteristik Nilai eigen A adalah Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  12. Prosedur: menentukan nilai eigen Diberikan matriks persegi A. Nilai-nilai eigen A dapat diperoleh sebagai berikut: • Tentukan persamaan karakteristik det((A - λI) = 0 tuliskan A dan matriks yang elemen diagonal utamanya dikurangi λ 2. (Jika diperlukan) uraikan persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak karakteristik: λⁿ +cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+c1λ+ c0 = 0 3. Selesaikan persamaan yang diperoleh pada langkah di atas. Nilai-nilai eigen merupakan penyelesaian persamaan tersebut. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  13. Contoh: Menentukan nilai eigen Diberikan matriks persegi • Tentukan persamaan karakteristik det(A - λI) = 0 • Ubahlah persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak karakteristik: • Selesaikan persamaan di atas untuk memperoleh nilai-nilai eigen Nilai-nilai eigen A: λ1 = 0 λ2 = 2 λ3 = 3 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  14. Nilai eigen matriks diagonal Diberikan matriks diagonal • Persamaan karakteristik: • Nilai-nilai eigen 2, 6, 5, 1 • (merupakan entri diagonal utama) Nilai-nilai eigen matriks diagonal adalah elemen diagonal utamanya. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  15. Bagaimana menentukan apakah suatu skalar merupakan nilai eigen? • Tentukan apakah 2, 0, 4 merupakan nilai eigen A. Jawab: Bentuk det(A-λI) untuk λ = 2, 0, 4. Jika det(A-λI) ≠ 0, maka merupakan nilai eigen, kalau = 0, maka bukan nilai eigen. Kunci: 2, 4 nilai eigen A, 0 bukan nilai eigen A. 2 adalah nilai eigen A 0 bukan nilai eigen A 4 nilai eigen A Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  16. Kelipatan skalar vektor eigen • Diberikan A. Diketahui bahwa x adalah vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai eigen 2. Selidiki apakah 1/2x, 10x, 5x juga vektor-vektor eigen A Ax = 2x A(10x) = 2 (10x) A x = λ x A x λ x = (10) (10) Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  17. Kelipatan skalar vektor eigen Ax = 2x A(1/2 x) = 2 (1/2 x) A A x λ x x = λ x = (1/2) (1/2) Kelipatan skalar (tak nol) dari vektor eigen adalah vektor eigen terhadap nilai eigen yang sama Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  18. Menentukan semua vektor eigen Eλ • Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ. Tentukan semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ. • Vektor-vektor eigen A yang bersesuaian dengan λ = 3 dapat diperoleh dengan menyelesaikan SPL (A -λ I)x = 0. Vektor eigen adalah anggota Null(A - λ I) Himpunan semua penyelesaian SPL (A -λ I)x = 0 Himpunan semua vektor eigen bersesuaian denganλ 0 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  19. 0 Ruang Eigen Ruang eigen A yang bersesuaian dengan λ terdiri atas semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ dan vektor nol Ruang penyelesaian SPL (A -λ I)x = 0 Null(A -λ I)x Ruang Eigen Eλ Null(A -λ I) = Eλ Menentukan Eλ sama dengan menentukan himpunan penyelesaian SPL(A -λ I)x = 0 Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  20. Menentukan ruang eigen Eλ • Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ = 3. Tentukan semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 3. SPL (A - 3 I)x = 0 Penyelesaian Himpunan penyelesaian Himpunan vektor eigen A bersesuaian dengan λ=3 : Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  21. Nilai eigen matriks pangkat • Nilai eigen dari A adalah 0, 2, dan 3. • Tentukan nilai eigen untuk • Diberikan sembarang matriks A dan diketahui bahwa λ adalah nilai eigennya. Maka terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = λx kalikan kedua ruas dengan matriks A A.Ax = Aλx A2x = λ(Ax) substitusi Ax dengan λx A2x = λ2x jadi, λ2 merupakan nilai eigen A2 • Teorema: Jika n adalah bilangan bulat positif, λ nilai eigen matriks A, maka λn adalah nilai eigen An Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  22. Nilai eigen matriks singular • Misalkan  = 0 merupakan nilai eigen dari A. Maka 0 merupakan penyelesaian persamaan karakteristik: dengan menganti  dengan 0, diperoleh c0 = 0. Padahal det(A- I) = 0, dengan = 0, maka det(A) = c0 = 0. Karena det(A) = 0 maka A tidak mempunyai inverse. • Sebaliknya, det(A) = det(A - I) dengan mengambil  = 0.Jadi det(A) = c0. Jika A tidak mempunyai inverse, maka det(A) = 0 = c0. Sehingga  = 0 merupakan salah satu penyelesaian persamaan karakteristik;  = 0 merupakan salah satu nilai eigen dari A. 0 adalah nilai eigen A jika dan hanya jika A tidak mempunyai inverse. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  23. Nilai eigen matriks transpose Misalkan  = 0 merupakan nilai eigen dari A,  maka det(A-  I)= 0 Karena matriks dan transposenya mempunyai determinan yang sama,  maka det(A-  I)T= 0 Karena (A-  I)T = (AT- I) ,  maka det(AT-  I)= 0 Jadi,  adalah nilai eigen dari AT A dan AT mempunyai nilai eigen yang sama • det(B) = det(BT) • (A-  I)T = (AT- I) • A dan A-1 mempuyai nilai eigen yang sama Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  24. Diagonalisasi Definisi: Matriks persegi A dapat didiagonalkan jika terdapat matriks yang mempunyai inverse sedemikian hingga P-1AP = D adalah matriks diagonal. Contoh: P-1AP= Matriks diagonal A dapat didiagonalkan Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  25. Kapan matriks A dapat didiagonalkan? • Teorema: Jika A adalah matriks nxn, maka kalimat-kalimat berikut ini ekuivalen: 1. A dapat didiagonalkan 2. A mempunyai n vektor-vektor eigen yang bebas linier Bukti (1)  (2) Diberikan A Misalkan A dapat didiagonalkan, maka terdapat matriks P yang mempunyai inverse Sedemikian hingga P-1AP = D matriks diagonal Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  26. Kapan matriks A dapat didiagonalkan? (lanjt) P-1AP = D, kalikan dengan P-1, AP = PD AP = PD, jadi Karena P mempunyai inverse, maka kolom-kolmnya bukan kolom nol. Berdasarkan deinisi nilai eigen, maka λ1, λ2, λ3, …,λn merupakan nilai-nilai eigen A, dan kolom-kolom P adalah vektor-vektor eigen A yang bebas linier (karena P mempunya inverse) Bukti untuk (2)  (1) kerjakanlah sebagai latihan untuk memperdalam pemahaman. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  27. Prosedur mendiagonalkan matriks • Diberikan matriks Anxn. Akan dicari P sedemikian hingga PAP-1 = D. Prosedur • Tentukan n vektor eigen A yang bebas linier, misalkan p1, p2, p3, …, pn 2. Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah p1, p2, p3, …, pn 3. Mariks D = P-1AP adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya adalah λ1, λ2, λ3, …,λn dengan λj adalah nilai eigen bersesuaian denganpj untuk j = 1, 2, 3, …, n Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  28. Contoh: mendiagonalkan matriks • Diberikan matriks Anxn. Akan dicari P sedemikian hingga PAP-1 = D. Prosedur • Tentukan 2 vektor eigen A yang bebas linier. Pertama kita tentukan nilai-nilai eigennya yaitu λ1= 2 dan λ2= -1 (telah dihitung sebelumnya). Tentukan vektor eigen bersesuaian dengan nilai eigen, dengan menyelesaiakn SPL (A - λ I)x =0. Diperoleh • Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor eigen di atas. 3. Matriks D = P-1AP adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya adalah λ1, λ2 berturut-turut Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia

  29. Masalah Diagonalisasi dan masalah vektor eigen • Masalah vektor eigen Diberikan matriks Anxn, apakah terdapat basis di Rn terdiri atas vektor-vektor eigen? • Masalah diagonalisasi Diberikan matriks Anxn apakah terdapat matriks yang mempunyai inverse P sedemikian hingga nP-1AP adalah matriks diagonal? Teorema: Anxn dapat didiagonalkan jika dan hanya jika terdapat n vektor eigen yang bebas linier. Padahal, setiap n vektor yang saling bebas linier di Rn merupakan basis Rn. Kesimpulan: masalah vektor eigen sama dengan masalah diagonalisasi Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia